Binder1

65

§3 Предел функции. Теоремы о пределах

Определение предела функции по Коши.

Определение предела функции по Гейне.

66

Число b называется пределом функции y f (x) в точке a , если для любой сходящейся к a числовой последовательности {xn} такой, что xn X , xn a , соответствующая последовательность значений функции { f (xn )} сходится к b .

Обозначение: limx a f (x) b или f (x) b при x a .

Теоремы о пределах

1.Определения 1 и 2 эквиваленты.

2.Пусть функции f (x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки a ,

кроме, быть может, самой точки a , и имеют в точке a предельные значения b и c соответственно.

Тогда:

lim f (x) g(x) b c,

x a

предела).

3. Пусть функции f (x) , g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки a , кроме, быть может, самой точки a , и удовлетворяют условиям

4.Функция y f (x) может иметь в точке a только одно предельное значение.

5.В каждой точке a бесконечной прямой предельные значения многочленов и несократимых алгебраических дробей (частное двух многочленов) существуют и равны значениям этих функций в указанной точке (в случае несократимой дроби a не должно быть корнем знаменателя).

67

Односторонние пределы:

Определение 3 (по Коши).

Число b называется правым (левым) пределом функции y f (x) в точке a , если

a , если для любой сходящейся к a числовой последовательности {xn} такой, что xn X , xn a (xn a) , соответствующая последовательность значений функции

этой точке существует предельное значение функции, равное односторонним

68

Бесконечно большие функции

Определение 7.

Функция f (x) называется бесконечно большой в точке a справа (слева), если дляM 0 0 такое, что x , удовлетворяющего условию x X , a x a ( a x a ) выполняется неравенство | f (x) | M .

Обозначение: lim f (x) .

x a 0

Если функция является бесконечно большой в точке a справа и слева, то пишут

Аналогично определяются неопределенности типа , , 00 , 0 , 0 , 1 .

Для таких пределов теорема 2 неприменима. Методы устранения (раскрытия) неопределенностей:

0

I. Неопределенность вида 0 . Для устранения неопределенности обычно выделяют в числителе и знаменателе общий множитель, создающий эту неопределенность.

II. Неопределенность вида . Если f (x) и g(x) - рациональные функции или

линейные комбинации степенных функций, то для вычисления limx gf ((xx)) надо разделить числитель и знаменатель на старшую степень x .

69

приводятся к неопределенности типа 1 , который раскрывается с помощью второго замечательного предела.

последовательность значений аргумента, то все элементы соответствующей последовательности значений функции равны c и поэтому сама последовательность значений функции также сходится к числу c при x .

Пример 2. Доказать, что limx a x a.

Доказательство. Воспользуемся сначала определением предела функции по Коши. Зададим произвольное 0 и положим .

Тогда, если | x a | , то | f (x) a | | x a | .

Это означает, что limx a x a. То же самое покажем на основе определения предела функции по Гейне. В самом деле, если f (x) x, то последовательности значений аргумента и функции тождественны, и поэтому, если последовательность {xn }

сходится к a , то и последовательность { f (xn )} также сходится к a .

70

Пример 4. Найти limx 2 xx2 24 .

Решение. Под знаком предела стоит несократимая алгебраическая дробь, знаменатель которой не обращается в ноль при x 2.

Согласно теореме 5 имеем:

0

Поэтому этот предел является неопределенностью типа 0 , и мы не можем воспользоваться теоремой о пределе частного двух функций. Воспользуемся тем,

f (x)

что при определении предела функции g(x) в точке a 4 аргумент самой

функции не принимает значения, равного a . Для раскрытия неопределенности необходимо выделить в числителе и знаменателе дроби общий множитель (x a) , создающий неопределенность и сократить числитель и знаменатель дроби на x a . При x 4 имеем:

Поэтому здесь уже можно воспользоваться теоремой о пределе частного:

0

Решение. Этот предел, как и в примере 5, является неопределенностью типа 0 .

71

Для раскрытия неопределенности предварительно разлагаем числитель и знаменатель дроби на множители, сокращаем на x 1 и после этого воспользуемся

f ( x ) x2 6x 8 и g( x ) x2 2x , поэтому налицо неопределенность 00 . Разлагая числитель и знаменатель дроби на множители, получаем:

Решение. Этот предел является неопределенностью типа 00 . Положим 1 x y5 .

Получаем:

0

Решение. Предел является неопределенностью типа 0 . В отличие от примеров 5-8

здесь нельзя непосредственно сократить числитель и знаменатель дроби на (x 4) . Поэтому предварительно преобразуем функцию под знаком предела, умножив числитель и знаменатель на ( 3x 4 4) - выражение, сопряженное знаменателю:

72