§ 1. Предмет математики и истории математики

Математика является одной из самых древних наук. Как и все другие науки, она возникла из нужд практики.

История математики изучает, как и почему возникла, развивалась и развивается математика.

В частности, она исследует такие проблемы: как математика, связана с практикой и другими науками; какие математические идеи и теории, и почему выдвигались на первый план в тот или иной исторический период; какова история отдельных частей математики (например, геометрия); какова история математики различных народов и др.

В отличие от обычных математических дисциплин, при изложении которых в учебной литературе математика рассматривается как нечто уже сложившееся, неизменное, для истории математики особенно важны этапы изменения содержания математики, появления в ней новых существующих фактов и методов.

История математики помогает ответить на важный вопрос: а что изучает сама математика? Дело в том, что нельзя полностью понять настоящее, если не

заглянуть в прошлое, - с тем, чтобы выяснить, как это настоящее возникло из прошлого.

Вопрос о предмете математики был поставлен и в принципе решен Ф. Энгельсом в работе «Анти-Дюринг» (1878г.). Для этой цели он проанализировал историю развития математики, начиная со времени её возникновения. Вот вывод, к которому пришел Ф.Энгельс:

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть – весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира».

Таким образом, по Ф. Энгельсу, математика есть наука о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира.

Это значит, что математика изучает не реальный мир, а пространственные формы и количественные отношения, тесно связанные с действительностью, но оторванные от материального содержания: числа, величины, линии, фигуры и т. д., т.е. абстракции. Но математические абстракции не означают отрыва математики от действительного мира; напротив, чем абстрактнее то или иное понятие, тем больше круг реальных явлений оно охватывает и тем шире применяется. Классический пример – понятие функции.

Определение Ф.Энгельса, в общем, правильно отражало сущность математики того времени. Но с тех пор математика в своем развитии ушла далеко вперед; появилось довольно много новых ее областей, которые уже не укладываются в рамки этого определения.

Современное определение предмета математики впервые было надо группой французских ученых, пишущих под псевдонимом Н.Бурбаки. Это определение академик А.Н. Колмогоров выражает следующим образом.

В основе всей математики лежит чистая теория множеств. Математика изучает структуры, т.е. классы множеств с заданным в них операциями и отношениями. Различные области математики тем и отличаются друг от друга, что изучают разные структуры.

Математика возникла из практических нужд людей. В дальнейшем связи ее с практикой сохраняются, но постепенно прямые связи сменяются косвенными – через посредство техники и других наук. В наши дни прикладная математика, разумеется, тесно связана с практикой, понимаемой в широком смысле, а вот чистая, «теоретическая» математика развивается, главным образом, под влиянием своей внутренней логики – необходимостью дальнейшего обобщения накопленных в ней фактов, понятий и теорий.

Математика занимает особое положение среди наук – она не относится ни к естественным, ни к гуманитарным наукам. Однако она примыкает к естественным наукам, так как шире всего применяется в естествознании – механики, физики, астрономии.

В последние десятилетия стремительно разворачивается процесс математизации наук. Математика становится царицей и одновременно служанкой всех наук. Служанкой − в том смысле, что она, в принципе, обслуживает все науки. Математика проникает, и чем дальше, тем больше, и в гуман6итарные науки. Например, в ведущих университетах страны на филологических факультетах читается курс математической лингвистики, возникшей на стыке лингвистики и математики. Царицей − в том смысле, что математика дает образец, как должна строиться настоящая наука − с точными определениями понятий и доказательствами предложений. Основным методом получения новых результатов в математике является логический вывод, не связанный с экспериментальной проверкой. Отсюда следует, что математические факты являются истинными. Основной метод использования математики в других науках, особенно естественных – метод моделирования.

Степень использования математики в той или иной науке косвенным образом свидетельствует о степени зрелости самой науки. Рассмотрим пример из медицины.

Терапия (отрасль медицины занимающаяся изучением и лечением внутренних болезней человека лекарственными средствами) до сих пор, в основном, остается на качественном уровне « лучше-хуже». В то же время офтальмология в последние десятилетия добилась значительных успехов в лечении глазных болезней именно потому, что достигла уровня количественных закономерностей, это сделало возможным широкое использование в математики и создание математических методов, приборов и приемов, существенно улучшающих процесс лечения.