§ 11. Арифметические книги “Начал”

Арифметика в “Началах” Евклида, как мы уже знаем, рассматривается в книгах 7 – 9. В этих книгах, кроме собственно арифметических тем, изложены и вопросы теории чисел.

1. В начале седьмой книги приводятся 23 определения, относящиеся ко всем трем книгам (в восьмой и девятой книгах определений нет). Рассмотрим некоторые из определений.

1. Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.

Неясно, что имел здесь в виду автор. Возможно, следующее: единица есть то, что придает единство множеству чисел. Но Евклид выразиться так и не смог, поскольку число определяется позднее (см. определение 2). Определением 1 невозможно пользоваться.

2. Число есть множество, составленное из единиц.

Отсюда следует, что под числом Евклид понимал натуральное число.

3. Частью числа называется число, которое измеряет большее число (т.е. является его делителем и отлично от него самого).

В определениях 6 и 7 вводятся четное и нечетное число, а в определениях 9 и 10 – четно-четное и четно-нечетное число, т. е. число, делящееся на 4, и число, делящееся на 2, но не делящееся на 4.

12) Первое число (т.е. простое число) есть измеряемое только единицей.

13) Первые между собой числа (т.е. взаимно простые числа) суть измеряемое только единицей как общей мерой.

14) Составленное число есть измеряемое некоторым числом.

Отсюда видно, что исключается делитель, равный самому числу, и делитель, равный единице, а следовательно, единица, по Евклиду, не является числом.

Далее следует предложения: о делимости натуральных чисел, о наибольшем общем делителе, наименьшем общем кратном и др.

Пример 1 (7.1.) Если отложены два неравных числа и все время при последовательном отнятии меньшего числа от большого (т.е. при делении большого числа на меньшее с остатком) остаток не измеряет предшествующего ему, пока не останется единица, то первоначальные числа будут первыми между собой.

При доказательстве применяется алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел к частному случаю, когда последний (отличный от нуля) остаток есть единица, причем этот алгоритм выступает в геометрической форме.

Допустим, что числа АВ и СD не первые между собой2. пусть их общая мера равна Е, где Е>1.

Отложим меньшее число CD на большее АВ до тех пор, пока не получится остаток АР, меньший СD (рис.16). Остаток АР откладываем на CD? пока не получится остаток КС, меньший АР. Новый остаток КС откладываем на первом остатке АР. Пусть новый остаток АМ является последним; по условию он равен единице.

Теперь получаем (говоря современным языком): так как числа АВ и СD делятся на Е, то и первый остаток АР делится на Е; так как числа CD и AP делятся на Е, то и второй остаток КС делится на Е; так как АР и KC делятся на Е, то и третий, последний остаток АМ делится на Е, т.е. единица делится на Е. Однако это не возможно, поскольку предполагалось, что число Е больше единицы.

Пример 2 (7.2.). Для двух данных чисел, не первых между собой, найти их наибольшую общую меру.

Это не теорема, а задача, напоминающая по формулировке задачу на построение из планиметрии. При ее решении также используется алгоритм Евклида.

Пример 3 (7.31.).Всякое составленное число измеряется каким то первым числом.

2. Восьмая книга посвящена отношениям натуральных чисел и непрерывным пропорциям (геометрическим прогрессиям). Здесь строится целая теория отношений для чисел ( часть теории изложена в седьмой книге).

Возникает вопрос: зачем Евклиду нужно было строить теорию отношений для чисел, если раньше, в пятой книге уже изложена теория отношений для величин, из которой теория отношений для чисел вытекает как частный случай?

Дело в том, что в седьмой книге и восьмой книгах он, по существу, строит множество положительных рациональных чисел ( хотя отношение двух натуральных чисел Евклид и не считает, в духе того времени, числом), и для подробного изучения этого множества нужно было дать ему отдельное независимое определение.

3. В девятой книге рассматриваются разнообразные предложения: о квадратах, кубах, простых, четных, нечетных и совершенных числах.

Пример 4 (9.20.). Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел (т.е. множество простых чисел бесконечно).

Это известная теорема, найденная самим Евклидом.

Для доказательства предположим, что множество конечно; пусть А,В,С- это все “ первые “ числа. Составим число Оно имеет простой делительD на основание предложения из седьмой книги. Этот делитель отличен от А, так как в противном случае число А измеряло бы единицу (т.е. единица делилась бы на А) и по аналогичной причине отличен от В и С. Получили противоречие.

Мы видим, что арифметика в “Началах” строилась а базе геометрии: числа изображались отрезками, геометрия существенно использовалась в доказательствах. Это обстоятельство, а также полное отсутствие символики, как арифметической, так и алгебраической, в конце концов провели античную математику к тупику. Как известно, в современной математике сначала строится учение о числе, а потом, на основе, геометрия. Такой порядок изложения этих областей математики гораздо более плодотворен.