§ 37. Алгебра в XVIII – XIX вв.

1. В начале XVIII в. алгебра находится еще в стадии становления, связанной с тем. что к этому времени окончательно устанавливается алгебраическая символика. В XVIII в. она группируется вокруг теории алгебраических уравнений. Создается общая теория уравнений, накапливаются способы численного и графического решения.

В 1707 г. вышла в свет «Всеобщая арифметика» И. Ньютона. Эта книга в действительности посвящена алгебре, которую автор считал высшей ступенью арифметики – отсюда и название. В ней рассматривается большое число задач из геометрии, механики и других наук, сводящихся к решению алгебраических уравнений. Затем излагается общая теория уравнений (без доказательств) и графическое решение уравнений. Основную теорему алгебры Ньютон привел в следующей формулировке: «Уравнение может иметь столько корней, каково его измерение (степень), но не более»; автор имеет в виду, конечно, только действительные корни. Численные приближения и графические методы решения уравнений разрабатывали многие ученые: И. Ньютон (во «Всеобщей арифметике» и других работах), К. Маклорен, Д. Бернулли, Л. Эйлер и др.

Значительное влияние на развитие алгебры оказала « Универсальная арифметика» Л. Эйлера, вышедшая в двух томах в 1768 и 1769 годах. в ней вводятся алгебраическая символика, правила действий на одночленами, многочленами, радикалами, комплексными числами, рассматриваются логарифмы и степенные ряды. Затем излагаются методы решения алгебраических уравнений первых четырех степеней и способы приближенного решения уравнений.

Определители и решение систем линейных уравнений в случае, когда число неизвестных равно числу уравнений, ввели швейцарский ученый Г. Крамер (в 1759 г.) и французский математик Э. Безу.

Развитие алгебры в XVIII в. проходило в тесной связи с развитием учения о числе; это особенно относится к комплексным корням уравнений. Основную теорему алгебры впервые доказали, но нестрого, Ж. Даламбер и Л. Эйлер. Лишь К. Гаусс дал несколько строгих доказательств этой теоремы; первое из них было опубликовано в 1799 г.

2. В XIX в. алгебра существенно меняет свой характер. На новый план в первой половине века выходит проблема решения алгебраических уравнений в радикалах. Эта проблема возникла еще в XVIII в. и ею занимались многие: Л. Эйлер, Э. Безу, Ж.Л. Лагранж, П. Руффини и др. Значительный шаг вперед в доказательстве неразрешимости алгебраических уравнений степени выше четвертой в радикалах сделали Лагранж и Руффини. Но настоящий успех здесь связан с именем Абеля.

Норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) родился в небольшом рыбацком городке в семье пастора. В школе обратил на себя внимание учителя математики своими успехами в учебе, и тот стал давать своему ученику специальные задачи, а также серьезные сочинения по математике Эйлера. Лагранжа и др. После смерти отца Абель решил по материальным причинам отказаться от мысли поступить в университет, но профессора университета в Осло, слышавшие о нем от его учителя математики, сложившись, из своих средств составили ему своего рода стипендию и дали возможность учиться в университете. После окончания учебы они выхлопотали Абелю стипендию для поездки за границу. Пребывание в течении двух лет в Берлине и Париже дало ему возможность написать несколько важных работ. Работы Абеля относились к алгебре, теории функций комплексной переменной и теории специальных (эллиптических) функций. Над проблемой неразрешимости алгебраических уравнений степени выше четвертой он работал в 1824−1826 гг.. основной свой результат в этой области напечатал в известном берлинском журнале, и это принесло ему известность. Абель доказал неразрешимость алгебраического уравнения степени выше четвертой в радикалах. Но у себя на родине он оказался без работы и без каких-либо средств к существованию и вынужден был подрабатывать частными уроками математики. В конце концов Абель заболел туберкулезом и безвременно умер.

Французский математик Эварист Галуа (1811 – 1832) родился близ Парижа в интеллигентной семье. Окончил в Париже лицей. Он соединял еще в лицее страсть к математике со страстью к революции. Из-за республиканских убеждений и выступлений против короля Галуа несколько раз арестовывала полиция. Дважды поступал в Политехническую школу и оба раза провалился из-за придирок экзаменаторов явно по политическим мотивам, потом поступил в Подготовительную (бывшую Нормальную) школу, но был оттуда исключен по тем же причинам. Одновременно вел научные исследования. Работы Галуа относятся к алгебре и математическому анализу. Он открыл критерий разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, создав тек называемую теорию Галуа и пользуясь теорией групп, которой и положил начало. Его теория отвечала на вопрос:

−когда алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах и как его в этом случае решить?

При жизни Галуа опубликовал пять небольших работ. Он пытался получить признание Парижской академии наук. Представил в нее свою научную работу, но Коши, который должен был дать на нее отзыв, работу потерял. Второй раз Галуа представил сразу три работы, но секретарь академии Ж. Фурье вскоре умер, и в его бумагах работы Галуа не были найдены. В третий раз работу Галуа прочитали академики Лакруа и Пуассон и признались, что ничего в ней не поняли; дело было в чрезвычайной новизне идей Галуа и в том, что он писал свои работы очень сжато. Таким образом, результаты Галуа не получили признания при его жизни. В 1831 г. за политические выступления он был арестован и по приговору суда провел шесть месяцев в тюрьме. Вскоре после выхода из тюрьмы он был убит на дуэли в связи с какой-то неясной любовной историей.

В 1846 г. Ж. Лиувилль нашел большую часть работ Галуа и опубликовал их в своем журнале. Но полное понимание значения исследований Галуа было достигнуто лишь к 1870 г.

Во второй половине XIX в. на первый план в алгебре выдвигается теория групп – не в последнюю очередь в связи с теорией Галуа. Теория групп становится основой алгебры. Окончательно она сложилась в конце XIX в. в трудах А. Кэли, К. Жордана и С. Ли.