- •Предисловие
- •Введение
- •§ 1. Предмет математики и истории математики
- •§ 2 Основные периоды развития математики
- •§ 3. Математика древнего Египта
- •§ 4. Математика древнего Вавилона
- •§5. Начало древнегреческой математики
- •§ 6. Построение циркулем и линейкой в древней Греции
- •§ 7. Парадоксы Зенона
- •§ 8. Предшественники Евклида
- •§ 9. Общая характеристика “Начал” Евклида
- •§10. Геометрические книги “Начал”.
- •§ 11. Арифметические книги “Начал”
- •§ 12. Архимед. Работа Архимеда “ Измерение круга”
- •§13. Работа Архимеда “ o спиралях”
- •§14 Создание теории конических сечений
- •§15. Древнегреческая математика после Аполлония
- •Возникновение алгебры и теории чисел
- •Греческая математика после Диофанта
- •Математика древнего и средневекового Китая
- •§ 17. Математика древней и средневековой Индии
- •§ 18. Математика в арабских странах
- •§ 19. Математика в Западной Европе в X XIV вв.
- •§ 20. Древнерусская математика
- •§ 21. Создание алгебраической символики
- •§ 22. Решение уравнений третьей и четвертой степени
- •§ 23. Развитие тригонометрии в XII-XVII вв.
- •§ 24. Составление таблиц логарифмов
- •1,0001:
- •§ 25. Создание основ аналитической геометрии
- •§ 26. Первые предшественники интегрального исчисления
- •§ 27. Последующие предшественники интегрального исчисления
- •§ 28. Предшественники дифференциального исчисления
- •§ 29. Дифференциальное исчисление у Ньютона
- •§ 30. Интегральное исчисление у Ньютона
- •§ 31. Дифференциальное исчисление у Лейбница
- •§ 32. Интегральное исчисление у Лейбница
- •§ 33. « Арифметика» Магницкого
- •§34. Математический анализ в XVIII веке
- •§ 35. Учение о числе в XVII – XIX вв.
- •§ 36. Математический анализ в XIX веке
- •§ 37. Алгебра в XVIII – XIX вв.
- •§ 38. Теория чисел в XVII−XIX вв.
- •§ 39. Создание дифференциальной и проективной геометрии
- •§ 40. Создание неевклидовой и многомерной геометрии. Аксиоматизация геометрии
- •§ 41 Проблемы Гильберта
- •§ 42. Ведущие области математики XX веке
- •Заключение
- •Литература
- •§ 1. Предмет математики и история математики……………………….. 5
§ 30. Интегральное исчисление у Ньютона
Вопросы интегрального исчисления Ньютона зачастую рассматривал параллельно с вопросами дифференциального исчисления.
Интегральное исчисление он называет обратным исчислением флюксий. Здесь основная проблема у него формулируется следующим образом: по данному уравнению, содержащему флюксии, найти уравнение между флюэнтами (т.е. по данному уравнению, содержащему производные двух или нескольких функций, найти уравнение между самими функциями). Эта задача белее общая и трудная, чем задача интегрирования данной функции.
Сначала остановимся на более простой задаче, которую решает Ньютон, - задаче отыскания первообразной. Ее Ньютон всегда трактует геометрически, как задачу квадратуры кривой. В основе лежит следующее утверждение: флюксия переменной площади равна ординате точки кривой. Этому предложению Ньютон в разных работах дал разные доказательства. Рассмотрим одно из них.
Наряду с переменной криволинейной фигурой возьмем переменный прямоугольникс тем же основанием(рис 43).
Обе фигуры порождаются движением соответственно отрезков Тогда, по Ньютону, флюксии площадей этих фигур будут всегда в том же отношении, что и описывающие их линии:
откуда . Если теперь положить
В переводе на современный язык полученный результат означает
следующее: если площадь
то
так что площадь является первообразной для ординатыточки кривой. Фактически это связано с формулой площади криволинейной трапеции
Например, продолжает Ньютон, площадь фигуры под кривой на отрезкеравна, так как
Положим
Таким образом, здесь, как и во многих других подобных случаях, Ньютон проверяет интегрирование дифференцированием, устанавливая связь между этими двумя операциями.
Он составляет обширные таблицы квадратур данных кривых, т. е. фактически таблицы интегралов.
Была ли у него формула Ньютона-Лейбница
где первообразная для функцииформула, которая сейчас считается основной в интегральном исчислении? Была, как и у Лейбница, хотя оба автора не придавали ей первостепенного значения.
Вернемся к основной проблеме обратного исчисления флюксий. В общем случае Ньютон решал ее с помощью рядов. Для ее решения ему пришлось оперировать с рядами, в частности, перемножая и деля их, и применять метод неопределенных коэффициентов. Понадобились и разложения элементарных функций в степенные ряды.
Ньютон нашел разложение функции
Это так называемый биномиального приведенное здесь равенство справедливо только при.Далее Ньютон находит разложение в ряд функцииМетодом неопределенных коэффициентов он приводит обращение этого ряда и получает разложение в ряд функции, а следовательно, иДалее он получает разложение в ряд функцииа отсюда и функции
Ньютон был убежден, что любую функцию можно разложить в степенной ряд. Но он был еще далек от современных представлений о сумме ряда и об области сходимости функционального ряда.
Самые серьезные затруднения Ньютон испытывал с обоснованием полученных им результатов. Не хватало теории пределов.
В работе «Математические начала натуральной философии» он строит своеобразную теорию пределов, состоящую из 12 лемм геометрического содержания, с доказательствами этих лемм. Рассмотрим некоторые из них.
Лемма 1: величины, которые постоянно стремятся к равенству в продолжение любого конечного времени и которые приближаются друг к другу ближе, чем на любую данную разность ранее конца этого времени, напоследок становятся равными (т.е. их пределы равны).
Лемма 3: последнее отношение площади криволинейной фигуры (трапеции) и площади вписанной и описанной около нее фигур; составленных из прямоугольников с неравными основаниями, наибольшее из которых безгранично уменьшается, равно 1. Другими словами,
где наибольшее из оснований прямоугольников.
Лемма 6: угол между касательной к кривой и хордой, проведенной через точку касания, в конце становится равным нулю, когда другой конец хорды неограниченно приближается к точке касания.
Но определения предела у Ньютона нет; особенно трудным был случай «последнего отношения» двух « исчезающих» величин, который потребовал от автора длинных объяснение. Нет также определения бесконечно малой и свойств предела суммы, произведения и частного. Главное же – свою теорию пределов Ньютон применяет только в « Математических началах», т.е. к вопросам механики, но не пользуется ею в других работах. К созданию полноценной теории пределов он смог сделать лишь первые шаги.