§ 2 Основные периоды развития математики

Существуют различные периодизации истории математики. Наиболее убедительной является та, которую разработал академик А.Н. Колмогоров (БСЭ, изд. 2-е, т. 26, статья « Математика»). В своей периодизации он исходил не из общественно-экономических формаций, а из характера ведущих проблем математики А.Н.Колмогоров делит историю математики на четыре периода.

1.Начальный период, или период зарождения математики. Он продолжался со времени появления человека разумного (около 100000 лет назад) примерно, если ограничится странами Западной Европы, по VII в. до н.э.

2.Переиод элементарной математики, или математики постоянных величин. В Западной Европе он охватывает время VI в. до н. э. по XVI в. н.э.

3.Период математики переменных величин. В Западной Европе он приходится на XVII-XVIII вв. и начало XIX века.

4. Период современной математики. Он охватывает XIX-XX вв.

Рассмотрим математику каждого из периодов подробнее.

I. К начальному периоду относятся математические знания первобытных людей и математика в ранних рабовладельческих государствах: Египте, Вавилоне и др.

Первобытный человек владел только двумя математическими операциями - счётом и измерением. В процессе счета у него складывается стая система счисления (счет группами предметов) и формируется понятие натурального числа. Что касается измерения, то ему на первых порах приходится измерять только время и расстояние.

С переходом к рабовладельческому строю устная система счисления сменяется письменной, а измерять приходится еще площади и объемы в связи с потребностями земледелия и ремесел.

В целом в начальный период человечество накапливает значительный фактический материал по арифметике (положительных рациональных чисел) и геометрии. Доказательства правил, например, правил вычисления площадей и объемов, в явном виде отсутствуют.

II. В начале второго периода ведущее место в математике занимает древняя Греция, где геометрия впервые строится на дедуктивной основе и в систематизированном виде. Крупнейшими математиками древней Греции были Пифагор, Евклид, Архимед, Аполлоний и др. Позднее, в IV-VI вв. н. э., с переходом к эпохе феодализма центр математической науки перемещается на восток – в Индию, Китай, арабские страны. В Индии впервые появляются десятичная позиционная система счисления и начала тригонометрии. В арабских странах, а позднее в Западной Европе складывается элементарная алгебра как наука об уравнениях. Западная Европа становится центром математической науки лишь в XVI в. н.э.

Во втором периоде строится элементарная математика, в основном, в той ее части, которая рассматривает лишь постоянные величины.

III. ВXVII-XVIIIвв.в Западной Европе утверждается капитализм. Происходят буржуазные революции в Нидерландах, Англии, Франции. Развитие капиталистического производства ставит многочисленные новые задачи перед техникой, механикой, физикой и другими науками, а техника и эти науки ставят соответствующие новые задачи перед математикой. Создаются основы математического анализа, пока что в объеме дифференциального и интегрального исчисления. Закладываются основы аналитической геометрии, что прямо связано с развитием математического анализа. Кроме того, создаются основы теории чисел, появляются теория вероятностей, начертательная и проективная геометрия.

Крупнейшие математики третьего периода – И. Ньютон, Г. Лейбниц, П. Ферма, Р. Декарт, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, Г. Монж и др.

IV. В четвертом периоде математика развивалась по нескольким направлениям

а) Появляются новые области математики: в XIX в. – неевклидовы геометрии, математическая логика, теория функций комплексной переменной, теория множеств и др.; в ХХ в. – теория функций действительной переменной, топология, функциональный анализ, исследование операций и др. Важную роль для математики сыграло появление в ХХ в. ЭВМ; в частности, с помощью ЭВМ было найдено решение нескольких крупных математических проблем.

б) Усиливается строгость доказательств во всей математике, в том числе и в старых ее областях; в первую очередь, в математическом анализе, затем в алгебре и геометрии.

в) Со сказанным выше связано появление в математике аксиоматического метода, сначала в геометрии, потом – в учении о числе, общей топологии, теории вероятности и др.

г) Расширяются применения математики в технике и других науках. В связи с этим в последние десятилетия бурно развивается прикладная математика.

Крупнейшие математики четвертого периода: в ХIX в. – К.Гаусс, О. Коши, К. Вейерштрасс, Н. Абель, Э. Галуа, Н. И. Лобачевский, П. Л. Чебышев, Б. Риман, Г. Кантор, Ф. Клейн, А. Кели, С. Ли, А. Пуанкаре, Д. Гильберт (большая часть жизни Гильберта приходится на ХХ в.) и др.; в ХХ в. – А.Лебег, а Вейль, Ж. Адамар, К. Гедель, Н. Нейман, Н. Винер, С. Банах, Э. Фредгольм, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев, П.С. Александров и др.