Binder1

§ 3. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Основные понятия

Если производная функции положительна (отрицательна) во всех точках внутри отрезка, а сама функция непрерывна на отрезке, то функция возрастает

Точки локального максимума и локального минимума называются точками

экстремума функции.

Необходимые условия экстремума. Если точка x0 является точкой экстремума функции y x , то либо y ' x0 0 , либо y ' x0 не существует.

Достаточные условия экстремума (с использованием первой производной функции). Если функция y x непрерывна в некоторой окрестности точки x0 и

дифференцируема в этой окрестности, кроме, может быть, самой точки x0 , а при переходе через точку x0 производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то эта точка x0 является точкой максимума (минимума) функции y x .

Достаточные условия экстремума (с использованием производных высших порядков). Пусть функция y x имеет в точке x0 производные до n n N

145

при n нечетном экстремума в точке x0 нет.

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, будем называть критическими точками этой функции.

Из свойств непрерывной функции известно, что функция непрерывная на отрезке принимает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значения.

Если наибольшее или наименьшее значение достигается внутри отрезка, то эта точка является точкой локального экстремума, а значит критической точкой производной этой функции. Поэтому, для определения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на некотором отрезке может быть предложена следующая схема:

1.Находим производную функции.

2.Определяем критические точки производной и выбираем те из них, которые лежат внутри данного отрезка.

3.Вычисляем значения функции в выбранных точках и на концах отрезка.

4.Из вычисленных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти точки экстремума функции, определить их тип y x 5 e 3 x

Решение. Найдем производную данной функции

y e 3 x (x 5) 3e 3 x e 3 x 1 3 x 5 и, приравнивая ее к нулю, находим критические точки.

y 0 e 3 x (1 3 x 15) 0 , а т.к. e 3 x - всегда положительное число, то

146

16 3 x 0 3 x 16 x 163 .

Определяем знак производной на промежутках ( ,163 ) и (163 , ) , и тем самым

промежутки возрастания и убывания, т.е. монотонности функции. Составим следующую таблицу.

Ответ: x 163 - точка максимума.

Пример 2. Найти сумму абсцисс точек максимума и минимума функции y 2x3 6x 1.

Решение: Исследуем функцию на экстремум, для этого найдем производную y ' 6x2 6 .

Найдем точки, где производная обращается в нуль или не существует:

147

Пример 3. Найти экстремумы функции y x 2x3 15x2 36x 14 .

Ответ: ymin 13 при x 3 , ymax 14 при x 2 .

Пример 4. Исследовать на экстремум функцию y x chx cos x .

Решение. Так как y ' x shx sin x и уравнение shx sin x 0 имеет только одно решение x 0 , то x 0 является единственной критической точкой функции y x . Найдем y '' x chx cos x и y '' 0 0 . Ищем следующие производные в точке x 0 :

y ''' x shx sin x , y ''' 0 0 ;

yIV x chx cos x , yIV 0 2 .

Таким образом, первой не равной нулю оказалась производная четвертого порядка т.е. четного порядка. Значит точка x 0 является точкой экстремума, а так как yIV 0 2 0 , то x 0 является точкой минимума.

Ответ: ymin 2 при x 0 .

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.

y x4 2 x3 2 на отрезке 2,2 . 4 3

Решение. Найдем критические точки производной, для чего вычислим производную функции и приравняем ее нулю:

Далее необходимо выбрать те критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. В данном случае обе критические точки ему принадлежат.

148

Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка и выберем наибольшее и наименьшее значения функции:

Делаем вывод о том, что свое наибольшее значение на заданном отрезке функция

1;1 .

Решение. Найдем производную исследуемой функции и нули этой производной:

Найдем значения функции в следующих точках: y 1 7 ,

y 0 2 , y 1 9 .

Из этих значений и выбираем наибольшее.

Ответ: 9.

Пример 7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y sin 2x x ,

149

отрезке 3;4 .

Решение. Естественная область определения исследуемой функции – это отрезок

[3;5].

Значения функции на концах отрезка и в критической точке: y 3 2, y 4 2 .

[3;4].

Вследующих «текстовых» задачах требуется найти наибольшее или

наименьшее значение некоторой величины S a,b зависящей от двух параметров a и b . Условия задачи позволяют определить возможную область изменения параметров.

При этом параметры a и b не являются независимыми, а связаны соотношением

150

Если область возможного изменения параметра a является отрезком, то дальнейшее решение проводится по схеме решения предыдущих задач.

Если область изменения параметра является интервалом, то можно воспользоваться следующим фактом:

Если на некотором интервале функция имеет единственную точку экстремума и эта точка является точкой максимума (минимума), то значение

151

переходе через данную критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, то эта точка является точкой минимума. Поскольку на интервале (0; ) данная точка является единственной точкой экстремума, то значение функции в этой точке будет наименьшим. Получаем, что цистерна имеет наименьшую полную

поверхность при R = 3 2V , H = 3 4V = 2R .

Заметим, что отношение H к R равно 2:

34V

3 8 2 .

32V

Итак, у цилиндра данного объёма с наименьшей полной поверхностью диаметр должен быть равен высоте.

Пример 11. На странице книги печатный текст (вместе с промежутками между строками) должен занимать 216 см2 . Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, правое и левое – по 2 см. Каковы должны быть размеры страницы для того, чтобы ее площадь была наименьшей?

Решение. Исследуемая величина, для которой нам предлагается отыскать наименьшее значение, есть площадь печатной страницы. Обозначим ширину печатного текста через x , а длину - через y . Площадь всей страницы можно найти по формуле: S x 4 y 6 xy 6x 4 y 24 .

Таким образом, мы выразили функцию, для которой необходимо найти наименьшее значение, как функцию двух переменных. Из условия задачи площадь

152

печатного текста xy 216 , тогда y 216x . Выразим площадь страницы как

функцию переменной x :

S x 216 6x 4 216x 24 240 6x 864x .

Из условия задачи вытекают естественные ограничения на значения переменной x : 0 x . Таким образом, мы решаем задачу о нахождении наименьшего значения функции на заданном интервале. Найдем критические точки производной, приравняв ее нулю:

помощью достаточного условия экстремума, будет ли найденная точка точкой локального максимума функции. Для этого проверим знак производной в окрестности точки x 12 .

При x 12 имеем dSdx 0 , при x 12 имеем dSdx >0. Данная точка является точкой

минимума. Поскольку эта точка является единственной критической точкой на интервале 0; , то значение функции в этой точке S x будет наименьшим.

Таким образом, площадь печатной страницы будет наименьшей, если ее длина равна 18 см, а ширина 12 см.

Задачи для самостоятельной работы

Найти интервалы возрастания и убывания функций (12-19):

12.y x3 2x 5 . Ответ: функция возрастает на всей числовой оси.

13.y 13 x3 1x . Ответ: функция возрастает всюду, где определена, т.е.

;0 0; .

14.y cos x x . Ответ: функция убывает на всей числовой оси.

153

ав промежутке 1;1 возрастает.

19.y x 1 3 2x 3 2 . Ответ: функция возрастает на ; 3 1 ; ;

2 2

Найти локальные экстремумы функций (20-30):

20.y x3 3x 1. Ответ: ymax 3 при x 1, ymin 1 при x 1.

21.y x4 8x2 2 . Ответ: ymax 18 при x 2 ; ymin 2 при x 0 .

154