§ 23. Развитие тригонометрии в XII-XVII вв.

Тригонометрия в Западной Европе появилась в XII в. в связи с переводами астрономических сочинений арабских ученых. Она в то время считалась вспомогательной частью астрономии.

Название синуса у индийцев «джива» - тетива было переведено учеными стран ислама на арабский язык термином, близким по произношению, но имеющим совершенно другой смысл – «джайб» - впадина, пазуха, изгиб. Затем это последнее слово было переведено на латинский язык термином, имеющим тот же смысл:-«синус» -впадина. При этом синус выражался в частях радиуса, а следовательно, зависел от радиуса. Радиус окружности назывался полным синусом, синус- прямым синусом, а разность обращенным синусом; что касается собственно косинуса, то он появился отсюда позднее, как производное понятие. Постепенно появляются котангенс под названием «прямой тени» и тангенс под названием « обращенная тень».

Синуc, обращенный синус, тангенс и котангенс рассматривались лишь для острых углов и считались числами, а не функциями. Символических обозначений этих величин не было.

Большую роль для астрономии играли тригонометрические таблицы. Эти таблицы были заимствованы у арабов, а затем дорабатывались и уточнялись; составлением таблиц занимались, например, в XVI в. Н.Коперник и Ф. Виет, в XVII в. – И. Кеплер и др.

Первым крупным европейским ученым, занимавшимся тригонометрией, был немецкий математик Иоганн Мюллер (1436-1476), известный под латинизированным именем Региомонтана. Он учился в университетах сначала Лейпцига, затем Вены, потом сам стал читать лекции в Венском университете. В 1462- 1464 гг. он написал крупное сочинение « Пять книг о треугольниках всех видов»; опубликовано оно было лишь через 70 лет. В нем рассматривались задачи на решение треугольников: или с помощью построений, или алгебраически, и плоская и сферическая тригонометрия с применением ее к решению треугольников. Основной материал по тригонометрии Региомонтан взял из арабской литературы, но он его методически обработал и систематизировал, снабдив своими результатами. В частности, он приводит таблицы синусов и тангенсов. Это был первый в европейской математике труд, в котором тригонометрия трактовалась не как часть астрономии, а как часть математики.

На развитие тригонометрии оказал влияние великий польский астроном Николай Коперник (1473-1543). Главный его труд – « Об обращении небесных сфер» напечатан в 1543 г. и посвящен астрономии – гелиоцентрической системе строения мира. Сочинение было довольно быстро запрещено церковью, но тем не менее постепенно стало знаменитым. В двух главах этого сочинения излагается в качестве вспомогательного материала плоская и сферическая тригонометрия. Коперник привел оригинальный вывод формул сферической тригонометрии, основанный на рассмотрении трехгранного угла, образующегося при соединении центра сферы с вершинами сферического треугольника (рис.34). При этом сторонам сферического треугольника ABC соответствуют плоские углы трехгранного угла ОАВС (например, стороне АВ соответствует угол АОВ), а углам – двугранные углы трехгранного угла (например, углу А сферического треугольника отвечает двугранный угол, образованный плоскостями АОВ и АОС). Последнее позволило Копернику теоремы, относящиеся к сферическому треугольнику, свести к свойствам, относящимся к тригонометрическим функциям плоских и двугранных углов трехгранного угла.

Большой вклад в развитие тригонометрии внес французский математик XVI в. Франсуа Виет. Он рассмотрел все основные случаи решения прямолинейных треугольников. Виет знал свойство периодичности тригонометрических функций и индуктивно вел формулы sin na и cos na (nϵN) – формулы, которые позднее, в XVIII в. стали выводить с помощью формулы Муавра

для комплексных чисел.

ВXVII-XVIII вв. тригонометрия начинает применяться при изучении колебательных процессов. Это дает мощный дополнительный стимул для развития тригонометрии.

Термины «тангенс» (касающиеся) и «секанс» (секущий) ввел датский математик Томас Финке в конце XVI в., а термины «косинус» и «котангенс» - английский ученый Эдмунд Гунтер в 1620 г. До Гунтера косинус называли sinus complementi – синус дополнительный. Затем это название претерпело следующую эволюцию:

sinus co., co.sinus,

пока Гунтер не употребил слово «косинус». Аналогично происхождение термина «котангенс».

Современный вид тригонометрии придал самый выдающийся математик XVIII века Леонард Эйлер. Он впервые стал определять синус, косинус, тангенс и котангенс с помощью отношений отрезков, впервые стал рассматривать их как функции, причем для любого действительного значения аргумента, изучил свойства и графики тригонометрических функций. Эйлер ввел тригонометрические функции комплексного аргумента с помощью разложения их в степенные ряды и доказал формулы, которые получили название формул Эйлера. Наконец, он ввел символические обозначения тригонометрических функций в виде

Начиная я XVIII в. , тригонометрия стала рассматриваться учеными не как самостоятельная математическая дисциплина, а как част математического анализа- учения о функциях.