Binder1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9. Число e . Последовательность

n 1,2,3,...

9. Число e . Последовательность

n 1,2,3,...

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

2.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

номера, зависящего от . Последовательность имеющая предел называется сходящейся, а последовательность не имеющая предела – расходящейся.

	Последовательность	xn	называется	бесконечно			малой,	если
lim x	0 .
n n
	Последовательность	xn	называется	бесконечно			большой,	если
A 0	N такое, что n N	выполняется неравенство			xn	A .
A 0	N такое, что n N	выполняется неравенство			xn	A .

Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Бесконечно большая последовательность не является сходящейся, а

символическая	запись	lim x	означает		только,	что
		n n
последовательность xn		является бесконечно большой.
Основные	свойства	бесконечно	малых	и	сходящихся

последовательностей.

1.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

2.Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

3.Если последовательность xn бесконечно большая, то начиная с

некоторого	номера n , определена		последовательность		1	, которая

				xn
является бесконечно малой. Если последовательность xn				бесконечно малая

и n xn 0	, то последовательность	1	является бесконечно большой.

	xn

4. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

5. Сходящаяся последовательность ограничена.

Примеры решения задач

Пример 1. Доказать, что последовательность			с общим элементом x 2n 1 n
			n
является неограниченной.
Решение.		Надо показать, что M 0	n N такое, что выполняется
неравенство	xn	M .
неравенство	xn	M .

Пусть M 0 и возьмем любое четное число n , удовлетворяющее неравенству n log2 M .

Тогда получаем

xn 2n 2log2 M M .

Это и означает, что рассматриваемая последовательность не ограничена. Пример 2. Пользуясь определением предела последовательности, доказать,

что lim cos n 0 .

n n

Решение. Зададим произвольное 0 и рассмотрим модуль разности между общим элементом последовательности и числом a 0 :

x	a	cos n	.




n		n

В соответствии с определением предела последовательности, мы должны указать номер N такой, что n N выполняется неравенство

cos n

(1)

Так как

cos n

1, то справедливо неравенство

cos n

1 .

(2)

Для отыскания номера N , начиная с которого выполняется (1), решим более простое неравенство

1	,	(3)
n
следствием которого является		(1).

Решение (3) имеет вид

1 .

(4)

Положим

n N ,

то

выполняется неравенство (3), а

. Если

следовательно и неравенство (1).

Таким образом,

такое, что

n N

выполняется

0 N N

неравенство

cos n

. Тем самым доказано, что lim

cos n 0 .

Пример 3. Доказать, что последовательность xn sin n ограничена.

Доказательство. В силу определения ограниченной последовательности


нужно показать, что существует M 0 : n			xn	M . Выберем	M 1, тогда
нужно показать, что существует M 0 : n			xn	M . Выберем	M 1, тогда
	sin n	M n , т.е. последовательность ограниченна.
	sin n	M n , т.е. последовательность ограниченна.

Пример 4. Показать, что последовательность xn расходится, если xn ln n .

Решение. Достаточно доказать, что последовательность xn неограниченная,

т.е. M 0	n :		xn		M . Зададим произвольное	M 0 и возьмем любое

натуральное число n , удовлетворяющее неравенству ln n M n eM . Для такого n имеем

xn M ,

т.е. xn - неограниченная, а поэтому и расходящаяся последовательность.

Пример 5. Сформулировать отрицание того, что последовательность xn является бесконечно большой.

Решение. Согласно определению	последовательность		xn	является
бесконечно большой, если A 0 N	такое что, n N :	xn	A.

Пользуясь правилом построения отрицаний, получаем: последовательность

xn не является бесконечно большой, если			A 0 такое, что
N n N :	xn	A .

Пример 6. Доказать, что последовательность an является бесконечно

большой при

Решение. Согласно

определению бесконечно большой последовательности

надо показать, что A 0 N такое, что n N выполняется неравенство

n A .

(1)

Задаем произвольное A 0 и решаем неравенство (1) относительно n :

n log

A .

(2)

Положим N log

A .

n A, что и требовалось

Тогда A 0 N log

A такое, что

n N :

доказать.

Пример 7. Сформулируйте определение того, что число a не является

пределом последовательности xn .
Решение. По определению предела последовательности a lim					x , если
				n	n
0 N такое, что n N :	xn a	.
0 N такое, что n N :	xn a	.
Пользуясь правилом построения отрицаний, получаем:
a nlim xn , если 0 такое, что N n N :			xn a	.

Геометрическая интерпретация: a lim xn , если существует некоторая -

окрестность точки a , вне которой находится бесконечно много элементов последовательности.

Пример 9. (ограниченная последовательность может и не быть сходящейся). Показать, что последовательность 1, 1,1, 1,... ограничена, но не является сходящейся.

Решение. Если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу a ,

то каждая из	последовательностей xn a			и	xn 1 a	являлась	бы
бесконечно	малой.	Тогда,	разность	этих	последовательностей
xn a xn 1 a xn xn 1			была бы	бесконечно		малой,	что

невозможно, т.к. xn xn 1 2 n .

Задачи для самостоятельной работы

1. Ограничены ли последовательности: а) xn 1 n 1n ;

0, если n 2k ,

б) xn k , если n 2k 1.

2. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что:

а)

lim

3 ; б) lim logn 25 0 ; в) lim

0,8 n 0 ; д)

lim

5 3n

5 .

n n 1

n 3n 2

3. Докажите, что заданные последовательности бесконечно малые:

а)

; б) x nk k 0 ; в)

n2 1

§ 2. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности

1.Любой элемент xn сходящейся последовательности, имеющей пределом

число a , можно представить в виде

xn a n ,

где

элемент

бесконечно малой последовательности.

Пусть

lim

x a ,

lim y

b . Тогда: а) lim x

a b ;

б)

lim

ab ; в) если b 0 , то начиная с некоторого номера определена

последовательность

, причем

lim

a .

n yn

Если

lim x a

и,

начиная

с некоторого

номера

b , то

a b a b .

4. Теорема о трех последовательностях: Если lim xn lim yn a , и, начиная

n n

с некоторого номера выполняются неравенства xn zn yn , то lim zn a .

5. Если	lim	x	lim y		0	, то lim	xn	называют неопределенностью типа 0 .
5. Если	lim	x	lim y		0	, то lim		называют неопределенностью типа 0 .
	n	n	n	n		n yn				0
Аналогично определяются неопределенности типа , 0 ,										. Для таких

пределов теорема 2 неприменима.
6. Последовательность xn называется невозрастающей										(неубывающей),
если	n	xn 1 xn xn 1				xn .	Невозрастающие		и	неубывающие

последовательности называют монотонными последовательностями. Монотонная последовательность всегда ограничена хотя бы с одной стороны. 7. Последовательность xn называется возрастающей (убывающей), если

n xn 1 xn xn 1 xn .

8. Монотонная и ограниченная последовательность сходится.

и ограничена сверху. По теореме 8 она имеет предел.

числом e , т.е.		1 n	e 2,718281828...
числом e , т.е.	lim 1		e 2,718281828...
	n	n

монотонно возрастает

Этот предел называют

		Подпоследовательности. Предельные точки.
1.	Пусть xn	- числовая последовательность, а	k1,k2 ,...,kn , -	произвольная
	возрастающая последовательность целых положительных чисел kn n .
	Выберем	из последовательности xn	элементы	с	номерами
	xk1 ,xk2 ,...,xkn	. Полученная числовая последовательность xkn			называется
	подпоследовательностью.
2.	Если lim xn a , то любая подпоследовательность xkn сходится к числу
	n

aпри n .

3.Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано-Вейерштрасса).

4. Число a называется предельной точкой последовательности xn , если из

xn можно выделить подпоследовательность xkn , сходящуюся к a .

5. Сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку,

совпадающую с ее пределом.

6. Наибольшая (наименьшая) предельная точка

последовательности xn ,

ограниченной сверху (снизу), называется

верхним (нижним) пределом

этой последовательности и обозначается

lim x

lim

Если x

сходится, то

lim x

lim x .

lim

n n

Примеры решения задач

Пример 1. Найти пределы: а)

lim

n2 n

; б) lim

16 3n .

n n n

3n 1

Решение. Каждый из этих пределов является неопределенностью типа

Имеем:

а)

lim

n n n n

lim n

n n n

б)

lim

16 3n

lim

16 .

n 3n 2

lim 1

Пример 2. Найти предел lim

n n

Решение.

Этот

предел

является

неопределенностью типа

Предварительно преобразуем выражение под знаком предела, умножив и разделив его на сопряженное выражение.

n n lim

n n

lim

n n

n n n

lim

1 .

1 1

Пример 3. Вычислить

lim

n cos n!

Решение. Последовательность

cos

ограничена, а

бесконечно

lim

n3 2

малая, так как lim

lim

n n3 2

0 .

n n2 1

lim 1

Произведение этих последовательностей (ограниченной на бесконечно малую) является бесконечно малой последовательностью. Это означает, что

						lim			cos n!								n		0 .
						lim					n2 1								0 .
						n					n2 1
Пример 4. Вычислить						1		1				...								1
			lim																				.
			lim																				.
			n	1 2				2		3								n n 1
											1						1			1
Решение.	Используя		формулу													k								,	упростим						общий			член
Решение.	Используя		формулу					k k 1								k					k 1			,	упростим						общий			член
последовательности.
Имеем: x	1	1	1 1				... 1								1					1		1					n		.
Имеем: x	1		1 1				... 1													1									.
n		2	2 3																			n 1					n 1
		2	2 3						n n								1					n 1					n 1
			1			1	...							1						lim					n	lim					1		1.
Следовательно,		lim
Следовательно,		lim	2		2 3						n		n																			1
		n 1	2		2 3						n		n		1						n n 1						n					1
																														1	n
Пример 5. Вычислить предел последовательности																												xn , если она
определяется рекуррентным соотношением: xn																							a xn 1 ,					x1				a a 0		.

Решение. Из рекуррентной формулы непосредственно следует, что последовательность возрастающая. Докажем, что последовательность xn ограничена сверху числом A , где A - наибольшее из двух чисел a и 2. Если

xn a ,	то это утверждение выполняется.						Если же	xn a ,	то	учитывая
рекуррентную формулу, получаем:
				x2	a x	a x 2x ,
				n	n 1	n	n
откуда	xn 2 .	Таким		образом,		последовательность xn				монотонно
возрастает и ограничена сверху.						Следовательно,		согласно		признаку
Вейерштрасса она имеет предел. Обозначим этот предел через c									c 0 . Для
отыскания c перейдем к пределу в рекуррентной формуле. Имеем
lim x2	lim a x		или	c2	a c .
n n	n	n 1
Так как c 0, из полученного квадратного уравнения находим, что
					c 1	1 4a .
						2

Пример 6. Вычислить lim 5n22 2n 3 .

n 3n n 7

Решение. Разделяя числитель и знаменатель дроби стоящей под знаком предела на n2 , получаем:

					2	3				2	3
lim 5n	2	2n 3		5				lim	5
										n	n2	5 .
					n	n2
			lim		n	n2		n
			lim		1					1	7
n 3n2 n 7			n	3	1	7				1	7	3
								lim	3
					n		2
						n	2			n	n2
						n		n		n	n2

Пример 7. Доказать расходимость последовательности xn 1 n .

Решение. Рассмотрим две подпоследовательности этой последовательности, составленные соответственные из нечетных и четных элементов.

Имеем

lim x	1,	lim x	1.
k 2k		k 2k 1

Таким образом, последовательность имеет две предельные точки: 1 и 1. Это означает, что она не может быть сходящейся, так как сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку.

Задачи для самостоятельной работы

1. Доказать, что lim

при 0 ,

n an

Доказать, что lim

при

n n!

Вычислить пределы:

а) lim

Ответ:

1	2		3		n				n	1
				...			; б)	lim ln n			.

2	2	2	3		2	n
			2					n	k 1 k k 1

а) 2, б) .

4.Найти предел последовательности xn , которая определяется

рекуррентным соотношением xn 1 xn 2 xn	n 1, где 0 x1 1.
Ответ: 1.

5. Докажите, что неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой.

6. Докажите, что бесконечно большая последовательность xn не имеет предельной точки.

Вычислить пределы последовательностей:

lim

5n 1

lim

2n 3 2

5n2

lim

n 1 3

10.

lim

n4 50n2 7

n 1 2

n 100n2 7n 11

11. lim

10000n3 2n2 5

12.

lim

n 1 4

n 1 4 .

0,0001n4 100n3 2

n n 1 4

n 1 4

13.

lim

2n 1 4 n 1 4

14.

lim

3n 5 .

2n 1 4 n 1 4

n 3n 8

15.

lim

5 2n 7

16.

lim

2n 2 5

3 2n 7

n 2n 1 3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.2016149.92 Кб112Bilety.docx
#
09.04.201575.95 Кб26bilety_21-30.docx
#
23.04.2019439.81 Кб1Bilety_po_Ekonomike_Organizatsii.doc
#
20.12.201885.3 Кб15Bilety_po_fizike_k_novogodnemu_zachyotu.docx
#
23.09.2019248.32 Кб10Bilety_po_khimii.doc
#
09.04.20152.72 Mб11Binder1.pdf
#
20.09.2019798.21 Кб5BP_-_Гришин-Внуков.doc
#
10.07.201970.14 Кб4BREATH~1.doc
#
06.08.201997.1 Кб15bulygin_upravlenie_sostoyaniem.rtf
#
09.04.20159 Mб29burkov-pract.pdf
#
24.09.2019454.14 Кб4BZhD_1-57.doc