Binder1

Задачи

Ответы

3.1. y xxx

x xx x x (ln2 x ln x 1 )

x

3.2. y (ln x)x

(ln x)x (

1

ln ln x)

ln x

3.3. y xsin x

xsin x (cos x ln x

sin x

)

x

3.4. y (

x

)x

(

x

)x (

1

ln

x

)

x

1

x

1

x 1

x

1

3.5. y 2x x

x

x 12 (2 ln x)

x

x

ln x 1

2ln x

ln 2

3.6. y 2ln x

ln

2

x

3.7. y 2

sin2 x

2

sin2 x ln 2cos xsgn(sin x)

x

x

3.8. y

e

2

(1

x)

xe2

2

x

3.9. y (sin x)arcsin x

(sin x)

arcsin x

(

ln sin x

arcsin xctgx)

1 x

2

3.10. y

(ln x)x

(ln x)x

(ln ln x

1

2ln x

)

xln x

xln x

ln x

x

Система уравнений

x t , y t , где t , ,

(1)

y'

yt'

.

(2)

x

x'

t

2. Производная неявной функции.

Пусть уравнение

F x, y 0

определяет y как неявную функцию от x ,

а сама

функция y y x

является дифференцируемой.

Продифференцировав обе

части уравнения по x ,

получим уравнение

первой

степени относительно y ':

d

(3)

dx F

x, y x 0,

из которого и находится производная функции y y x .

Примеры решения задач

Пример 1. Найти yx' dy

, если x ln t, y 2t .

dx

Решение. Имеем

x'

dx

1

, y'

dy

ln 2 2t .

t

dt

t

t

dt

Поэтому

yx' dy

yt'

2t ln 2

t 2t ln 2 .

'

dx

1

xt

t

Пример 2. Найти yx' , если x a cos2 t, y a sin2 t . a const .

Решение. Находим

dx 2a cost sin t , dy

2a sin t cost .

dt

dt

Следовательно, y'

yt'

1.

x'

x

t

как функцию от x ,

а затем из полученного уравнения найдем y ' .

Заметим, что y2 x

является сложной функцией от x и поэтому y2 ' 2 y y ' .

Вычисляя производные по x от обеих частей уравнения, получаем

2x 2 y x y ' 2 yy ' 2 ,

т.е. y ' 1 x y .

x y

Пример

4.

Найти

производную yx'

неявно заданной функции:

y

y

y

e

x

3

0 .

x

x

Решение. Пусть t x

y x

1

. Тогда имеет место уравнение t et t 3

0 ,

x

дифференцируя обе части которого по x , получаем равенство

'

t

1

2

e

t

3

,

tx

1

3

0

функцией от x , получаем

1

y ' x y

1

1

2x 2 yy ' , т.е.

y '

x y

2

.

1

y2

x2

x2 y2

x y

x2

Задачи

Ответы

4.1.

x2

y2

b2 x

1

a2

b2

a2 y

4.2. sin(xy) cos(xy) tg(x y)

y cos2

(x y)(cos(xy) sin(xy)) 1

x cos2 (x y)(cos(xy) sin(xy)) 1

4.3. y x arctgy

1 y2

y2

4.4. xy arctg

x

y 1 x2 y2

y

x

1 x2 y2

4.5. x y yx

y x ln y y

x y ln x x

4.6. x a cos , y bsin , (0, )

b ctg

a

4.7. x t3 2 , y 0,5t2 , t ( , )

1

3t

4.8. x t ln t ,

y

ln t

, t 1

1

t

4.9. x et cost ,

y et sin t , t

2 3

6

графику функции y f x в точке M x0 , f x0 :

k tg f ' x0

(1)

y y0 f ' x0 x x0 ,

(2)

а уравнение нормали имеет вид y y

1

x x

, если

f ' x

0 .

f ' x0

0

0

0

vx t dx

,

(3)

dt

ax

dv

x

d 2 x

(4)

dt2

dt

Имеем x

, f x

sin

3

, f ' x

cos

1 .

0

3

0

3

2

0

3

2

3

1

y

x

.

2

2

3

Пример 2.Найдите абсциссу точки пересечения касательных к графику

функции y ex

в точках с абсциссами x 0

и x 1.

1

2

Решение. Составим уравнения касательных.

Для

первой

точки

f x

ex1 1, f ' x

ex1 1,

уравнение

касательной

1

1

записывается в виде y1 x f x1 f ' x1 x x1 , т.е.

y1 x x 1.

Для

второй точки f

x ex2 e,

f ' x ex2 e ,

а

уравнение

касательной

2

2

задается формулой

y2 x f x2 f ' x2 x x2 ex .

В точке

пересечения

касательных

y1 x y2 x .

Из

последнего

равенства

находим, что x

1

.

0

e 1

Пример 3.Составить уравнения касательных к

графику функции y x ,

3

проходящих через точку A 2,

2

.

Решение.

Пусть

M x0 ,

x0

- точка касания. Угловой коэффициент прямой,

проходящей через точки A и M равен производной функции y

x

в точке x0 ,

т.е.

k

yM yA

y ' x

, x 0 .

(1)

0

0

xM xA

Из (1) следует, что x0 является решением уравнения

x0 3

x0

2 0 ,

(2)

которое имеет два корня: x1 1 и x2 4 .

Угловые

коэффициенты

касательных равны k

1

1

и

k

2

1

1 , а

1

2

x1

2

2

x2 4

уравнения самих касательных, проведенных из точки A , записываются в виде

y

3

1

x 2 и

y

3

1 x 2 соответственно.

2

2

2

4

Пример 4. При каком значении параметра

a

парабола

y ax2

касается

кривой y ln x .

Решение.

Условие касания двух кривых y f x

и

y x в точке

M x0 , y0

имеет следующий вид:

f x0 x0 , f ' x0 ' x0 , т.е. в точке касания

с

абсциссой

x0

совпадают

значения функций и угловые коэффициенты касательных к кривым.

Из системы уравнений

ax2

ln x

,

0

0

2ax

1

,

0

x0

следует, что x

e и a

1

.

0

2e

Пример 5. Найти уравнение касательной к

кривой

x 2t t2 , y 3t t3 в

точке t 1.

Решение. Найдем сначала координаты точки касания M x0 , y0 :

x0 x t

t 1 1,

y0 y t

t 1 2 .

k tg y'

yt'

3 1 t

3.

x

'

2

t 1

x x0

xt

t 1

Пример

6.

По

кривой

y sin x движется точка

a , абсцисса которой

изменяется со временем по закону

x t3 .

Найти

модуль

скорости

точки для

произвольного момента времени.

Решение. Последовательно находим:

vx dx 3t2

, y t

sin t3 ,vy dy 3t2 cos t3

.

dt

dt

Следовательно, модуль скорости

v

vx2 v2y

3t2

1 cos2 t3 .

Пример 7. Составить уравнение касательной к кривой

x

y 2x

3 .

y sin 2x

2

2

, которая параллельна прямой

Решение.

Пусть

M x0 ,sin 2x0

-

точка

кривой,

через

которую

проходит

касательная, которую требуется найти.

По

условию

задачи

угловые

коэффициенты касательной

и прямой

y 2x 3

должны совпадать ( k1 k2 - условие параллельности прямых на плоскости):

sin 2x '

2 .

x

x x

0

Отсюда следует, что x0 0 и соответственно y x0 sin 2x0

0 .

Таким образом, уравнение касательной имеет вид y 2x .

Пример 8. Зависимость пройденного точкой пути от времени при

прямолинейном

движении задается

формулой

s 2t 4

(м).

Сравните

среднюю

(путевую)

скорость

движения на

промежутке

времени

0 t 1 и мгновенную

v t

ds

8t3

8

м

t 1

.

dt

t 1

t 1

сек

v

s t 1 s t 0

2

м

.

ср

1 0

с

dr

dx

dy

dz

2

v(t) dt

i dt

j dt

k dt

i (3t

)

j ( 4t) k ( 1),

t

d v

d 2 r

0 .

a

dt

dt2

i 6t

j 4 k

касательные к кривым y 3x3 и y 5x5 параллельны? Ответ: x 0

и x

3 .

5

5.4. Составить уравнение касательной и нормали к гиперболе y 1

в точке

x

x 1 Ответ: y 4x 4 0 и 8y 2x 15 0 . 5.5. Радиус шара r

изменяется со

2

Ответ: 4 r2v и

8 rv . 5.6. В какой точке

эллипса 16x2 9 y2 400

ордината

убывает с такой же скоростью, с какой абсцисса возрастает?

Ответ:

(3,16) и

3

( 3, 16). 5.7. При каком значении аргумента функция y sin x

изменяется вдвое

3

медленнее аргумента? Ответ: x 2 k

и x 2 k

2

. 5.8. Скорость роста

3

3

функции y cos x увеличилась

в n раз. Во

сколько раз

при

этом изменилась

скорость функции

y ctgx ?

Ответ: в

1

.5.9. Закон движения материальной

n2

точки по прямой

имеет вид

x t sin t .

а) В какие моменты времени точка

аргумента x , может быть представлено в виде

y A x x ,

(1)

где A - число, не зависящее от x ,

x

- функция аргумента x ,

являющаяся бесконечно малой при x 0 .

2. Формулу (1) можно переписать в виде

y A x o x ,

(2)