§ 31. Дифференциальное исчисление у Лейбница

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) родился в семье профессора морали Лейпцигского университета. Окончил юридический факультет этого университета. Окончил юридический факультет этого университета. В 1666г. защитил диссертацию на степень доктора юридических наук и получил предложение стать профессором университета, но отклонил его. Поступил на службу к курфюрсту в Майнце, а позднее – к герцогу Ганновере.

Лейбниц занимался многими вещами: был дипломатом, юристом, философом, историком, внес вклад во многие естественные и общественные науки, например, в механике он ввел понятие кинетической энергии, в биологии и геологии разрабатывал идеи эволюции, в психологии одним из первых стал исследовать сферу подсознания.

В политике, дипломатии, философии, религии он был сторонником компромисса, порой между такими силами, течениями, которые вряд ли можно было привести к соглашению: между различными немецкими государствами ( в то время Германия была раздроблена), между буржуазией и феодальной аристократией, между католической и протестантской церковью, между наукой и религией, даже между идеализмом и материализмом. Печать компромисса отразилась и на его философии. В своей основе она была идеалистической: по Лейбницу, мир состоит из неделимых и нематериальных объектов, которые обладают в той или иной мере чувствительностью, сознанием и активностью. Но в учении о материи, в физике он занимает позиции механического материализма, да и в его теории познания преобладали рационалистические мотивы.

Как философ, дипломат, историк, Лейбниц стал широко известен в Европе. Он организовал Академию наук в Берлине. Петр 1 советовался с ним об основании академии наук в Петербурге. Лейбниц пользовался также большой известностью в ученом мире.

В математике он, в основном, был самоучкой. Самостоятельно изучил труды Декарта, Кавальери, Ферма, Паскаля, Валлиса и др., а во время командировок в Париж завязал научные связи с Гюйгенсом, который был тогда президентом академии наук. В1675-1676 гг. разрабатывал принципы дифференциального и интегрального исчисления; соответствующие работы он опубликовал позже.

Лейбниц не был женат. В старости его стали одолевать различные недуги, в частности, подагра, которая уложила его в постель. К нему, еще недавно столь знаменитому, уже никто не ездил. Смерть его прошла почти незамеченной.

В 1684 г. в журнале Лейбниц опубликовал первую печатную работу по дифференциальному исчислению – небольшую статью (7 стр.) «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которых не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». В самом названии статьи содержался намек на метод наибольших и наименьших Ферма.

Дифференциалом абсциссы точки кривой он называет любой отрезок и обозначает его символомобразовав его от латинскогоразность. Дифференциалом ординатыточки он называет такой отрезокчто

где подкасательная (см. , например, рис 42 из § 28). Следовательно, здесь основным понятием для Лейбница была не скорость, как у Ньютона, а касательная.

Далее он приводит без доказательства правила нахождения дифференциала суммы, разности, произведения, частного, степени и корня. Лейбниц называет эту новую область математики дифференциальным исчислением.

Но почему же он приводит указанные правила без доказательства? Главное, видимо, в том, что он спешит закрепить за собой приоритет первой публикации по дифференциальному исчислению: он знал, что подобными вопросами занимается Ньютон, да и некоторые другие ученые.

Обоснование правил Лейбница приводит в других своих работах. В них дифференциал он определяет по-другому: дифференциалом величины называется разность двух ближайших друг к другу значенийОднако это определение противоречиво, так как для непрерывной величины ближайших друг к другу ее значений не существует на основании свойства плотности множества действительных чисел.

Тем не менее Лейбниц получает верные формулы. Например, поскольку

(принцип пренебрежения бесконечно малыми высших порядков). Аналогично

Отсюда видно, что Лейбниц отождествляет дифференциал функции с ее приращением. Так же считали и большинство ученых XVIII в. Лишь в XIX в. эти понятия стали различать, что потребовало, в частности, иного определения дифференциала функции.

Перейдем к приложениям дифференциального исчисления. Посмотрим, как, например, Лейбниц решает вопрос о наибольшем и наименьшем значениях величины.

Наибольшая или наименьшая ордината точки кривой задается условием, что касательная к кривой параллельна оси абсцисс, а для этого необходимо, чтобы А вот достаточный признак экстремума: наибольшую ординату Лейбниц отличает от наименьшей по тому, обращена ли кривая к оси абсцисс вогнутостью или выпуклостью, а об этом судит по знаку(т. е. по знакуеслито ордината будет наибольшей, а еслито наименьшей.

Вспомним, что в современном дифференциальном исчислении справедлива формула Из нее следует, чтоимеют одинаковые знаки. Следовательно, признак экстремума, сформулированный Лейбницем, равносилен известному достаточному признаку экстремума с помощью второй производной. Аналогично обстоит дело и с достаточным признаком вогнутости или выпуклости кривой. Но доказательств этих утверждений Лейбниц не дал.