§14 Создание теории конических сечений

Впервые конические сечения появились у Менехма (IV в. до н. э.), которой принимал параболу и равностороннюю гиперболу для решения задачи об удвоении куба ( см. § 6). Он рассматривал остроугольный, прямоугольный и тупоугольный конусы, т. е. конусы, у которых угол при вершине осевого сечения соответственно острый, прямой или тупой, и каждый из них пересекал плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. В первом случае в сечении с поверхностью конуса получался эллипс ( рис. 19), во втором – парабола (рис.20), в третьем – гипербола, точнее, одна, ветвь гиперболы (рис 21).

Менехм называл их сечениями соответственно остроугольного, прямоугольного и тупоугольного конуса. Фактически он пользовался прямоугольными координатами на плоскости: за начало координат принимал вершину кривой второго порядка, за одну из координатных осей – главный диаметр, а другую ось проводил перпендикулярно первой в плоскости, в которой лежит кривая.

У него встречается уравнение параболы в виде эллипса – в виде и гиперболы

После Менехма коническими сечениями в IV-III вв. до н.э. занимались несколько ученых, прежде всего Евклида и Архимед. Но главной фигурой в этой области является Аполлоний.

Аполлоний Пергский (ок. 260-ок. 170) родился в г. Перги в Малой Азии. Позднее он преподавал математику и, возможно, астрономию в Александрии. Основное его сочинение – «Конические сечения». Другие сочинения, меньшего масштаба – «О вставках», «О касании», «О спиральных линиях» и др.

В работе Аполлония «Конические сечения» восемь книг; до наших дней сохранилось семь. В сравнении с Менехмом он становится на более общую точку зрения: берет произвольный конус, причем рассматривает две его полости, и пересекает конус плоскостью под разными углами. В случае, если плоскость пересекает все образующие конуса, в ее пересечении с поверхностью конуса образуется эллипс (рис. 22); если она параллельна одной из образующих конуса – парабола (рис. 23); если плоскость пересекает обе полости конуса – гипербола (рис.24).

Фактически Аполлоний пользуется косоугольной системой координат, принимая за начало координат любую точку Р кривой и направляя координатные оси по диаметру и по касательной к кривой, проходящих через точку Р. В первой книге у него мы находим уравнение параболы в виде эллипса- в видеи гиперболы −данные отрезки. На выводе этих уравнений мы здесь не останавливаемся. (Проверьте, что два последних уравнения можно привести к форме, весьма близкой к каноническим уравнениям эллипса и гиперболы.

Сами термины «парабола», «эллипс», «гипербола» впервые встречаются у Аполлония. Слова « парабола» в переводе с греческого означает «приложение» : уравнение читается словесно в виде равенства квадратаи прямоугольника.Cлово «эллипс» переводится как «недостаток»: в правой части уравнения не хватает слагаемогодля того, чтобы получилось «приложение», как в уравненииСлово «гипербола» -«избыток»: в правой части уравнениянужно отбросить лишнее слагаемоедля того, чтобы можно было оставить «приложение».

Символики у Аполлония нет; доказательства проводятся словесно. При доказательствах регулярно применяется геометрическая алгебра, которой пользовался еще Евклид (см. § 10). Постоянные в уравнениях конических сечений вводились, в частности, для того, чтобы уравнять размерности левой и правой частей. Доказательства во многих случаях получались весьма непростыми.

Далее в первой части Аполлоний рассматривает касательные к коническому сечению, направления хорд кривой, сопряженных с любым диаметром, и др. Затем он преобразует уравнения эллипса и гиперболы так, что начало координат совпадало с вершиной параболы. Наконец, он связывает свои уравнения конических сечений с уравнениями Менехма.

В следующих книгах « Конических сечений» Аполлоний рассматривает асимптоты гиперболы, уравнение гиперболы относительно этих асимптот, в частности, уравнение равносторонней гиперболы в виде фокусы эллипса и гиперболы, число точек пресечения двух конических сечений ( он доказывает, что число этих точек не более четырех), ряд теорем о равенстве площадей, связанных с коническими сечениями, и др.

В целом у него получается весьма полная, объемистая, систематически изложенная теория кривых второго порядка.

Конические сечения Аполлония около двух тысяч лет не находили применений в математическом естествознаний и поэтому не получили дальнейшего развития. Лишь в XVII в. Кеплер установил, что все планеты нашей солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце, а Галилей выяснил, что камень, брошенный под углом к горизонту, летит в пустоте по параболе. В том же XVII в. Декарт и Ферма, а также их последователи, пользуясь алгебраической символикой, перевели основные понятия и ряд предложений Аполлония на язык уравнений, и тождеств и заложили основы аналитической геометрии.