§ 19. Математика в Западной Европе в X XIV вв.

ВV в. в Западной Европе наступает эпоха феодализма. Она делится на три периода.

1. Ранний феодализм (V-XI вв.).

Происходит закрепощение крестьян. Города и торговля находятся в упадке. Складываются новые нарядности, появляются новые языки. Возникают небольшие феодальные государства.

2. Период развитого феодализма (XI-XV вв.).

Ремесла отделяются от сельского хозяйства, растут города, крепнут ремесленные цеха и купеческие гильдии, ширятся торговля и денежное хозяйство. Появляются крупные государства: Англия, Франция, Испания.

3. Период позднего феодализма (XV-XVII вв.).

Для него характерны разложение феодального строя и появление новых классов – пролетариата и буржуазии. Совершаются великие географические открытия. Образуются новые нации. Наступает расцвет эпохи Возрождения, особенно в Италии. Происходят первые буржуазные революции в Нидерландах и Англии.

Математика на первых порах требовалась для нужд феодального и монастырского хозяйства, позднее – для торговли и ремесел. Кроме того, вопросы математики входили в квадривиум (четырехпутье), которым должны были владеть образованные люди. Квадривиум включал в себя элементы арифметики, геометрии, астрономии и музыки (математической теории музыки).

Первыми математическими сочинениями, имевшими широкую известность, были переводы на латинский язык бывшего римского патриция Боэция (V-VIвв.) нескольких книг «Начал» Евклида и «Арифметики» Никомаха, греческого ученого I-IIвв.

В X в. выделился ученый Герберт. Это был французский монах, который позднее стал римским папой под именем Сильвестра II. По-видимому, ему принадлежит сочинения «Правила счета на абаке» и «Книжка о делении чисел». В то время считали на абаке, причем наибольшие затруднения здесь доставляло деление. В результате внутрицерковной борьбы за власть Герберт был лишен сана папы, причем среди предъявленных ему обвинений было такое: он слишком хорошо умеет делить большие числа, не иначе, как ему помогает дьявол. Герберт вместо камешков, которые обычно использовались при счете на абаке, применял нумерованные жетоны, которые назывались апексами. Знаки на жетонах близки к западноарабским цифрам. Они важны в том отношении, что от них происходят первые в Западной Европе цифры десятичной позиционной нумерации.

В X в. испанцы начали вытеснять арабов из своей страны. В отвоеванных у арабов испанских городах западноевропейские ученые обнаружили богатую научную литературу, как собственно арабских авторов, так и сочинения, переведенные с греческого языка на арабский. Начинаются переводы этой литературы на латинский язык, который стал тогда и до XVIII в. оставался международным языком науки. Самый большой размах переводы приобрели в XII в. Наиболее выдающимся из переводчиков был итальянец Герардо, который посвятил этому делу свою жизнь. Он перевел «Начала» Евклида (позднее, в XV в. «Начала» были найдены в греческом оригинале и переведены непосредственно с греческого на латинский язык), «Измерение круга» Архимеда, «Конические сечения» Аполлония, «Альмагест» Птолемея, алгебру ал-Хорезми, ряд сочинений по философии, логике, физике и др.

Появляются университеты. Первый университет был основан в Салерно (Италия) в XI в. в составе одного медицинского факультета, следующий – в Болонье (Италия) в начале XII в., первоначально в виде юридической школы. В конце XII в. появился Парижский университет, который вскоре стал крупнейшим в Западной Европе, и университет в Оксфорде. В XIII в. были созданы университеты Кембридже и Неаполе, в XIV в. – в Праге, Вене, Гейдельберге и т.д. Типичный средневековый университет состоял из четырех факультетов – искусств, богословия, права и медицины. Студент сначала поступал на факультет искусств, который играл роль подготовительного, и обучал на нем около шести лет. После испытаний он переходил на другой факультет. Самым важным считался богословский факультет, на котором студенты около восьми лет.

Математике обучались на факультете искусств в объеме квадривиума, а некоторые более тонкие вопросы рассматривались в курсах философии. Позднее стали читать лекции по «Началам» Евклида, первоначально в объеме не более одной-двух первых книг, но экзамены по этому курсу не проводили. В течении нескольких столетий в университетах не было кафедр математики, ни особых преподавателей математики.

Первым самостоятельным математиком Западной Европы был Леонардо Фибоначчи (1180-1240), или Леонардо Пизанский, так как он был родом из города Пизы в Италии. Вместе с отцом он жил в Алжире в связи с торговыми делами отца и изучил там арабскую арифметику и алгебру, а во время поездок в Сирию, Египет, Сицилию и Византию пополнил свои знания по математике.

Главное сочинение Леонардо – «Книга Абака»; появившееся в 1202г. Несмотря на название, оно посвящено арифметике и алгебре (под словом «абак» он понимал всю арифметику). Арифметику и алгебру арабов он изложил настолько полно и глубоко, как никто до него, добавив к этому некоторые сведения из Евклида и отдельные собственные открытия. «Книга абака» резко выделяется среди аналогичной литературы Западной Европы силой методов, разнообразием задач, доказательностью изложения. В течении примерно двухсот лет книга Леонардо была для ученых главным сочинением по алгебре и сыграла важную роль в утверждении десятичной позиционной нумерации чисел.

Всего в книге 15 глав посвящены арифметике: арифметика натуральных чисел на основе новой нумерации, арифметика дробей и смешанных чисел, задачи коммерческой арифметики, решение которых основано на пропорциональной зависимости, задачи на смешение др.

В главах XII-XV рассматриваются вопросы алгебры: суммирование арифметической и геометрической прогрессий, формула суммы квадратов

линейные уравнения и системы линейных уравнений, которые решаются разными методами, в том числе методами одного и двух ложных положений, неопределенные уравнения и системы таких уравнений, квадратные уравнения и системы уравнений второй степени, правила приближенного вычисления квадратных и кубических корней, а также геометрические задачи на теорему Пифагора. Изложение словесное, алгебраической символики нет.

Среди собственных задач Леонардо обращает на себя внимание задача о кроликах: сколько пар кроликов родится за год от одной пары, если каждая пара приносит ежемесячно по паре кроликов разного пола, способной через месяц к размножению, и если ни одна пара не погибнет? При решении задачи получается последовательность 1,1, 2, 3,5,8,…, которая задается рекуррентно:

а ответом является сумма

Эта последовательность позднее получила название последовательности Фибоначчи и до наших дней применяется в математике.

В 1220 г. Леонардо выпустил книгу «Практика геометрии», в которой приводятся с доказательствами разнообразные теоремы по планиметрии и стереометрии. Так, он рассматривал теорему о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда, которая отсутствует в « Началах» Евклида.

В XIII-XIV вв. среди ученых Западной Европы появляется немало профессионалов- математиков. Одним из них был Николь Орем, французский ученый XIV в. Орем известен следующими открытиями: 1) наряду со степенями с натуральными показателями, которые были известны и до него, он ввел степени с дробными показателями; 2) построил учение о равномерных, равномерно-неравномерных и др. линейных качествах( т.е. фактически о равномерном, равноускоренным и др. движениях); 3) доказал расходимость гармонического ряда