Возникновение алгебры и теории чисел

Здесь ведущей фигурой был Диофант. О жизни Диофанта почти ничего не известно. Он жил в III в. н.э. в Александрии. По характеру своего творчества он резко отличается от всех известных греческих математиков. Откуда Диофант взял свою тематику, кто были его предшественники?

Один из его предшественников, не самый близкий по времени, - Герон (Iв. н.э.). У Герона мы находим в словесной формулировке формулу для площади треугольника

Где - полупериметр, с доказательством; правила решения квадратных уравнений, без обоснования; приближенную формулу

Где - наибольшее натуральное число, квадрат которого меньше, также без обоснования.

Но в целом тематики Диофанта близка к вычислительной математике Востока, прежде всего, Вавилона, где и в начале нашей эры имелись ученые, занимавшиеся математикой, и, возможно, Индии.

Главное сочинение Диофанта – “Арифметика”. В нем 13 книг, до наших дней сохранились 6, да и те с пропусками.

Сочинение посвящено алгебре и теории чисел. В нем впервые алгебра строится не на базе геометрии, как у Евклида, а на основе арифметики. Впервые в истории вводится буквенная символика. Ниже приводится символические обозначения Диофанта (таблица 1).

Основное понятие	Название	Символическое обозначение
Свободный член (известное число) Неизвестное Квадрат неизвестного Куб неизвестного Четвертая степень неизвестного Пятая степень неизвестного Шестая степень неизвестного	Единица Число Квадрат Куб Квадрато-квадрат Квадрато-куб Кубо-куб	𝒮

таб. 1

Эта символика еще тяжеловесна, неуклюжа. Обозначения большей частью являются сокращениями соответствующих греческих слов; так, обозначение известного числа есть сокращение слова “монада” – единица.

Из знаков действий у Диофанта имеется только знак вычитания ,знак сложения заменяется тем, что слагаемые пишутся рядом. Для обозначения равенства используется буква . Например, уравнение

Записывается следующим образом:

(Напомним, что в ионийской системе счисления, применявшейся в древней Греции, знаки ,,обозначают соответственно 1, 8 и 5).

Диофант вводит также шесть отрицательных степеней. Для этого используется знак , поставленный после записи знаменателя; например,записывается в виде.

Далее у него следуют правила умножения степеней (в современных обозначениях):

Приводится правило знаков при умножении членов одного многочлена на члены другого: «Отрицательное, умноженное на отрицательное , дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное». Все это дает Диофанту возможность перемножать многочлены.

Кроме того, в первой книге «Арифметики» решаются уравнения первой степени и неполные квадратные уравнения. Видимо, позднее, в утерянных книгах решаются полные квадратные уравнения.

Но большая часть «Арифметики», начиная со второй книги, посвящена решению неопределенных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Эти уравнения решаются в положительных рациональных числах (а не в целых, как в современной теории чисел). Такие уравнения позднее получили название диофантовых уравнений. Никакой теории подобных уравнений у Диофанта нет, а имеется большое количество конкретных уравнений и систем уравнений с решениями. Приступая к каждому неопределенному уравнению, автор сначала формулирует проблему в более или менее общем виде. Однако общего ее решения он не дает, скованный рамками своей символики, а приводит решение для частного случая, но такое, что тем самым намечается путь для нахождения бесконечного множества решений уравнения. Диофант отличается большой изобретательностью при отыскании методов решения уравнений; в частности, он широко пользуется методом подстановки.

Пример. Квадрат разбить на два квадрата.

Пусть надо число 16 разбить на два квадрата.

Положим, что первый квадрат равен тогда второй равен. Возьмем сторону второго квадрата равной некоторому количествуминус столько единиц, сколько их в стороне исходного квадрата (т.е. равной). Пусть она равна. Тогда

(Здесь и в дальнейшем Диофант использует, как хорошо известные, формулы для .)

Решение Диофанта легко обобщить, если “сторону” второго квадрата взять равной гделюбое рациональное число, большее 1:

Таким путем мы получили бесконечные множество решений уравнения в положительных рациональных числах (но не все решения).

Среди решенных Диофантом неопределенных уравнений имеется большое количество уравнений вида

.

Для решения первого уравнения он полагает для решения второгоновое неизвестное; после этого Диофант выражаетчерез, а затем

Труд Диофанта оказал огромное влияние на дальнейшее развитие алгебры и теории чисел, в частности, на творчество Виета и Ферма ученыхXVI−XVII вв. н.э.