Binder1

Объединяя эти результаты, получим решение неравенства в виде x 0;2 .

Ответ: (0; 2).

Пример 4. Решить уравнение

x 3 2 x 3.

Решение. Так как

x 3 2

x 3

, то уравнение может быть записано так:

x 3

x 3. Исходя из того, что

x 3

x 3, при x 3,

получим следующие

x 3, при x 3,

две системы:

x

3 x 3

2x

6

x 3;

а)

3

x

x 3

x 3 x

3

x 3.

б)

x 3

Объединяя эти результаты, получим решение уравнения x 3.

Ответ: ;3 .

Пример 5. Доказать неравенство:

4x 1

3x 1

x

.

Решение. Преобразуем левую часть неравенства следующим образом:

4x 1

3x 1 x

3x 1

x

, что и требовалось доказать.

Пример 6. Решить уравнение:

x 1

x2

2x 5.

Если

x 1, то x 1 x2 2x 5 x2 x 6 0, откуда

x

3, x

2,

а

1,

2

удовлетворяет условиям лишь x 2, т.к. x 3 ;1 . Аналогично, если x 1,

то

x 1 x2

2x 5 x2 3x 4 0, а x 1, x

2

4. Так как

x

1 1;

, значит

1

1

решением является лишь x 4.

Ответ: 2;4 .

Пример 7. - окрестность числа x0 5

при 0,2 записывается (4,8; 5,2).

Пример 8.

окрестность

числа

x0 3

при

0,01

имеет вид

(-3,01; -2,99).

Пример 9.

Интервал (1; 1,4) является окрестностью числа

x0 1,2, а

0,2.

Задачи для самостоятельной работы

Решить неравенства:

10.

2x 1

3.

Ответ: 2;1 .

1

11.

5x 3

2.

Ответ: ; 1

;

5

.

12.

4x 1

3.

Ответ:

1

2

;1 .

x 3 2 9.

13.

Ответ: 6;0

14.

3x 1

5 .

Ответ:

11

9

x 2

;

2

8

; .

x 3

5

1

1

1

15.

2 .

Ответ:

;

;

.

2x 1

3

2

5

2

16.

5x 1

x 2

0 .

Ответ:

3

;

1

4

6

.

17.

x2

5x 5 2 1.

Ответ: 1;2 3;4 .

18.

3 x

2

x 1

.

Ответ: ; .

19.

Решить уравнение

x

x2 6

Ответ: 3;3 .

20.

Записать

- окрестность числа

x0 , если:

а) x0 6, 0,2 ;

б)

x0 1,

0,005.

21.

Задан интервал, являющийся

- окрестностью числа x0. В ответе указать

x0

и .

а) (0,98; 1,02);

б) (-0,4; -0,2).

всех комплексных чисел обозначается символом C .

Геометрической интерпретацией комплексного числа

z=(x,y) на плоскости

в прямоугольной декартовой системе координат является

точка M(x,y) или

радиус-вектор этой точки OM (рис. 3)

1)

1

z

2

1

2

1

2

isin

1

2

,

z

r r

cos

2)

z1

r1

cos

isin

2

,

r

z

2

1

2

1

2

3)

zn rn cos n isin n

- эта формула называется формулой Муавра;

4)

n z n

2 k

isin

2 k

k 0;1;2;...; n 1 .

r cos

n

n

, где

Показательная форма комплексного числа.

Используя формулу Эйлера

ei cos isin ,

получим запись комплексного числа z в показательной форме

z rei ,

где

r

z

-

модуль комплексного числа

z , а arg z аргумент этого

числа.

Пусть

z

rei 1

,z

2

r ei 2

, тогда:

1

1

2

4) n z n r ei

2 k

n , где k 0;1;2;... n 1 ;

z1

2 3i

2 3i 3 i

3 11i

0,3 1,1i.

3 i

9 1

z2

3 i 3 i

z1 ,

- число z2. Их

Радиус-вектор

OM1 определяет

число

а OM2

сумма

OM

OM1

OM2

а разность ON OM1 OM

2.

z1

Числа z z

2

и

изображены соответственно радиусами-векторами OP

и OQ

1

z2

Рис. 4.

Пример 2. Заданы комплексные числа: а) z1 3, б)

z2 3,

в) z3 2i,

г) z4 2i, д) z5 1 i,

е) z6 3 i.

Решение. а) z 3 3 0 i,

т.е. r 32

02

3, arctg 0

arctg0, так

1

3

как радиус-вектор совпадает с направлением

оси

OX , то 0. Отсюда

Рис. 5.

Рис. 6.

б) z2 3, т.е.

r

3 2 02

3,

arctg

0

arctg0,

а радиус-вектор

3

противоположен

направлению

оси

0X , что

означает

и число

z2 3 cos isin 3ei

(рис. 6).

в) z 2i 0 2i, r 02 22 2, .

3

2

Отсюда, z3 2i 2

isin

i

(рис. 7).

cos

2

2

2e 2

Рис. 7.

Рис. 8.

г)

z4 2i 0 2i, находим

r 2,

, т.е.

2

z4

2i 2

isin

2e

i

(рис. 8).

cos

2

2

2

д) z5 1 i,r

1

1

2

1

arctg 1

,

2, arctg

1

4

т.е. z5 2

isin

2e

i

(рис. 9).

cos

4

4

4

21

Рис. 9.

Рис. 10.

z6 3 i, r

3

2

1

2

1

3

е)

2,

arctg

arctg

,

с учетом

3

3

формулы (1), тогда

5

.

6

5

5

i

5

Значит, z6 3 i 2 cos

isin

2e

6

(рис. 10).

6

6

Пример 3. Построить области точек z по условиям:

а)

z

3, б)arg z

, в)

z

2 и

arg z ,

г)

z i

1, д) Re z 1,

3

4

е) 0 Imz 2, ж) 1

z 3 i

2.

x2

y2 . Значит, строим область

Решение. а)

z

3. Если z x iy, то

z

точек, удовлетворяющих условию x2 y2

9,

т.е. окружность с центром в начале

координат и радиусом 3 (рис. 11).

Рис. 11.

Рис. 12

б) arg z

, т.е.

- это луч, выходящий из начала координат и образующий с

3

3

осью OX угол

(рис. 12).

3

22

в)

z

2 и

arg z . Строим круг с центром в начале координат и радиусом 2,

4

а затем лучи

и , получим в качестве искомой области сектор этого

4

круга, ограниченный лучами

и , причем луч

не входит в эту

4

4

Рис. 13.

Рис. 14.

г)

z i

1.

Перепишем условие так:

x iy i

x i y 1

x2 y 1 2

1, т.е.

указанная область – это окружность с центром в точке C 0; 1

и радиусом 1 (рис.

14).

д) Rez 1

или x 1 - это полуплоскость, расположенная правее прямой

x 1,

Рис. 15.

Рис. 16.

е) 0 ImZ 2

или 0 y 2

- это полоса между прямыми y 0 (ось ОХ) и

y 2 ,

причем y 0

входит, а y 2 не входит в указанную область (рис. 16).

ж) 1

z 3 i

2

23