Binder1

ln x sin x x cos x sin xsin2 x .

Пример 7. Вычислите производную функции y 3 x2 2x . arctgx

2

Решение. Для удобства представим 3 x2 в виде x 3 и воспользуемся основными правилами дифференцирования и таблицей производных:

2

x 3 2x 2 . 1 x2 arctgx

ln x ' 1x x 0 , получаем:

105

Решение. При x 0 воспользуемся правилом дифференцирования произведения:

так как под знаком предела мы имеем произведение бесконечно малой при x 0 функции на ограниченную функцию.

Задачи для самостоятельной работы

1. Вычисление производной с использованием таблицы и основных формул дифференцирования.

106

В роли промежуточной переменной u u x выбирается такая функция, чтобы производную yu' можно было вычислить с помощью таблицы производных и основных правил вычисления производной.

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить производную функции y earcsin x .

Решение. Представим функцию в виде y eu , где u arcsin x . Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получаем

107

Пример 2. Вычислить производную функции y 5x3 .

Решение. Эту функцию рассмотрим как сложную функцию вида y 5u , где u x3 . Тогда все производные в формуле для производной сложной функции являются табличными и находим:

yx' yu' ux' 5u u' x3 'x ln 5 5u 3x2 3ln 5 x2 5x3 .

После приобретения необходимых навыков, дифференцирование сложной функции можно проводить не выписывая функции, составляющие данную сложную функцию.

Пример 3. Вычислить производную функции y 1 cos x . Решение. Имеем

Пример 4. Вычислить производную функции y 3arctg x3 .

Решение. Правило дифференцирования сложной функции можно применить и в случае сложной функции, являющейся суперпозицией 3-х и большего числа функций.

Функцию можно представить в виде y 3u , где u arctgv , а v x3 . Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем

yx' yu' uv' vx' ln 3 3arctg x3 1 1x6 3x2 .

Пример 5. Найти производную функции y tg 2x log3 x .

Решение. Представим функцию в виде y tgu , где u x 2x log3 x . Тогда

108

sin x sin 2cos x .

Используя основные правила дифференцирования и формулу дифференцирования сложной функции, получаем

Пример 9. Найти y ' x , если y ln ln ln x .

Решение. Представим эту формулу в виде сложной функции y ln u , где u ln v , а

109

Пример 10. Докажите, что если u x и v x имеют производные в точке x и

показательной. При ее дифференцировании можно: 1) воспользоваться основным логарифмическим тождеством и затем правилом вычисления производной сложной функции; 2) воспользоваться понятием логарифмической производной

(см. §3).

Решим задачу первым способом.

Далее используем правило дифференцирования сложной функции:

что и требовалось доказать.

Пример 11. Найти производную функции y xx .

Решение. Следуя методике задачи 10, эту функцию можно представить в виде y ex ln x x 0 . Далее воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

yx' ex ln x x ln x ' xx ln x 1 .

Пример 12. Найти y ' x , если y x eex xex .

Решение. Представим заданную функцию в виде x 0 y eex e ln x ex .

Используя правила дифференцирования и формулу для производной сложной функции, получаем

110

Пример13. Найти производную функции y ln 1 sin2 x 2sin x arctg sin x .

2cos xarctg sin x .

Пример 14. Найти производную функции y exarctgx ln 1 sin x .

cos x

Задачи для самостоятельной работы

2. Вычисление производной сложной функции.

x log6 x log4 (log6 x)ln 3ln 4ln 6

111

дифференцируема в точке x . Тогда ln y ln f x . Рассматривая ln y как сложную функцию аргумента x , вычислим производную этой функции в точке x , принимая

Величина, определяемая формулой (1) называется логарифмической производной функции y f x в данной точке x .

Логарифмическое дифференцирование обычно используется для вычисления производной степенно-показательной функции и в случае, когда дифференцируемая функция представлена в виде произведения нескольких функций.

то они называются правой и соответственно левой производной функции y f x

112

Обе части (1) дифференцируем по x , учитывая, что ln y есть сложная функция от

Пример 2. Вычислите производную функции y x 11 xx .

Решение. Логарифмируя, получим ln y ln x 12 ln 1 x 12 ln 1 x .

Вычислим производную от обеих частей полученного равенства по x :

Пример 3. Найдите y ' x , если y sin x cos x .

Решение. Функция определена при 2 n x 2 n, n Z .

Логарифмируем функцию и дифференцируем обе части полученного равенства по x :

113