Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Binder1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

2.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

lim

x 1

x 1 0

lim

={используем правило Лопиталя}= e

( x2 1)2

ex 1 0 2x (x 1)

lim

(x 1)2 (x 1)2

lim

(x 1)2 (x 1)

2x (x 1)

e0 1.

ex 1 0

Ответ:

1 ex x

ln e

Пример 11.

lim

lime

ln ex x x

lim

limex

ex 0

x 0

По правилу Лопиталя далее получим:

ln ex

1 1

lim

lim ex

x x

e x 0

1 0

e 2 .

x 0

Пример 12.

tgx

lim

ln x

lim

lim tgx ln

x 0 0

ctgx

x 0 0 x

x 0 0

Далее по правилу Лопиталя имеем:

ln x

lim

sin2 x

sin x

tgx

lim

x 0 0

lim

sin x

x 0 0 ctgx

x 0 0

lim

sin

x 0 0

Задачи для самостоятельной работы

13.

lim

2 5x 2

Ответ: 0.

14.

lim

ln x2

Ответ:

x 3 2x2 5x 3

15.

lim

3x3 4x2 3x 10

Ответ: 2.

2x2 3x

x 1

135

16.	lim	x5 3x2 7x 5																					.
16.	lim				x		4 5x 4																.
	x 1				x		4 5x 4
17.	lim			3 1 2x 1														.
17.	lim			2				x x										.
	x 1			2				x x
18.	lim			ln cos x								.
18.	lim											.
	x 0 ln cos3x
19.	lim		e3x				e 6x								.
19.	lim			ln 1 x											.
	x 0			ln 1 x
20.	lim			x sin x									.
20.	lim												.
	x 0				tgx x
21.	lim sin x xcos x .
	x 0						sin3 x
22.	lim			ln 1 x2															.
22.	lim																		.
	x 0 cos3x e x
				1									1
23.	lim																		.
23.	lim										x 1								.
	x 1 ln x										x 1
24.				1							1
	lim																				.
	lim																				.
	x 0		x						arcsin x
				1									1
25.	lim																			.
25.	lim					2				sin				2						.
	x 0		x							sin						x
				1							1
26.	lim															.
26.	lim								ex 1							.
	x 0		x						ex 1
27.							1											1
	lim						1											1				.
	lim																x2					.
	x 0		xarctgx														x2
				1						ctgx
28.	lim										x					.
28.	lim															.
	x 0		x2
29.	lim												tgx .
29.	lim		x						2				tgx .
	x								2
	2
30.	lim sin x ln ctgx .
	x 0

Ответ: -6.

Ответ: 94 .

Ответ: 19 .

Ответ: 9.

Ответ: 0,5.

Ответ: 13 .

Ответ: 0.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0.

Ответ: 13 .

Ответ: 0,5.

Ответ: 13 .

Ответ: -1.

Ответ: 0.

136

31.	lim	xn e x3 .
	x
32.	lim	2arctg	x x .
	x
33.	lim	ctgx x .
	x 0

Ответ: 0.

Ответ: 2.

Ответ: 1.

				1
34.				x	.	Ответ: 1.
34.	lim	2	arctgx		.	Ответ: 1.
	x	2
35.	lim ln x x .					Ответ: 1.
	x 0
		1

36.	lim x		x 1		.
	x 1
37.	lim	1 x ln x .
	x 0
38.	lim tgx cos x .
	x	0
	2
				3x2		1
39.	lim			3x2		3x x .
	x
40.	lim cos x					1	.
40.	lim cos x					x2	.
	x 0

Ответ: e .

Ответ: 1.

Ответ: 3.

Ответ: e 12 .

§ 2. Формула Тейлора Основные понятия

Если функция y f x непрерывна в некоторой окрестности точки x0 и

имеет в ней производные до n 1 -го порядка включительно, то для любого x из этой окрестности справедлива формула Тейлора.

f x f x

f ' x0

x x

f '' x0

x x

2 ...

f n x0

x x

x ,

где Rn x - остаточный член формулы Тейлора.

137

При x0 0 формула эта пишется так

f x f 0

f ' 0

f '' 0

x2 ...

f n 0

xn R

и называется формулой Маклорена.

Если

f x P x

является многочленом степени

m , то

f k x 0 для

k m , т.е. остаточный

член

формулы

Тейлора при n m равен нулю.

Следовательно, получим

f x f x

f ' x0

x x

f '' x0

x x ...

f m x0

x x m ,

так называемое переразложение многочлена

f x Pm x

по степеням x x0 .

Погрешность вычислений с помощью формулы Тейлора равна величине остаточного члена и в зависимости от поставленной задачи используют ту или иную его форму.

Оценивать погрешность приближенных вычислений удобно с помощью формулы

R	x	f n 1 c	x x	n 1 ,

n		n 1 !	0

где c x0 x x0 ,à 0 1,		т.е. некоторая точка, расположенная между

точками x и x0 .

Эта формула дает остаточный член в форме Лагранжа.

Для качественной характеристики остаточного члена формулы Тейлора используют его представление в форме Пеано

Rn x o x x0 n , когда определяется порядок малости остаточного члена.

Выпишем разложение некоторых функций по формуле Маклорена с

остаточным членом в форме Пеано:
1)	ex 1 x	x2		x3	...	xn	o xn ;
						n!
	2!		3!

138

sin x x

... 1 m

x2m 1

o x2m 2 ;

2m 1 !

cos x 1

... 1 m

x2m

o x2m 1 ;

2m !

ln 1 x x

...

1 n 1

o xn ;

1 x 1 x

x2 ...

1 ... n 1

xn o xn .

Примеры решения задач

Пример 1. Разложить многочлен P x x4

3x3 2x2

6x 1 по степеням

x 1 . В ответе указать сумму всех коэффициентов этого разложения.

Решение. По условию x0 1. Найдем: P 1 1;

P ' x 4x3 9x2

4x 6 ,

P ' 1 11;

P '' x 12x2 18x 4 , P '' 1 34 ;

P ''' x 24x 18 ,

P ''' 1 42 ;

PIV x 24 ,

PIV 1 24 .

Следовательно,

P x 1 11 x 1 17 x 1 2 7 x 1 3 x 1 4 , а сумма коэффициентов этого разложения равна 1 11 17 7 1 37 .

Ответ: 37.

Пример 2. Разложить по формуле Маклорена до o xn функцию

1 x 3

f x e3 .

Решение. Перепишем f x e3 e3 , а затем воспользуемся равенством

	xk	o xn и получим		x		k	xk	o xn .
ex n			f x e3 e		e3	x
				3
							k
k 0 k!						k 0	3 k!

139

Пример 3. Разложить по формуле Маклорена до o x2n 1 функцию

f x sin2 x cos2 x .

Решение. Преобразуем заданную функцию

f x sin2 x cos2 x sin x cos x 2 14 sin2 2x 18 1 cos 4x . Воспользуемся

формулой cos x 1

... 1 k

x2k

o x2k 1

2k !

o x2k 1 и получим

2k !

k 0

f x sin2 x cos2 x 1

o x2n 1

8 k 0

2k !

1 1

k 1

2k 3

k 1

2k 3

x2k o x2n 1

x2k o x2n 1 .

k 0

2k !

k 1

2k !

Пример 4. Разложить функцию f

ln 3 2x

в ряд Маклорена до o xn .

Решение. Перепишем функцию f

ln 3 2x ln3 ln 1

2 x

воспользуемся формулой

... 1 n 1

o xn

k 1

o xn .

ln 1 x x

k 1

2 x k

o xn ln3

o xn .

Тогда f x

ln3

k 1

Пример 5.

Вычислить e с точностью до 0,001.

Решение. Воспользуемся разложением

ex 1

...

R x ,

где R

ec xn 1

0 c 1. В нашем случае x 1, тогда ec 3 , поэтому при

n 1 !

n 6

уже R 1

0,0006

0,001.

5040

140

Значит,

e 1 1 2!1 3!1 4!1 5!1 6!1 2 0,5 0,1667 0,0417 0,0083 0,0014

2,7181 2,718 .

Ответ: 2, 718.

Пример 6. Вычислить с точностью до 10 5

приближенное значение cos5 .

Решение. В формулу Маклорена для

cos x 1

... 1 n

x2n

x подставим x

, тогда

2n !

2! 4!

2n 2

0,003808, а

0,003808 2 2,4 10 6 . Если

362

4! 6

ограничиться только cos x 1

, то погрешность

cos x x4

2,5 10 6 , т.е. требуемая точность. Тогда

cos5 cos 36 1 0,00381 0,99619 .

Ответ: 0,99619.

Формулу Тейлора используют и при раскрытии неопределенности 00 для

этого выписывают несколько первых членов разложения числителя и знаменателя по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Пример 7.

Вычислить

lim

e x 2

x 0

Решение. Учитывая то, что ex 1 x

o x2 ,

e x 1 x

o x2 ,

получим

ex e x 2

1 x

o x2 1 x

o x2

x2 o x2

lim

x 0

Ответ: 1.

141

Пример 8.	Вычислить	lim	1	1 x2 cos x	.
				x4
		x 0

Решение. Сохраняя в числителе члены до четвертого порядка, получим

																1
lim	1	1 x2			cos x lim							1 1 x2 2 cos x
lim		x4			cos x lim
x 0		x4								x 0							x4
										1			1			4
							x	2			2		2	x									x		2		x	4
			1 1				x				2		2				o x4			1			x				x		o x5
			1 1										2				o x4			1									o x5
						2							2											2		24

	lim
	lim																x4
		x 0															x4
				x4		x4				x4					4							4
	lim			4		8			24 o x							lim		1	o x							1		.
	lim							x		4						lim		3		x	4					3		.
		x 0								4							x 0				4
		x 0															x 0

Ответ: 13 .

При вычислении предела с помощью формулы Тейлора в конечной точке x0 0 нужно сделать замену x x0 t , если же x , то замену 1x t . Таким

образом все случаи сводятся к тому, что предел рассматривается при условии x 0 или t 0 .

Неопределенности		,0 , нужно привести к виду	0	путем
			0

алгебраических преобразований. Формула Тейлора может применяться и для

вычисления пределов вида lim	f x g x		по аналогии с применением правила
x x
0
Лопиталя.
Пример 9. Вычислить lim	1 cos x sin x			.
Пример 9. Вычислить lim				.
x 0		x3
Решение. Используя разложения sin x x					x3	o x3 , cos x 1	x2	o x3 ,
Решение. Используя разложения sin x x						o x3 , cos x 1		o x3 ,
			6			2

142

ln 1 x x

o x3

при x 0 , получаем

lim

1 cos x sin x

lim 1 esin x ln cos x

x 0

o x3 ln 1

o x3

lim

1 e

lim

1 e

x 0

o x

1 e

lim

x 0

Ответ: 0,5.

Задачи для самостоятельной работы

10.Разложить функцию f x x 1 7 по формуле Маклорена. В ответе указать третий ненулевой член разложения.

Ответ: 21x2 .

11.Разложить многочлен P x x3 5x2 3x 6 по степеням x 2 . В ответе

указать сумму всех коэффициентов разложения.

Ответ: -3.

12. Разложить многочлен P x x5 2x4 x3 x2 2x 1 по степеням двучлена

x 1 , пользуясь формулой Тейлора.

Ответ: 3 x 1 3 3 x 1 4 x 1 5 .


Разложить по формуле Маклорена до 0 xn			следующие функции 13 17 :
		n	5	k
13.	f x e5x 1.	Ответ:			xk o xn .

		k 0 e k!
14.	f x ln ex 2 .	Ответ: ln 2		n		1 k 1	e	k	xk o xn .
						k

				k 1			2

143

15.f x 2xx 13 .

16.f x sin x cos 2x .

17.f x x sin2 2x .

Ответ:

	n		k 1
3 5 1			x
	k 1
	1	k	32k
n 1
k 0	2 2k 1 !
n 1	1 k 1 24k 1
	2k !
k 1	2k !

k o xn .

1 1 x2k 1 o x2n . x2k 1 o x2n .

С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить (18-21):

18.	sin1 с точностью до 10 6 .	Ответ: 0,017452.
19.	ln1,3 с точностью до 10 3 .	Ответ: 0,262.
20.	10 с точностью до 10 3 .	Ответ: 3,162.
21.	3 e с точностью до 10 3 .	Ответ: 1,396.

Найти пределы (22-30):

22.

lim

ex 1 x

x 0

23.

lim

ln 1 x x

x 0

cos x 1

24.

lim

x 0

25.

lim

cos x e

x 0

26.

lim

1 x cos x

1 2x

x 0

ln 1 x x

27.

lim

ex 1 2x

ln cos x

x 0

28.

lim

1 x

3 1 x 2

4 1 x

x 0

Ответ: 0,5.

Ответ: -0,5.

Ответ: 241 .

Ответ: 121 .

Ответ: -1.

Ответ: -2.

Ответ: 43 .

144

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.2016149.92 Кб112Bilety.docx
#
09.04.201575.95 Кб26bilety_21-30.docx
#
23.04.2019439.81 Кб1Bilety_po_Ekonomike_Organizatsii.doc
#
20.12.201885.3 Кб15Bilety_po_fizike_k_novogodnemu_zachyotu.docx
#
23.09.2019248.32 Кб10Bilety_po_khimii.doc
#
09.04.20152.72 Mб11Binder1.pdf
#
20.09.2019798.21 Кб5BP_-_Гришин-Внуков.doc
#
10.07.201970.14 Кб4BREATH~1.doc
#
06.08.201997.1 Кб15bulygin_upravlenie_sostoyaniem.rtf
#
09.04.20159 Mб29burkov-pract.pdf
#
24.09.2019454.14 Кб4BZhD_1-57.doc