ГЛАВА I

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

§ 1. Элементы теории множеств.

Основные понятия

Понятия множества, элемента множества и пустого множества в математике являются первичными, то есть исходными, неопределяемыми. Множества, как

x A, а то, что x не принадлежит множеству A , записывается x A или x A . Пустое множество обозначается символом .

Множество может быть задано либо перечислением элементов, либо описанием свойств, характеризирующих эти элементы, при этом элементы множества записываются в фигурных скобках.

Пример 1. X a,b,c , т.е. множество X состоит из трех элементов a, b, c .

Пример 2. Запись A x : 0 x 1 означает, что множество A состоит из всех действительных чисел (если нет других условий), удовлетворяющих неравенству 0 x 1.

По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные, а

Множество A называется подмножеством множества B , если каждый

группы этого потока, тогда B A.

Множества A и B называют равными или совпадающими, если B A иA B , т.е. состоят из одних и тех же элементов и пишут A B .

Объединением (суммой) множеств A и B (обозначениеA B ) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B , т.е. A B x : x A или x B .

Пример 4. A 2,5,7 , B 3,5,6 , тогда A B 2,3,5,6,7 .

Пример 5. A 2,5,7 , B 2,5,7,8,9 , тогда A B B 2,5,7,8,9 , т.к. A B .

Пересечением (произведением) множеств A и B (обозначениеA B )

называется множество, все элементы которого являются как элементами множестваA , так и элементами множестваB , т.е. A B x : x A и x B .

Пример 6. A 2,3,4,7,9 , B 1,3,4,5,6,8 , тогда A B 3,4 .

Пример 7. A 2,3,4 , B 1,2,3,4,5 , тогдаA B A 2,3,4 , т.к. A B .

Пример 8. A 2,4,6,8 , B 1,3,5,7,9 , тогда A B .

Разностью множеств A и B (обозначение A \ B ) называется множество тех и только тех элементов множества A , которые не принадлежат множеству B , т.е.

A \ B x : x A и x B .

Пример 9. A 2,3,4,5 , B 4,5,6,7 , тогдаA \ B 2,3 .

Подмножество A называется дополнением подмножества A из множества B , если оно содержит элементы основного множества кроме элементов подмножества A , т.е. A A B, A A и A B \ A.

Пример 10. A 2,4,6 , B 1,2,3,4,5,6 . Тогда A B и A B \ A 1,3,5 .

7

Один из способов построения множества состоит в рассмотрении множеств упорядоченных пар чисел a,b . Упорядоченной называется пара чисел (а,b), где определен порядок расположения этих чисел, т.е. первым числом является а, а вторым – b. Например, пара (2;5) отлична от пары (5;2). Упорядоченные пары действительных чисел известны из школьной программы как координаты точек плоскости.

Прямым произведением множеств A и B называется множество,

состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар a,b , в которых a A, b B . Прямое произведение двух множеств обозначается через A B .

Таким образом, элементом прямого произведения множеств A B служит упорядоченная совокупность двух элементов, необязательно различных, элемент a считается первым элементом, b – вторым.

Пример 11. Если в десятилетней школе имеется по три класса каждого года обучения, то обозначения всех классов может быть представлено как прямое

Для иллюстрации операций над множествами используют диаграммы ЭйлераВенна:

Рис .1. Диаграммы Эйлера-Венна.

8

Для сокращения записей употребляют следующие логические символы, , … - это некоторые предложения, утверждения, высказывания. Запись означает отрицание утверждения , т.е. не ;

- квантор всеобщности, читается как каждый, любой, всякий;

- квантор существования, читается, как существует, найдется;

=> - символ импликации. Запись => означает, что из утверждения следует утверждение ; <=> - символ эквивалентности (равносильности). Запись <=> означает

утверждение эквивалентно утверждению ; : - означает «имеет место», «так, что».

Примеры решения задач

Описать следующие множества перечислением: Пример 13. Множество A x Z : x3 2x2 x 2 0 .

Решение. Рассмотрим уравнение x3 2x2 x 2 0 . Разложив левую часть на множители, получим:

x3 x2 x2 x 2x 2 x2 x 1 x x 1 2 x 1 x 1 x2 x 2

Решение. Сначала решим неравенство 12 2x 3 1 x log2 3 .

Так как нужно рассмотреть только целые решения, то A 1,0,1 .

Ответ: A 1,0,1 .

9

26. Описать перечислением всех элементов множества A B, A B, A \ B, B \ A ,

27.Пусть А = [0; 3), B = (1; 5]. Найти множества А В, А В, А \ В, В \ А.

Ответ: А В = [0; 5], А В= (1; 3), А \ В= [0; 1], В \ А= [3; 5].

28.Доказать, что А В = В верно тогда и только тогда, когда В А.

Пусть В = [0; 2]. Найти дополнения следующих множеств до множества В:

§ 2. Действительные числа. Числовая ось.

Абсолютная величина действительного числа. Основные понятия

Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа. Примеры числовых множеств:

1, 2, 3... ,n,... - множество натуральных чисел;

0 0,1,2,3,...,n,... - множество целых неотрицательных чисел;

...n,..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...,n,... - множество целых чисел;

mn :m Z ,n - множество рациональных чисел;

x : x - множество действительных чисел. Эти множества связаны между собой соотношениями: 0 .

Любое рациональное число выражается либо конечной десятичной дробью, либо бесконечной, но периодической десятичной дробью, так числа

11

15 0,2 или 23 = 0,666 … = 0,(6) являются рациональными числами.

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью:

2 1,4142356... .

Каждое действительное число изображается точкой числовой оси и, наоборот, каждой точке числовой оси соответствует единственное действительное число, т.е. устанавливается взаимно-однозначное соответствие между точками числовой оси и действительными числами.

Обозначения некоторых числовых множеств:

a,b x: a x b - интервал (открытый промежуток);

a,b x : a x b - отрезок (замкнутый промежуток);

a,b x :a x b и a,b x :a x b - полуоткрытые интервалы.

неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условиям:

a, еслиа 0, a a, еслиа 0.

Из определения вытекает, что a 0,a a , a a , a a . Свойства абсолютной величины:

1) x a, a 0 a x a;

x a,

2)x a, a 0

x a;

3)x y x y ;

4)x y x y ;

5)x y x y ;

6)xy xy , y 0.

12

Окрестностью точки на числовой оси называется любой интервал a,b , содержащий эту точку.

Проколотой окрестностью точки на числовой оси называется окрестность

Рис. 2 Исходя из свойств абсолютной величины действительного числа,

попадает в - окрестность точки x0 .

Примеры решения задач

Пример 1. Решить неравенство 5x 3 2.

13