Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Binder1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

2.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Результаты удобно свести в таблицу. В таблице выпуклость функции будем обозначать символическим знаком , вогнутость знаком .

; 1

1;0

(0;1)

(1;+ )

y ''

не сущ.

точка

перегиба

Вторая производная меняет знак в точках x 1;

x 0 .

Однако в точках x 1 и

x 1 функция не определена. Поэтому точкой перегиба

является единственная точка x 0 . Значение функции в этой точке y 0 0 .

С учетом исследования на выпуклость и вогнутость подправляем полученный ранее график плавной кривой. Таким образом, получаем окончательный вид графика функции (рис. 44).

Рис. 44.

В заключение заметим, что полученный график является лишь сжатой и наглядной формой сводки результатов исследования функции. Этот график можно еще уточнять. В тоже время, найденные асимптоты позволяют судить о поведении графика за пределами области изображения на приведенном рисунке 3.

165

Пример 6. Методами дифференциального исчисления провести полное

исследование функции и построить ее график y 2x 3 e 2 . Решение.

1) Область определения данной функции – вся числовая ось.

2)Так как y( x) ( 2x 3)e2 , то данная функция является функцией общего вида.

3)Поскольку данная функция элементарная и определена на всей числовой оси, то она и непрерывна на всей числовой оси.

Для определения нулей функции решаем уравнение

(2x 3)e 2x 0 2x 3 0 x 32 .

Функция может изменить знак только в одной точке x 32 . Определим интервалы

знакопостоянства функции, учитывая, что y 2x 3 e											x			2x 3 0,
знакопостоянства функции, учитывая, что y 2x 3 e											2		0 при	2x 3 0,
x 3 .
2
y 0 при x				3 .
				2

x						3				3
					;							;
					;					2		;
						2				2

y									+

Найдем точки пересечения с осями:
y 3при	x 0 , следовательно 0,3					- точка пересечения с осью OY .
y 0 при	x	3	,			3	,0	- точка пересечения с осью OX .
y 0 при	x	2	,	следовательно		2	,0	- точка пересечения с осью OX .
		2				2

4) Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет.

166

Учитывая разное поведение функции y ex при x и при x , будем искать

асимптоты по отдельности для x и x .

y x

2x 3 e 2

3 lim

k lim

lim

lim 2

lim

b lim

lim

2x 3

e 2 0

lim 2x 3

lim

x 1 e

Отметим, что во втором пределе присутствует неопределенность вида 0 ,

которую мы обратили в неопределенность вида , а затем применили правило

Лопиталя. Итак, при x график исследуемой функции имеет горизонтальную асимптоту y 0 , совпадающую с осью OX .

Выясним, существует ли наклонная асимптота при

x .

(2x 3)e

lim

(2x 3)

lim

2( ) .

Поскольку коэффициент k

не имеет конечного значения, делаем вывод о том, что

график не имеет наклонной асимптоты при x .

5) Находим производную:

3 e

2x 3 e

3 e

при x

167

Точек разрыва производная не имеет. Определяем интервалы знакопостоянства первой производной и интервалы монотонности функции. Производная может

изменить знак в единственной точке x 12 . Составляем таблицу.

									x					;			1							1						1
									x					;										2						2		;
																	2							2						2

									y '							+								0

									y																4
									y																4 e


																								max
6) Находим вторую производную
6) Находим вторую производную
					x						x												x											x					x
d	2	y			x	1					x			1									x			1					1			x	1				x
d		y	e			1			e					1					e							1					1		e		1			e
dx2			e		2		2	x	e		2			2		x			e				2			2	x				2		e	2		2	x	e	2
dx2							2							2												2					2					2

			x	1			1			x	1				5			1				x						5
e				1			1				1		x		5			1		e								5
e			2	4			2	x 1 e	2			2	x		4				2	e	2			x				2	.
				4			2					2			4				2									2

В области допустимых значений вторая производная точек разрыва не имеет, а при x = 25 обращается в нуль.

Определяем интервалы знакопостоянства второй производной и интервалы выпуклости и вогнутости функции. Результаты сводим в таблицу.

x	;	5	5		5
x	;	2	2			;
		2	2		2
						+
y			0			+

y				8
				4 e5
				4 e5
			точка
			перегиба

На основании проведенного исследования строим график функции (рис.46).

168

Рис. 46

Пример 7. Провести полное исследование и построить график функции y 4(2x3 x)2

Решение.

1. Функция определена во всех точках числовой оси, кроме точки x = 2. Таким образом x ( ;2) (2; ) .

Раз функция в точке x = 2 неопределенна, следовательно, эта точка является точкой разрыва. Вычислим односторонние пределы функции при x → 2:

lim

, так

как, обозначая x = 2 – α или α = 2 – x, где α→0,

x)2

x 2 0 4(2

(2 )3

получим

lim

4(2 x)

x 2 0

Аналогично получим

lim

4(2

x 2

Таким образом, точка x = 2 является точкой разрыва 2 – ого рода.

2.Свойствами, перечисленными в данном пункте, функция не обладает.

3.Единственной точкой пересечения с осями координат является точка (0,0). Действительно при x = 0, получаем y = 0, и наоборот при y = 0, так как x ≠ 2, то следует, что и x = 0.

169

4. Ввиду того, что точка x = 2 есть точка разрыва 2 – ого рода, то прямая x = 2 является вертикальной асимптотой.

Найдем наклонные асимптоты вида y = kx+b, где коэффициенты k и b определяются формулами:

k lim	f (x)	,	b lim f (x) kx .
	x
x			x

Если один из рассматриваемых пределов обращается в ∞ или не существует, то это свидетельствует о том, что наклонных асимптот график функции не имеет.

Для рассматриваемой функции находим

k lim

lim

;

4(2 x)

4 x 4

4 x

b lim

lim

4 x 4 x

lim

4(2 x)

x x

4 x 4

lim

b 1.

x 1

Следовательно, график функции имеет и наклонную асимптоту y 14 x 1. 5. Находим первую производную

	(x	3		x)	2	x	3	((2	x)	2	)	3x	2	(2 x)	2	x	3	2(2	x)	x	2	(x 6)
y			) (2
				4(2 x)4										4(2 x)4						4(2 x)3

Находим критические (подозрительные) точки на экстремум. Это x1 = 0 и x2 = 6 - точки, где y' = 0, а также точка x = 2, где производная y' не существует.

Составим следующую таблицу:

x	(-∞;0)	0	(0;2)	2	(2;6)	6	(6;+∞)

y	+	0	+	не сущ.	–	0	+

y		0		не сущ.		27
y		0		не сущ.		8
						8

						min

170

Из таблицы видно, что при x ( ;2)				функция возрастает, при x (2;6)				функция
убывает,		а при	x (6; ) функция	вновь	возрастает.	В точке x=6		функция
достигает минимума.
6.	Находим вторую производную
	x3	6x2	( 3x2 12x )( 2 x )3 ( x3 6x2 )3( 2 x )2			6x

y		3					.
	4( 2			6		4
		x )	4( 2 x )			( 2 x )

Приравнивая y 0 , находим x=0, а в точке x=2 y'' не существует.

Cоставим следующую таблицу:

x	(-∞;0)	0	(0;2)	2	(2;+∞)

y	–	0	+	не сущ.	+

y		0		не сущ.

		точка
		перегиба

7. Построение графика функции целесообразно начинать с построения асимптот, затем на плоскости изображаются характерные точки графика функции – точки пересечения с осями координат, точки экстремума, точки перегиба. Учитывая все полученные сведения, строим эскиз графика заданной функции

(рис. 47).

Рис. 47.

171

Задачи для самостоятельной работы

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графиков следующих функций (9-15):

9.y x3 3x2 4x 2 . Ответ: ;1 - интервал выпуклости, 1; - интервал вогнутости, 1;0 - точка перегиба.

10.y 3x4 8x3 6x2 12 . Ответ: ; 1 , 1; - интервалы вогнутости, 1 ;1 -

3 3

					1	;12	11	и 1;13 .
интервал выпуклости, точки перегиба -					3	;12	27	и 1;13 .
					3		27
11. y	x3		. Ответ: ; 6	и 0;6		- интервалы вогнутости, 6;0 и 6; -
11. y	x2	12	. Ответ: ; 6	и 0;6		- интервалы вогнутости, 6;0 и 6; -
	x2	12

интервалы выпуклости, 6; 4,5 , 0;0 , 6;4,5 - точки перегиба.

12. y 3 x 3 . Ответ: ; 3 - интервал вогнутости, 3; - интервал выпуклости, точка перегиба - 3;0 .

13.	y e x	2	. Ответ:	;	2		2						2		2
						и		;		-	интервал вогнутости,			;		-
					2	и	2	;		-	интервал вогнутости,		2	;	2	-
					2		2						2		2
									2		1
интервал выпуклости, точки перегиба -										;		.
интервал выпуклости, точки перегиба -									2	;		.
									2		e

14. y arctg 1x . Ответ: ;0 - интервал выпуклости, 0; - интервал вогнутости, точек перегиба нет.

15.Доказать, что функция y ln x2 1 всюду выпукла.

16.Доказать, что функция y x 1 4 ex везде вогнута.

Найти точки перегиба графика функции (17-20):

17.	y 3 x2 3 x2 4 .			Ответ: 2; 3 4 .
18.	y	ln x	.	Ответ: x e83 .

		x
19.	y earctgx .			Ответ: x 0,5 .

172

20. y	x 1				2

		.	Ответ:	3;		.
	x2				9

Найти асимптоты кривых (21-27):

21.	y	2x 1 .		Ответ: x 1, y 2 .
		x 1
22.	y	3x	3x .	Ответ: x 1, y 3x 3 .

		x 1

23.	y	x	.
		x2 1

		1
24.	y x e x .
25.	y	x2 4 .
26.	y	x arctgx

		x
27.	y x2 ln x

2 .

Ответ: y 0 .

Ответ: x 0, y x 1.

Ответ: y x .

Ответ: y 1.

Ответ: 2 .

Провести полное исследование следующих функций, построить их графики (28-40):

28. y	1	x3	3x2	9x 3 . Ответ:	3;6	- max , 1; 2	- min ; 1;2 - точка
	4

перегиба.

29.y 3x4 2x2 5 . Ответ: 0; 5 - min .

30.y x 1 x 2 2 . Ответ: 0;4 - max , 2;0 - min ; 1;2 - точка перегиба.

31.	y			x3					.			Ответ: x 2, y	1	x 1					6;	27
															- асимптоты;						- min ;
			4 2		x 2								4		- асимптоты;					8	- min ;
			4 2		x 2								4							8
0;0		- точка перегиба.
				x													3					3
32.	y						.		Ответ: x 1 - асимптоты;							3;		- max ,			3;		- min ;
32.	y		3 x2		1		.		Ответ: x 1 - асимптоты;							3;	3 2	- max ,			3;	3 2	- min ;
			3 x2		1												3 2					3 2
0;0				3;		3				3;	3	- точки перегиба.
0;0		,		3;		2		,		3;	2	- точки перегиба.
						2					2

33.y x2 2x 2 . Ответ: x 1, y x 1 - асимптоты, 0; 2 - max , 2;2 - min .

173

x 1

34.

.Ответ: x 1, y 1

асимптоты; 1;0 min ;

- точка

x 1

перегиба.

35.

x2 4x 5 .

Ответ: y x 2, y x 2

- асимптоты; 2;1 min .

36.

ex .

Ответ: x 0 - асимптота;

1;e min .

min ; e

37.

y x

ln x .

Ответ:

;

2 ;

- точка перегиба.

38.

Ответ: x 1 - асимптота; e;e

min ;

e2;

-точка перегиба.

ln x

39.y x2 2 e x2 . Ответ: y 0 - асимптота; 0;2 max ; 1; 3 - точки

перегиба.
40. y arcsin	1 x2		.	Ответ:	y			0;		max .
	1	x2				2	- асимптота;		2

174

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.2016149.92 Кб112Bilety.docx
#
09.04.201575.95 Кб26bilety_21-30.docx
#
23.04.2019439.81 Кб2Bilety_po_Ekonomike_Organizatsii.doc
#
20.12.201885.3 Кб15Bilety_po_fizike_k_novogodnemu_zachyotu.docx
#
23.09.2019248.32 Кб10Bilety_po_khimii.doc
#
09.04.20152.72 Mб11Binder1.pdf
#
20.09.2019798.21 Кб5BP_-_Гришин-Внуков.doc
#
10.07.201970.14 Кб4BREATH~1.doc
#
06.08.201997.1 Кб15bulygin_upravlenie_sostoyaniem.rtf
#
09.04.20159 Mб29burkov-pract.pdf
#
24.09.2019454.14 Кб4BZhD_1-57.doc