- •Предисловие
- •Введение
- •§ 1. Предмет математики и истории математики
- •§ 2 Основные периоды развития математики
- •§ 3. Математика древнего Египта
- •§ 4. Математика древнего Вавилона
- •§5. Начало древнегреческой математики
- •§ 6. Построение циркулем и линейкой в древней Греции
- •§ 7. Парадоксы Зенона
- •§ 8. Предшественники Евклида
- •§ 9. Общая характеристика “Начал” Евклида
- •§10. Геометрические книги “Начал”.
- •§ 11. Арифметические книги “Начал”
- •§ 12. Архимед. Работа Архимеда “ Измерение круга”
- •§13. Работа Архимеда “ o спиралях”
- •§14 Создание теории конических сечений
- •§15. Древнегреческая математика после Аполлония
- •Возникновение алгебры и теории чисел
- •Греческая математика после Диофанта
- •Математика древнего и средневекового Китая
- •§ 17. Математика древней и средневековой Индии
- •§ 18. Математика в арабских странах
- •§ 19. Математика в Западной Европе в X XIV вв.
- •§ 20. Древнерусская математика
- •§ 21. Создание алгебраической символики
- •§ 22. Решение уравнений третьей и четвертой степени
- •§ 23. Развитие тригонометрии в XII-XVII вв.
- •§ 24. Составление таблиц логарифмов
- •1,0001:
- •§ 25. Создание основ аналитической геометрии
- •§ 26. Первые предшественники интегрального исчисления
- •§ 27. Последующие предшественники интегрального исчисления
- •§ 28. Предшественники дифференциального исчисления
- •§ 29. Дифференциальное исчисление у Ньютона
- •§ 30. Интегральное исчисление у Ньютона
- •§ 31. Дифференциальное исчисление у Лейбница
- •§ 32. Интегральное исчисление у Лейбница
- •§ 33. « Арифметика» Магницкого
- •§34. Математический анализ в XVIII веке
- •§ 35. Учение о числе в XVII – XIX вв.
- •§ 36. Математический анализ в XIX веке
- •§ 37. Алгебра в XVIII – XIX вв.
- •§ 38. Теория чисел в XVII−XIX вв.
- •§ 39. Создание дифференциальной и проективной геометрии
- •§ 40. Создание неевклидовой и многомерной геометрии. Аксиоматизация геометрии
- •§ 41 Проблемы Гильберта
- •§ 42. Ведущие области математики XX веке
- •Заключение
- •Литература
- •§ 1. Предмет математики и история математики……………………….. 5
§13. Работа Архимеда “ o спиралях”
1.В начале работы “ O спиралях” Архимед вводит кривую, которая позднее получила название спирали Архимеда.
Пусть точка М перемещается по лучу от его начала О с постоянной линейной угловой скоростью V. Следовательно, точка М участвует в двух движениях – поступательном и вращательном. Геометрическое место всех таких точек М и называется спиралью Архимеда (рис.17).
Обозначим угол луча ОМ с его первоначальном положением через φ, длину отрезка ОМ через r. Тогда в момент движения t
(1)
Уравнения (1) являются параметрическими уравнениями спирали. Исключим из них параметр t, для чего первое из уравнений (1) разделим на второе:
Пологая здесь получаем уравнение спирали в полярных координатах:
Архимед это уравнение формулировал, разумеется, словесно.
Далее автор находит площадь S фигуры, ограниченной первым витком спирали и полярной осью. При выводе он пользуется формулой площади кругового сектора
где R – радиус круга, а радианная мера соответствующего центрального угла, и формулой суммы квадратов п первых чисел натурального ряда
которую специально вывел.
Разделим угол, равный 2π, на п равных частей (рис.18). На каждом из углов, равных , построим два круговых сектора, один из которых целиком содержится в данной фигуре, а другой содержит в себе соответствующую часть фигуры. (Исключением является только первый из углов, равный: здесь описанный круговой сектор есть, а вписанного нет.)
Исключением является только первый из углов, равный : здесь описанный круговой сектор есть, а вписанного нет.)
Найдем площадь описанного и вписанного ступенчатых фигур, составленных из таких круговых секторов. Обозначим эти площади соответственно через
Получается неравенство
С другой стороны, искомая площадь S фигуры находится в тех же границах:
Далее при современных средствах доказательства можно было бы применить, например, теорему Кантора о стягивающейся последовательности отрезков. Архимед так поступить не мог; он проводит доказательство формулы
с помощью метода исчерпывания.
Спрашивается: а разве он не мог приступить прямо к доказательству формулы (5), минуя неравенство (3)? Не мог, так как ему предварительно требовалось догадаться, что формула (5) справедлива.
Вычислением площадей и объемов Архимед занимается и в других работах: « О квадратуре параболы», «О коноидах и сфероидах», « О шаре и цилиндре» и т. д.. При этом он пользуется методом исчерпывания, а для того, чтобы предварительно догадаться, какую формулу следует доказывать, - или геометрическими соображениями, близкими к тем, которыми он пользовался в работе « О спиралях» для оценки искомой площади сверху и снизу, или даже помощью механики, а именно – правилом равновесия рычага.
В работе « О спиралях» Архимед использовал формулы
и
где каждое из принимал равнымЭти суммы весьма похожи на современные интегральные суммы; в случае, если кривая задана уравнением
в прямоугольных декартовых координатах, интегральные суммы, как известно, имеют вид
а если кривая задана уравнением в полярных координатах, - вид
Подобные суммы встречаются у него и у других, упомянутых выше, работах. Кроме того, несомненно, что он владел ( в неявной форме) понятием определенного интеграла как предела интегральных сумм. Поэтому Архимед является первым предшественником интегрального исчисления. Его методы в этой области были возрождены лишь через две тысячи лет, в XVII в., когда ученые вплотную занялись задачами дифференциального и интегрального исчисления.
В работе « О спиралях» Архимед занимается также проведением касательной к спирали. Других работ, в которых рассматривается отыскание касательных, у него почти нет, но метод, которым он пользуется для построения касательной к спирали, носит общий характер, т.е. применим для проведения касательной к любой другой дифференцируемой кривой. В другой работе он решает еще задачу об отыскании максимума функции и тоже общим методом. Следовательно, Архимед был и первым предшественником дифференциального исчисления. Однако дифференциальных методов у него сравнительно много, поэтому математики XVII в. н. э. их не замечали.
Приходится удивляться, как Архимед, не владея алгебраической символикой, умудрялся чисто словесно проводить довольно громоздкие преобразования выражений, да еще и с их оценкой сверху и снизу. Работы Архимеда являются непревзойденными по сложности во всей древнегреческой математике, поэтому его доказательства в большинстве работ в течение почти двух тысяч лет мало кто из математиков понимал. Кроме того, Архимед выделяется в греческой науке обилием вычислений, что было совершенно нехарактерно для математики IV в. до н.э., которая, следуя Платону, не рассматривала практических приложений математики.