Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Binder1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

2.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Решение. При вынесении из под знака квадратного корня старшей степени x

следует учесть, что

. Поэтому

lim

4x2 3x

lim

4 x

5x 2

x 5

Таким образом, возможны два случая:

									3
1)	lim	x	4x2 3x	lim	1		4 x			1 2	3	;
1)	lim		5x 2	lim						5	5	;
	x		5x 2	x		5		2		5	5
						5		x
								x
									3
2)	lim	x	4x2 3x	lim	1		4 x			1 2		1 .
2)	lim		5x 2	lim						5		1 .
	x		5x 2	x		5		2		5		5
						5		x
								x

Пример 15. Вычислить lim 2x x3x 5x .

x 5 1

Решение. Данный предел является неопределенностью . Максимально

возрастающим при x слагаемым в числителе и знаменателе является 5x . Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на 5x и

учтем, что lim ax 0, при a 1.

Итак, получаем:

									2	x		3		x		1
lim 2	x		3		x	5	x		5			5				1
			3			5		lim	5			5					1.
		5	x	1				lim									1.
x		5	x	1				x			1				x
x								x		1
										1	5
											5
Пример 16. Вычислить													lim				x2 2x	x2 9	.
													x
Решение.								Для	раскрытия								неопределенности на первом этапе

преобразуем её в неопределенность вида . Для этого умножим и разделим выражение на сопряженное:

x2 2x x2

2x 9

x2 2x x2

x2 2x

Полученное выражение при x приводит к неопределенности вида

, которая

раскрывается делением числителя и знаменателя на x:

																																		9
lim			x2					2x x2							9		lim				2x 9						lim						2 x									2	1.
lim			x2					2x x2							9		lim			x2 2x							lim									9					1	1	1.
x																	x			x2 2x			x2 9					x					2			9					1	1
																															1 x				1
																															1 x				1			x2
			Пример 17. Вычислить																	1						8
																				lim								.
																				lim				x	2	16		.
																				x 4 x 4				x		16
			Решение. Выражение под знаком предела приводим к общему знаменателю и
затем раскрываем неопределенность вида																								0 :
																								0
	1										8							x2		8x 16							x 4 2										x 4				0
lim															lim							lim											lim									0		.
lim										x2 16					lim				x2 16			lim				x 4 x 4							lim				x 4				8	0
x 4	x 4									x2 16						x 4			x2 16				x 4			x 4 x 4								x 4			x 4				8
																	Задачи для самостоятельной работы
Вычислить пределы функций:
1.	lim							x2 1				.											10.				lim			1 3x		.
																														2x 3
								3x 2
x 1 x2								3x 2																		x
2.	lim				x2			25			.												11.				lim			x4	2x2			5x 2					.
2.	lim						x		5		.												11.				lim				2x3 4x2								.
	x 5						x		5																	x					2x3 4x2
3.	lim						x2 5x 6							.									12.			lim				x3	4x2			9			.
3.	lim							12x 20						.									12.			lim											.
	x 2 x2							12x 20																		x 3 x4 5x2 12x
4.	lim			2x3 2x2 x 1												.							13.			lim				2x4 5x3 8x 3										.
4.	lim					x3		x2 3x							3	.							13.			lim					3x2			8x		3				.
	x 1					x3		x2 3x							3											x 3					3x2			8x		3
5.		lim					x3 2x2 3x								.								14.			lim			5x4		2x2			3	.
5.		lim					2x4 3x2 5								.								14.			lim			3x2 2x					1	.
	x 1						2x4 3x2 5																			x 1			3x2 2x					1
6.	lim			3x3 2x2 1									.										15.			lim					x3 27					.
6.	lim							x4 1					.										15.			lim			5x2 11x					12		.
	x 1							x4 1																		x 3			5x2 11x					12

7.	lim						2x3 5x2 4											.					16.	lim				x3 27							.
7.	lim		3x3 2x2 10x 4															.					16.	lim										9	.
	x 2		3x3 2x2 10x 4																					x 3 2x3 5x2										9
8.	lim			x4 x2										.									17.	lim		2x3 5x2 4x 1													.
8.	lim													.									17.	lim				10x2 3x 1											.
	x 0 x4 2x3																								1			10x2 3x 1
																								x 2
9.	lim					1								2														10x	4	x		3	3x			2		2x 4 .
																.							18.	lim
				1 x												.							18.	lim
	x 1			1 x							1 x2														1			4x3 2x2 2x 1
																								x 2
	Ответы.
	1. -2. 2. 10.													3.	1 . 4.			3	. 5.	2 .		6.	5 .	7.	2 .			8. .
															8			4		7			4		9
	9.		1			.		10.					3		. 11.		.		12.	1	.	13.	.	14.	4.			15.		27 .			16.				9 .
	9.		2			.		10.					3		. 11.		.		12.	30	.	13.	.	14.	4.			15.		27 .			16.				9 .
			2											2						30										19							8
	17.		1				.	18.						.
	17.	14					.	18.						.
		14
19.	lim					x4 x2																	28.	lim		5x3 2x2 3
	x																						28.	lim			1 3x 7x3
																								x			1 3x 7x3
20.	lim						x 1 3																29.	lim		4x5 8x3 1
							x 1 3																			10 x2 2x5
					2x3 3x 1
	x				2x3 3x 1																			x
21.	lim						10x 7																30.	lim				2 5x 3
21.	lim									2		6x																2 5x 3
	x 0,01x
																										3x 1 2x 3 2
																								x		3x 1 2x 3 2
22.	lim				x2 5x 1																		31.	lim		2 3x 2 1 x
22.	lim						3x 7																31.	lim		2 3x 2 1 x
	x						3x 7																	x				4x4 2x2 5
23.	lim				x3 5x 2																		32.	lim				3x2 1 3
23.	lim						x 106																					3x2 1 3
	x
	x																									3x5 1 1 2x
																								x		3x5 1 1 2x
24.	xlim									x																3 2x					2	2	x 3
24.	xlim				3 x3				9x 1														33.	lim		3 2x							x 3
																								x				5x5 3x2 1

25.

lim

2x2 3x 4

34.

lim

1 3x 3

3 2x

5 x 2

x x4 3x 8

x 4x2 1

26.

lim

3 x2 1

35.

lim

2 3x 2

4 5x 2

x 1

x 1 4x 2 1 6x 2

27.

lim

3 8x3 5 3 27x3 10

36.

lim

5 32x5 4x3 11

x x x x

Ответы.

19.

20.

1 .

21. 0. 22.

. 23.

. 24.

1. 25. 2.

26.

0. 27.

5 .

28.

5 .

29. -2. 30. 125

. 31. 0 . 32.

9 .

33.

4 .

34.

27 .

35. 25 .

36. 1.

37.

lim

1 x

51.

lim

x 7

x 0

38.

lim

2 x 2

52.

lim

x2 1

x 2

lim x

x2 1 x

39.

lim

53.

1 x

x 0

40.

lim

54.

lim

x 6

x2 16 4

x 0

41.

lim

55.

lim

x2 7x

x2 9x 3

1 3x 1

x 0

1 2x

56.

lim

x2 3x

x2 5x

42.

lim

x 0

43.

lim

5 x

57.

lim

3x2 2

x2 4x 1

5 x

x 4

44.

lim

x 1

58.

lim

x3 x2

3 x3 x2 1

x 1

45.

lim

x 8

3 2x2

3 2x2 x

59.

lim x3

x 8

x 2

				1 x 3											60.	lim		4x2 2x 3					4x2 3x 1
46.	lim															x
46.	lim			2 3 x												x
	x 8			2 3 x
47.	lim		x 3 1												61.	lim			x2 3x 2				x2 3
47.	lim			x 4												x
	x 4			x 4
48.	lim	1 x2 3x 3													62.	lim			x2 1 3x
48.	lim			4x2 3 1											62.	lim			2x 5
	x 1			4x2 3 1												x			2x 5
49.	lim			5			4x		2 x 3 2x						63.	lim			4x2 3x 1 2x
	x															x
		3	x3 2x 3 3 2x2 7																	1
50. lim																			1			3 x
																					x2
							2x3 x 18
	x 2														64.	lim
															64.	lim						5
																x				2		5
																			x	2		x
																						x
Ответы:
37.	1. 38.			1		.	39.		3 . 40. 4. 41.		2 .		42. 1. 43. 1			. 44.	3		. 45. 12. 46. 2 .
37.	1. 38.			16		.	39.		3 . 40. 4. 41.		2 .		42. 1. 43. 1			. 44.	2		. 45. 12. 46. 2 .
				16					2		3				3		2
47.	0,5. 48. 0, 125. 49. 5,25. 50.											2		.	51. 0. 52. 0. 53.		1		. 54. 3. 55. 8. 56. 1. 57. .
47.	0,5. 48. 0, 125. 49. 5,25. 50.										75			.	51. 0. 52. 0. 53.		2		. 54. 3. 55. 8. 56. 1. 57. .
											75						2
58.	2 . 59.				2			. 60. 1 .61.		. 62. 1. 63. - 0,75. 64. 2.
58.	2 . 59.			33			4	. 60. 1 .61.		. 62. 1. 63. - 0,75. 64. 2.
	3			33			4		4

§4. Непрерывность функции и предельные значения функций

Пусть точка a принадлежит области задания функции f (x) и любая - окрестность точки a содержит отличные от a точки области задания этой функции.

Определение непрерывности функции.

Функция f (x) называется непрерывной в точке a , если предельное значение этой функции в точке a существует и равно значению функции в этой точке, т.е.

lim f (x) f (a) - условие непрерывности функции f (x) в точке a .

x a

Так как a lim x , то для непрерывной функции символ предельного перехода
	x a
( lim ) и символ характеристики функции ( f ) можно менять местами:
lim f (x)	f (lim x).
x a	x a

Если функция f (x) непрерывна в точке a и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Арифметические операции над непрерывными функциями:

Пусть заданные на одном и том же множестве функции f (x) и g(x)

f (x)

непрерывны в точке a . Тогда функции f (x) g(x), f (x) g(x), f (x) g(x) и g(x)

непрерывны в точке a (частное при условии g(a) 0 ).

Теоремы о непрерывности сложной функции:

1. Если	функция x (t) непрерывна	в точке	a ,	а функция	y f (x)
непрерывна	в соответствующей точке	b (a) ,	то	сложная	функция

yf (t) F (t) непрерывна в точке a .

2.Любая элементарная функция, определенная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

Классификация точек разрыва

1.Пусть a - предельная точка области определения функции f (x) . Точка a называется точкой разрыва функции f (x) , если f (x) в этой точке не является непрерывной.

2.Пусть f (x) определена в некоторой окрестности точки a , за исключением, быть может, самой точки a . Тогда a называется

1)точкой устранимого разрыва функции f (x) , если существует limx a f (x) b , но

либо f (x) не определена в точке a , либо f (a) b (если положить f (a) b , то функция f (x) будет непрерывной в точке a , т.е. разрыв будет устранен).

2) точкой разрыва I рода функции

f (x) , если существует f (a 0) и

f (a 0) , но

f (a 0) f (a 0) .

3) точкой разрыва II рода функции

f (x) , если в точке a не существует по крайне

мере один из односторонних пределов функции

f (x) .

Примеры решения задач

Пример 1. Доказать, что: а)

lim

ln(1 x)

; б) lim

a x

ln a , a 0

, a 1.

x 0

Решение.

а)

Функцию

под

знаком

предела

представим

виде

f (x) ln(1 x) ln 1 x x ln y , где

y(x) 1 x x .

Доопределим функцию y(x) , полагая y(0) e.

Так как

y(0) e lim y(x) ,

доопределенная функция непрерывна в точке

x 0 .

x 0

Тогда

функция

ln y(x)

будет

непрерывна

точке

x 0

поэтому

lim ln y(x) ln lim y(x)

ln e 1.

x 0

Таким образом, lim

ln(1 x)

x 0

б) Пусть y(x) a x 1. Эта функция непрерывна в точке x 0,

причем y(0) 0.

Выражая х через у получаем

x loga (1 y),

a x 1

ln a

loga

(1 y)

ln(1 y)

Пользуясь далее результатом п.а, получаем:

lim

(ln a) lim

ln a

ln a.

(1 y)

y 0 log

y 0 ln(1 y)

y 0

ln(1

Рассмотрим теперь сложную функцию f ( y) , непрерывную в точке y 0 :

, y 0

f ( y) loga (1

ln a, y

Согласно теореме	о непрерывности			сложной функции	lim	ax 1	ln a, так как
Согласно теореме	о непрерывности			сложной функции	lim	x	ln a, так как
					x 0	x
		x	1 , x	0
сложная функция	a		1 , x	0
сложная функция	f ( y(x))		x	является непрерывной в точке x 0.

	ln a, x 0

Пример 2. Исследовать на непрерывность, найти точки разрыва, указать характер разрыва, в случае устранимого разрыва доопределить до непрерывной функцию y f x sinx x .

Решение.				Поскольку		sin x и x	непрерывны, то		непрерывным	будет их
отношение		sin x		во всех точках, отличных от нуля. В точке x 0 данная функция
отношение
			x						0
			x
не определена, и поэтому разрывна. Но существует								lim sin x 1, так что разрыв в
								x 0	x
этой точке			устранимый.			Положим	f 0 1,	тогда	полученная	функция
sin x			при x 0
	x		при x 0		, является всюду непрерывной (рис.37).
F x	x				, является всюду непрерывной (рис.37).
	при x 0
1	при x 0

Рис.37.

Пример 3. Исследовать функцию y f x на непрерывность и найти точки разрыва функции.

cos x ,	x 0,
	0 x 1,
f x 1 x2 ,	0 x 1,
x ,	x>1.

Решение.

Данная

функция

определена

для

всех

значений

x . Функции

y cos x,

y 1 x2 ,

y x

непрерывны на всей числовой оси, а значит, данная

функция непрерывна на ,0 ,

0,1

и 1, . Поэтому разрывы возможны в

точках x1 0 и x2

Исследуем точку x1 0 . Найдем

lim

f x :

x 0 0

lim f x

lim

cos x 1 ,

lim

x lim 1 x2 1.

x 0 0

Односторонние пределы функции в т.

x1 0

существуют и равны между собой, а

также равны f 0

следовательно,

в точке

x1 0 функция f

x непрерывна

потому, что

lim

f x

lim f

x f

x 0 0

Рассмотрим теперь поведение функции

в точке x2 1. Найдем односторонние

пределы функции в точке x2 1.

lim f x

lim x 1,

lim f x

lim

1 x2 2.

x 1 0

1 0

Односторонние пределы существуют, но не равны между собой.

lim f x

lim

f x .

x 1 0

В точке

x2 1 функция

терпит разрыв первого рода,

скачок

функции равен

h 2 1 3 (рис.38).

Рис.38.
Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию y	1	.
Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию y	x 5	.
	x 5
Решение. Функция в т. x 5 не определена.

Находим	lim	1	и	lim	1	.

	x 5 0 x 5			x 5 0 x 5
Функция	при	x 5 не		имеет ни левого, ни правого конечного предела.
Следовательно,		x 5 является точкой разрыва второго рода (рис.39).

						Рис. 39.
Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию								1
								y arctg		.
								y arctg	x 5	.
Решение. Функция в т.					x 5 не определена. Определим вид разрыва.						Найдем
односторонние пределы функции.
lim	arctg	1			lim arctg	1	.
lim	arctg	x 5		2	lim arctg	x 5	.
x 5 0		x 5		2	x 5 0	x 5	2
lim	f x	и	lim	f x	принимают конечные значения, следовательно,						т. x 5
x 5 0		x 5 0

является точкой разрыва первого рода (рис. 40).

Рис. 40.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.2016149.92 Кб112Bilety.docx
#
09.04.201575.95 Кб26bilety_21-30.docx
#
23.04.2019439.81 Кб1Bilety_po_Ekonomike_Organizatsii.doc
#
20.12.201885.3 Кб15Bilety_po_fizike_k_novogodnemu_zachyotu.docx
#
23.09.2019248.32 Кб10Bilety_po_khimii.doc
#
09.04.20152.72 Mб11Binder1.pdf
#
20.09.2019798.21 Кб5BP_-_Гришин-Внуков.doc
#
10.07.201970.14 Кб4BREATH~1.doc
#
06.08.201997.1 Кб15bulygin_upravlenie_sostoyaniem.rtf
#
09.04.20159 Mб29burkov-pract.pdf
#
24.09.2019454.14 Кб4BZhD_1-57.doc