§ 36. Математический анализ в XIX веке

XIX век является началом нового, четвертого периода в истории математики – периода современной математики.

Мы уже знаем , что одним из главных направлений развития математики в четвертом периоде является усиление строгости доказательств во всей математике, особенно перестройка математического анализа на логической основе. Во второй половинеXVIII в. делались многократные попытки перестройки математического анализа: введение определения предела ( Даламбер и др.), определение производной как предела отношения (Эйлер и др.), результаты Лагранжа и Карно и т. д., но этим работам не хватало системы, а иногда они были неудачны. Однако они готовили почву, на которой перестройка в XIX в. смогла быть осуществлена. В XIX в. это направление развития математического анализа стало ведущим. Им занялись О.Коши, Б. Больцано, К. Вейерштрасс и др.

1.Огюстен Луи Коши (1789−1857) окончил в Париже Политехническую школу и Институт путей сообщения. С 1816 г. член Парижской академии и профессор Политехнической школы. В 1830−1838 гг. в годы республики он был в эмиграции из-за своих монархистских убеждений. С 1848 г. Коши стал профессором Сорбонны – Парижского университета. Он опубликовал более 800 работ по математическому анализу, дифференциальным уравнениям, теории функций комплексной переменной, алгебре, теории чисел, геометрии, механике, оптике и др. Главными областями его научных интересов были математический анализ и теория функций комплексной переменной.

Свои лекции по анализу, прочитанные в Политехнической школе, Коши издал в трех сочинениях: «Курс анализа» (1821), «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» (1823), «Лекция по приложениям анализа к геометрии», 2 тома (1826, 1828). в этих книгах впервые математический анализ строится на основе теории пределов. они означали начало коренной перестройки математического анализа.

Коши дает следующее определение предела переменной: « Если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно приближаются к фиксированному значению, так что в конце концов отличаются от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных». Суть дела здесь выражена хорошо, но слова « сколь угодно мало» сами нуждаются в определении, а кроме того, здесь формулируется определение предела переменной, а не предела функции. Далее автор доказывает различные свойства пределов.

Затем Коши приводит такое определение непрерывности функции: функция называется непрерывной (в точке), если бесконечно малое приращение аргумента порождает бесконечно малое приращение функции, т.е., на современном языке

Потом у него следуют различные свойства непрерывных функций.

В первой книге рассматривает также теорию рядов: дает определение суммы числового ряда как предела его частичной суммы, вводит ряд достаточных признаков сходимости числовых рядов, а также степенные ряды и область их сходимости – все это как в действительной, так и в комплексной области.

Дифференциальное и интегральное исчисление он излагает во второй книге.

Коши дает определение производной функции как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, и дифференциал, как предела отношения приОтсюда следует, что. Далее рассматриваются обычные формулы производных; при этом автор часто использует теорему Лагранжа о средних значениях.

В интегральном исчислении Коши впервые выдвигает в качестве основного понятия определенный интеграл. Он вводит его также впервые, как предел интегральных сумм. Здесь же доказывается важная теорема об интегрируемости непрерывной функции. Неопределенный интеграл у него определяется как такая функцияаргументачтоКроме того, здесь рассматриваются разложения функций в ряды Тейлора и Маклорена.

Во второй половине XIX в. ряд ученых: Б. Риман, Г. Дарбу и др. нашли новые условия интегрируемости функции и даже изменили само определение определенного интеграла таким образом, чтобы его можно было применить к интегрированию некоторых разрывных функций.

В теории дифференциальных уравнений Коши занимался, главным образом, доказательствами принципиально важных теорем существования: существования решения обыкновенного дифференциального уравнения сначала первого, а потом -го порядка; существования решения для линейной системы уравнений с частными производными.

В теории функций комплексной переменной Коши является основоположником; ей посвящены многие его статьи. В XVIII в. Эйлер и Даламбер положили лишь начало этой теории. В вузовском курсе теории функций комплексной переменной мы постоянно встречаем имя Коши: условия Коши − Римана существования производной, интеграл Коши, интегральная формула Коши и т.д.; многие теоремы о вычетах функции также принадлежат Коши. В этой области получили весьма важные результаты также Б.Риман, К. Вейерштрасс, П. Лоран и др.

Вернемся к основным понятиям математического анализа. Во второй половине века выяснилось, что в области обоснования анализа многое сделал до Коши и Вейерщтрасса чешский ученый Бернард Больцано (1781 – 1848). Он до Коши дал определения предела, непрерывности функции и сходимости числового ряда, доказал критерий сходимости числовой последовательности, а также, задолго до того, как она появилась у Вейерштрасса, теорему: если числовое множество ограниченно сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (точную нижнюю) грань. Он рассмотрел ряд свойств непрерывных функций; вспомним, что в вузовском курсе математического анализа имеются теоремы Больцано – Коши и Больцано – Вейерштрасса о функциях, непрерывных на отрезке. Больцано исследовал и некоторые вопросы математического анализа, например, построил первый пример функции, непрерывной на отрезке, но не имеющей производной ни в одной точке отрезка. При жизни Больцано смог опубликовать только пять небольших работ, поэтому его результаты стали известны слишком поздно.

2.В математическом анализе все явственнее чувствовалось отсутствие четкого определения функции. Значительный вклад в решение спора о том, что понимать под функцией, внес французский ученый Жан Фурье. Он занимался математической теорией теплопроводности в твердом теле и в связи с этим использовал тригонометрические ряды ( ряды Фурье)

эти ряды позднее стали широко применяться в математической физике – науке, которая занимается математическими методами исследования встречающихся в физике дифференциальных уравнений в частных производных. Фурье доказал, что любую непрерывную кривую, независимо от того, из каких разнородных частей она составлена, можно задать единым аналитическим выражением – тригонометрическим рядом, и что это можно сделать и для некоторых кривых с разрывами. Исследование таких рядов, проведенное Фурье, вновь поставило вопрос, что же понимать под функцией. Можно ли считать, что подобная кривая задает функцию? (Это возобновление старого спора XVIII в о соотношении между функцией и формулой на новом уровне.)

В 1837 г. немецкий математик П. Дирехле впервые дал современное определение функции: « есть функция переменной(на отрезкеесли каждому значению(на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие – аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами». Обращает на себя внимание добавление: «безразлично, каким образом установлено это соответствие». Определение Дирехле получило общее признание довольно быстро. Правда, сейчас принято функцией называть само соответствие.

3.Современный стандарт строгости в математическом анализе впервые появился в работах Вейерштрасса (1815−1897) долгое время работал учителем математики в гимназиях, а в 1856 г. стал профессором Берлинского университета. Слушатели его лекций постепенно издавали их в виде отдельных книг, благодаря чему содержание лекций Вейерштрасса стало хорошо известным в Европе. Именно Вейерштрасс стал систематически употреблять в математическом анализе язык Он дал определение предела последовательности, определение предела функции на языке(которое часто неправильно называют определением Коши), строго доказал теоремы о пределах и так называемую теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности: возрастающая ( убывающая) последовательность, ограниченная сверху (снизу), имеет конечный предел. Он стал использовать понятия точной верхней и точной нижней грани числового множества, понятие предельной точки множества, доказал теорему (у которой есть и другой автор – Больцано): ограниченное числовое множество имеет предельную точку, рассмотрел некоторые свойства непрерывных функций. Много работ Вейерштрасс посвятил теории функций комплексной переменной, обосновав ее с помощью степенных рядов. Он занимался также вариационным исчислением, дифференциальной геометрией и линейной алгеброй.

4.Остановимся еще на теории бесконечных множеств. Ее создателем был немецкий математик Кантор. Георг Кантор (18451918) много лет работал профессором университета в Галле. Работы по теории множеств опубликовал, начиная с 1870г. Он доказал несчетность множества действительных чисел, установив, таким образом, существование неэквивалентных бесконечных множеств, ввел общее понятие мощности множества, выяснил принципы сравнения мощностей. Кантор построил теорию трансфинитных, «несобственных» чисел, приписав низшее, наименьшее трансфинитное число мощности счетного множества (в частности, множества натуральных чисел), мощности множества действительных чисел – более высокое, большее трансфинитное число, и т.д.; это дало ему возможность построить арифметику трансфинитных чисел, похожую на обычную арифметику натуральных чисел. Кантор систематически применял актуальную бесконечность, например, возможность полностью «исчерпать» натуральный ряд чисел, в то время как до него в математикеXIX в. использовалась лишь потенциальная бесконечность.

Теория множеств Кантора при своем появлении вызвала возражения многих математиков, но постепенно пришло признание тогда, когда стало ясным ее огромное значение для обоснования топологии и теории функций действительной переменной. Но оставались логические пробелы в самой теории, в частности, были обнаружены парадоксы теории множеств. Вот один из наиболее известных парадоксов. Обозначим через множество всех таких множеств, которые не являются элементами самих себя. Выполняется ли включениетакже и не является элементомтак как по условию ввходят в качестве элементов только такие множества, которые не являются элементами самих себя; если жето по условию выполняется включениепротиворечие в обоих случаях.

Эти парадоксы были связаны с внутренней противоречивостью некоторых множеств. Становилось ясным, что в математике можно пользоваться не любыми множествами. Существование парадоксов было преодолено созданием уже в начале XX в. аксиоматической теории множеств (Э. Цермело, а. Френкелем, Д. Нейманом и др.), которая, в частности, отвечала на вопрос: какими множествами можно пользоваться в математике? Оказывается, можно пользоваться пустым множеством, объединением данных множеств, множеством всех подмножеств данного множества и др.