Binder1

x2 3x 2 0

x

1; x

2 , отсюда

x2 3x 2 x 1 x 2 .

1

2

При x 1

13 6 12

11 1 6 0 ,

При x 2

23 6 22

11 2 6 8 24 22 6 0 .

По следствию теоремы Безу многочлен

x3 6x2 11x 6 делится без остатка на

биномы x 1

и x 2 , т.е.

f x

x3 6x2 11x 6

x 1 x 2 x 3

.

x

2

3x

2

x 2

x 1

Функция не определена в точках

x1 1

и x1 2 . В других точках дробь можно

сократить на x 1

и на x 2 , т.к. x 1

и x 2 . Следовательно, f x x 3 при

x 1

и x 2 . Легко видеть, что

lim

f x

lim

f

x

lim x 3 2 .

x 1 0

x 1 0

x 1

lim f x

lim

f x

lim

x 3 1.

x 2

0

x

2

0

x 2

Таким образом, при x 1 и x 2

данная функция f x имеет устранимый разрыв

(рис.41).

Задачи для самостоятельной работы

Пример 1. Исследовать функцию на непрерывность

0

при x 0

при 0 x 1

x

.

f x

2

при1 x

3

x2 4x

при x 3

4 x

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси.

Пример 2. При каком

значении

k

функция

f x

будет

непрерывной

x 1

при x 1

.

f x

при x 1

3 kx2

Ответ: k 1.

Пример 3.

Исследовать функцию на непрерывность

f x

x2 4

.

x3 8

Ответ: т. x 2 - точка устранимого разрыва.

Пример 4.

Определить число точек разрыва у функции y

1

.

x4 26x2 25

Ответ: 4. x1 1, x2

1, x3 5, x4 5.

Пример 5.

Найти точки разрыва функции y

x 1

.

x3 6x2 11x 6

Ответ: 3. x1 1

-

точка устраняемого разрыва. x2

2, x3

3 - точки разрыва

второго рода.

Пример 6.

Подобрать

числа

A

и

B так,

чтобы

функция

f x была

непрерывной

2sin x

при x

2

при

x

.

f x Asin x B

2

2

при x

cos x

2

Пример 7. Сколько точек разрыва ( и какого рода) имеет функция y

1

.

lg

x

Ответ: Функция имеет 3

точки

разрыва:

x1 0

-

точка устранимого

разрыва,

x2,3 1 - точки разрыва второго рода.

Пример

8.

Сколько

точек

разрыва

(и

какого рода)

имеет

функция

y

x 3

.

x 3 x2 3x 4

Ответ: Функция имеет 3

точки разрыва.

x1 3 -

точка устранимого разрыва,

x2 4, x3

1 - точки разрыва второго рода.

Пример 9. Определить число точек разрыва у функции y

1

.

x4 16

Ответ: 2 точки: x1,2 2 - точки разрыва второго рода.

Пример 10.

Найти точки разрыва функции y

x

.

x2

6x 5

Ответ: 2 точки: x1 5, x2 1 - точки разрыва второго рода.

Пример 11.

Найти точки разрыва функции y

x

.

x2 4x 4 x2 10x 25

Ответ: 2 точки:

x1 2, x2 5 - точки разрыва второго рода.

Пример 12.

Какого рода разрыв имеет функция y

cos x

.

x

Ответ: x 0 - разрыв второго рода.

Пример 13.

Доказать, что функция y

1

имеет в точке x 0 разрыв

1

1 2 x

первого рода.

Ответ:

lim

y 0 ,

lim

y 1.

x 0 0

x 0 0

пусть lim (x) 0

, тогда

lim sin (x)

1.

x a

x a

(x)

пусть lim (x) 0 , тогда lim 1 (x)

1

e.

x a

( x)

x a

Непрерывность сложной функции:

Пусть функция

y (x) непрерывна в точке a , функция

u f ( y) непрерывна в

точке b (a) . Тогда сложная функция u f ( (x)) F (x)

непрерывна в точке a .

Непрерывность элементарных функций:

Функции

y c const,

y x ,

y a x , y loga

x(a 0, a 1), y sin x,

y cos x, y tgx, y ctgx, y arcsin x,

множитель

функцию

sin 3x

. Для

этого достаточно умножить числитель и

3x

знаменатель на 3.

Имеем:

sin 3x

sin 3x

sin 3x

3 1 3.

lim

x

lim

3 3 lim

3x

x 0

x 0 3x

x 0

Пример 3. Вычислить lim

2x

:

arcsin x

x 0

Решение. Положим y arcsin x

и учтем, что y 0 при

x 0 , а sin y x . Тогда

2x

2sin y

sin y

lim

lim

2lim

2.

arcsin x

y

y

x 0

y 0

y 0

Пример 4. Вычислить

1

lim xsin

x

.

x

Решение. Положим (x)

1 и учитывая, что lim (x) 0

, выделим из выражения

x

x

1

sin

x

lim(x sin

1 ) lim

1.

1

x

x

x

x

Пример 5. Вычислить lim(1 z)tg

z .

z 1

2

Решение. Этот предел является неопределенностью типа 0 .

Положим

y 1 z

и преобразуем эту неопределенность в неопределенность типа

1.

Если

u(x) и v(x) непрерывны в точке а, u(x) 0 в окрестности точки а, то

функция u(x)v x также непрерывна в точке а, т.е. lim u(x)v( x) u(a)v(a) .

x a

2.

Если

lim u(x) b 0

, lim v(x) c , то lim u(x)v( x) bc .

x a

x a

x a

3.

Если

lim u(x) ,

lim v(x) c 0

(или

), то limu(x)v( x) .

x a

x a

x a

4.

Если

lim u(x) ,

lim v(x) c 0

(или

), то lim u(x)v( x) 0.

x a

x a

x a

5.

Если uv представить в виде ev ln u , то каждая из неопределенностей типа 00 , 0 ,

1 сводится к неопределенности вида

0 для функции v ln u.

Если при этом lim v ln u b , то lim u(x)v( x) eb .

x a

x a

lim v(x) , то

lim v( x) u( x) 1

.

lim u(x)v( x) ex a

x a

x a

Решение. Пусть

lim u(x) 1

,

lim v(x) .

Рассматриваемый предел

lim u(x)v( x)

x a

x a

x a

неопределенностью типа

1 .

Используем формулу

lim v( x) u ( x) 1

,

lim u(x)v( x) ex

x

которая получена в примере 1.

Имеем

u(x) 1 1

2

1

2

,

v(x) x ,

lim u(x) 1 v(x) 2.

Поэтому

x

x

x

2

x

e

2

lim 1

.

x

x

Пример 3. Вычислить

lim

1 tgx ctgx .

x 0

1

Решение. Так как

lim u(x) lim

3x 1

lim

3

x

1

,

lim v(x)

, то этот предел

3x 1

1

x

x

x

x a

3

x

3x 1

2

lim v(x) [u(x) 1] lim

4x

lim

4

4

.

3x 1

1

3

(x) u(x) 1 3x 1 1 3x 1 : x

x

x

3 x

3x 1

2 x

4

e 3 .

Следовательно, lim

x 3x 1

x

2

4x 1

x 3

Пример 5. Вычислить lim

2

3x

5

.

x

Решение. Так как

lim u(x) lim

x2 4x 1

1

1,

а lim(x 3) , то

3x

2

5

3

x

x

x

3x 1

2 x

lim

3x 1

0.

x

1

Пример 6. Вычислить lim(2x 3)

sin x

.

x 2

Решение. Здесь u(x) 2x 3,

v(x)

1

, причем lim u(x) 1 ,

lim

1

.

sin x

x 2

x 2 sin x

Таким образом, имеем неопределенность типа 1 .

Сначала используем свойство 6 предела показательно-степенной функции:

1

lim[2 x 4]

1

lim (2x 3)sin x

sin x .

ex 2

x 2

В показателе экспоненты получили при x 2 неопределенность типа

0

, которую

0

раскроем с помощью теперь уже первого замечательного предела в форме I-2.

Положим,

y x 2 и заметим,

что при x 2 переменная y 0 . Тогда