§ 42. Ведущие области математики XX веке

Рассмотрим наиболее важные области современной математики, не претендуя на исчерпывающую полноту обзора.

1.Топология

Под этим названием скрываются два разных раздела математики.

а)Одна топология, долгое время называвшаяся комбинаторной, а сейчас просто топологией, является частью геометрии.

Это раздел математики, назначение которого – выяснить и исследовать в рамках математики идею непрерывности. Одним из ведущих понятий топологии является понятие Гомеоморфизмом, называется взаимно однозначное непрерывное отображение одного топологического пространства на другое, для которого обратное отображение так же непрерывно. Главная задача топологии – выделение топологических инвариантов, т.е. свойств, сохраняющихся любыми гомеоморфизмами одного топологического пространства на другое: связанность, компактность, размерность и др.

Важной чертой топологии является необычная широта класса объектов, входящих в сферу действия ее законов. Вызвана она тем, что центральное понятие – понятие геоморфизма не требует для своего определения никаких обычных геометрических понятий вроде расстояния, гладкости, прямолинейности и др. Топологические методы пронизывают буквально все области математики, а идея непрерывности выражает коренное свойство пространства и времени, и, следовательно, имеет фундаментальное значение для познания реального мира. Поэтому топология имеет самое непосредственное отношение к объяснению устройства мироздания.

Основоположниками топологии являются А. Пуанкаре, Л. Брауэр, Ф. Клейн и др.

б)Другая топология называется общей или теоретико-множественной. Она примыкает к теории множеств. Это аксиоматическая теория, входящая в основания математики (при той планировке математики, которую наметили Д. Гильберт, Г. Вейль и др. и которую пыталась осуществить группа Бурбаки). Общая топология является теоретической дисциплиной и не участвует непосредственно в познании законов природы.

Она играет в математике объединяющую роль: в ней исследуются на самом общем уровне такие важнейшие понятия, как предел, сходимость, непрерывность и др., а кроме того, целый ряд принципов и теорем, имеющих общематематическое значение, получает свою естественную формулировку только в рамках общей топологии.

Основоположниками общей топологии являются Ф. Хаусдорф, К. Куратовский, П.С.Александров и др.

2.Теория функций действительной переменной.

Это раздел математики, который изучает общие свойства функций действительной переменной. В частности, в нем свойства функций исследуются на основе понятия меры множества.

Мера множества по Лебегу является естественным обобщением понятий длины отрезка, площади плоской фигуры и объема пространственного тела. Например, какую меру, похожую на длину отрезка, можно приписать множеству всех иррациональных чисел отрезка Ведь иррациональные числа, принадлежащие этому отрезку, его не заполняют. На определение меры множества по Лебегу мы здесь не останавливаемся.

Другое направление в теории функций – обобщение интеграла Римана. Известно, что многие разрывные функции не интегрируемы в смысле Римана. Кроме того, как ввести интеграл в случае, когда областью определения функции является не отрезок, а любое ограниченное линейное множество, имеющее меру по Лебегу? Соответствующее обобщение интеграла Римана ввел Лебег. Не приводя определения интеграла Лебега, укажем лишь, что автор с самого начала делит на частичные отрезки не отрезок оси абсцисс, а отрезок оси ординат. Существуют и другие обобщения интеграла Римана.

Основоположниками теории функций действительной переменной являются А.Лебег, Ф. Борель, Р. Бер, Н.Н. Лузин, Д.Е. Меньшов и др.

3.Функциональный анализ

Это раздел математики, главная задача которого – изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены векторные пространства и линейные отображения.

Функциональный анализ рассматривает топологические векторные пространства и их важные частные случаи – метрические, нормированные, гильбертовы, банаховы и другие пространства. Изучение отдельных функций и соотношений между ними здесь заменяется совокупным их исследованием, т.е. рассмотрением функциональных пространств и их преобразований. Так, дифференциальный оператор применяется не к отдельной функции, а к целому классу функций.

Для функционального анализа характерно сочетание методов и объединение подходов математического анализа, топологии и линейной алгебры. Он является естественным продолжением классического математического анализа в XX веке.

Функциональный анализ широко применяется в современной теоретической физике; в частности, он дает математический аппарат, наиболее подходящий для выражения закономерностей квантовой механики и статистической механики.

Крупнейшими учеными в области функционального анализа являются Д. Гильберт, Ф. Рисс, С. Банах, Н. Данфорд и др.

4.Математическая логика

Математическая логика является разделом математики, посвященным изучению математических доказательств и вопросов оснований математики.

Она возникла еще в XIX в. в работах Д.Буля, О. Моргана, Г. Фреге и др., но расцвета достигла в XX в., когда стала самостоятельной математической дисциплиной.

Гильберт предложил преодолевать трудности в основаниях математики на пути, основанном на применении аксиоматического метода изучения формальных моделей содержательной математики и на исследовании вопросов непротиворечивости таких моделей финитными (конечными) средствами. Одна из задач математической логики − построение математических моделей на основе аксиоматического метода.

В составе математической логики появилась метаматематика− теория доказательств, изучающая формализованные математические теории и исследующая математические доказательства в таких теориях.

Аксиоматический метод оказал большое влияние на развитие многих областей математики. Математическая логика имеет и прикладное значение: ее идеи и методы применяются в информатике, вычислительной математике, структурной лингвистике.

Ведущими учеными в математической логике в XX в. являются

Д. Гильберт, К.Гедель, Б. Рассель, П. Бернайс, С.К. Клини и др.

5.Алгебра

Современная алгебра есть учение об операциях над любыми математическими объектами.

Алгебра играет фундаментальную роль внутри математики: она является одним из разделов, формирующих общие понятия и методы для всей математики. В двадцатые годы XX в. произошла алгебраизация всей математики.

В центре внимания алгебры – свойства операций, а не объектов, над которыми производятся эти операции. Отвлекаясь от природы объектов, но фиксируя определенные свойства операций над ними, она изучает множества, наделенные алгебраической структурой, − так называемые универсальные алгебры. Примерами могут служить группы, векторные пространства, ассоциативные кольца и алгебры, алгебры Ли и др.

Алгебра имеет большое прикладное значение: например, в теоретической физике применяются конечные группы, группы Ли; в кибернетике – теория автоматов, алгебраическая теория инвариантов; в математической экономике – системы линейных неравенств и т. д.

Крупнейшие алгебраисты XX в. – Б.Л. Ван дер Варден, Э. Нетер, Г. Биркгоф, А.И. Мальцев и др.

6.Исследование операций

Это раздел математики, которой занимается разработкой методов анализа целенаправленных действий и нахождения самых эффективных решений. Любая задача исследования операций является задачей на оптимизацию: на нахождение экстремума функции многих переменных, на определение самого экономичного решения и т. д.

Исследование операций состоит из разнородных дисциплин: математического программирования (линейного, нелинейного, динамического), теории игр, теории оптимального управления и др. По своему характеру оно является прикладной наукой. Исследование операций применяется очень широко: в экономике, технике, военном деле и других областях, а кроме того, в самой математике – в теории приближений, в математической статистике и т.д.

Ведущие ученые XX в. в исследовании операций – Т.Л. Саати, Д. Нейман, Д. Данциг, Р. Белман, Л. С. Понтрягин и др.