Binder1

dy Adx dx x

(3)

4. Для существования дифференциала функции

y f x необходимо и

достаточно, чтобы существовала конечная производная y ' f ' x A , причем

dy y 'dx

(4)

f x0 x f x0 x f ' x0 .

(5)

Решение. Рассмотрим функцию y x arcsin x и положим

x 1

, x 0,01 в

0

2

формуле (5). Получаем

1

1

0,01 0,5121.

arcsin 0,49 arcsin

2

1 0,5 2

дифференциал функции y arctg u .

v

Решение. dy yx'

dx

1

u '

dx

1

u 'v v 'u

dx

u 'v v 'u

dx .

v2

u2

u2

v2

u2

v x

1 v2

1 v2

Задачи для самостоятельной работы

6. Найти дифференциал функции.

Задачи

Ответы

6.1. y (1 x x2 )3

3(1 x x2 )2 (1 2x)dx

6.2. y

arccos x (arcctgx)2

(

1

2arcctgx )dx

1 x2 arccos x

2

1 x2

1

1

3 x ln 3

dx

6.3. y 3 x

x2

6.4. y

sin x

cos x

dx

3

cos 2x

(cos 2x)2

6.5. y cos 1 x2

xsin

1 x2

dx

1 x2

2 x

sin x dx

6.6. y

1 cos

4 1 cos

2

x

2

2

6.7. y ln sin x

ctgxdx

6.8.

y

3

ln sin x

3

x2ctgx3

dx

3 (ln sin x2 )2

1

dx

6.9. y ln sin(arctg(ex )) 3

3

3e

2x

6.10. y (x2 1)sin x

(x2 1)sin x (cos x ln(1 x2 )

2xsin x

)dx

1 x2

y n x y n 1 x ' .

(1)

а) c1u x c2v x n

c1u n c2v n ,

б) Правило Лейбница

n

n!

u v n Cnku k v n k , где u 0 u,v 0 v,Cnk

, 0! 1.

k! n k !

k 0

3. Формулы для n -х производных некоторых функций.

1. x n

1 ... n 1 x n

( x 0, - любое число).

4.

Пусть x - независимая переменная.

Вторым дифференциалом d 2 y функции

y f x в точке x называется

дифференциал

функции

dy f ' x dx ,

вычисленный при условиях:

а)

dy рассматривается как функция только независимой переменной x ;

б)

приращение независимой переменной

x при вычислении дифференциала от

f

' x считается равным значению dx ,

которое входит множителем в первый

дифференциал dy f ' x dx .

Второй дифференциал функции d 2 y

f '' x dx 2

f '' x dx2

,

x x0

0

0

где dx2 dx 2 .

5.

Дифференциал n -ого порядка функции

y f x определяется индуктивно по

формуле d n y d d n 1 y .

d n y

f n x

dxn , где

dxn dx n .

0

x x0

x ln t, y

1 .

t

Решение. Имеем yx'

y'

1

yxx''

yx'

'

1

yxxx'''

yxx''

'

1

t

;

xt'

t

;

xt'

t

;…

xt'

t

t

t

Решение. Первая производная равна

yx'

yt'

sin t

ctg

t

.

xt'

1 cost

2

yxx''

d

yx'

yx'

'

'

t .

dx

xt

ctg

t

'

1

1

1

1

yxx''

2

t

.

t

sin t t'

sin2

t

2

1

cost

4sin4

t

2

2

Пример 4. Найти y '' x ,

если y esin x cos sin x

и вычислить y '' 0 .

ln y sin x ln cos sin x ,

y ' y

cos x 1 sin sin x

cos x

y cos x 1

tg

sin x

,

cos sin x

1

y '' y 'cos x 1 tg sin x y sin x sin x tg sin x cos x

cos x .

cos2 sin x

Пример 5. Считая

x - независимой переменной, найти d 2 y , если

y ln x x2 4 .

y '

1

2x

x2

1

x2 4

1

2 x2

4

2 ,

x

4

d

1

3

x

y ''

yx'

x2

4

2

2x

.

dx

2

3

x2

4 2

В итоге имеем

d 2 y

x

dx 2 .

3

x2 4 2

n

uv n Cnkuk vn k ,

(1)

k 0

где в нашем случае u x2 ,v e3x .

Так как x2 k

0 при k 3, e3x k

3k e3x , то ряд в (1) обрывается:

Итак:

x2 e3x 10 x2

e3x 10

C101 x2 ' e3x 9

C102

x2 (2) e3x 8

x2 e3x 310 10 2x e3x 39 45 2 e3x 38 e3x 39 3x2

20x

30 .

Пример 7. Найти n -ю производную функции

y

x2

1

.

x2

1

Решение. Представим данную функцию в виде y

1

2

.

x2 1

Тогда y

n

1

n

. В свою очередь

2

1

1

.

2

x2 1

x 1

x

1

x2 1

y

n

1

n

1

n

Поэтому

.

x 1

x 1

Имеем (x 1)

1 (n)

( 1)n n!

, (x 1) 1 (n)

( 1)n n!

.

n 1

n 1

(x 1)

(x 1)

В итоге

1

1

y n 1 n n!

.

x 1 n 1

x 1 n 1

1.

y'

y '

ctgt.

x'

t

t

2.

yxx''

d

( yx'

)

( yx' )t'

1

1

.

sin2 t( a)sin t

asin3 t

dx

xt'

Пример 9. Найти второй дифференциал функции y cos 2x , если:

а) x - независимая переменная;

б)

x t ,

где

t

- дважды дифференцируемая функция независимой

переменной t . Решение

а)

d 2 y d dy d 2sin 2xdx 4cos 2x dx 2 ,

d 2 y d

' t dt 2

2sin 2 t '' t dt 2 .

б)

2sin 2x ' t dt 4cos 2x

dx

Задачи для самостоятельной работы

7. Вычислить производные высших порядков.

Задачи

Ответы

7.1. y xsin x ,

y ''' ?

x cos x 3sin x

7.2. y ln cos x ,

y ''' ?

2(sec x)2 tgx

3 1 x2 , y '' ?

2

x2 1

7.3. y log2

3ln 2

(x2 1)2

7.4. y ln(x 1) ,

yIV ?

6

(x

1)4

7.5. y x4 ln x ,

y ''' ?

2x(13 12ln x)

7.6. y sin3 x cos3 x , y '' ?

3

(cos x 3cos3x sin x 3sin 3x)

4

7.7. y sin xex ,

yV ?

4ex (cos x sin x)

7.8. y

x 1

12

, y ''' ?

(x 1)4

x 1

Теорема.

Если

функции

f x и

g x дифференцируемы в

некоторой

окрестности точки a ,

кроме может быть, самой точки a ,

причем g ' x 0 в этой

окрестности, и если

lim f x lim g x 0

или

lim f x lim g x , то

x a

x a

x a

x a

lim

f x

lim

f ' x

при условии, что

lim

f ' x

существует. Точка a может

g ' x

g ' x

x a g x

x a

x a

быть как конечной, так и несобственной точкой или .

Это правило позволяет раскрывать неопределенности вида

0 или

.

0

Неопределенности вида

0

или

путем

алгебраических

преобразований приводятся к неопределенностям вида 0 или .

0

Примеры решения задач

Пример 1.

x3 4x2 4x

0

x3 4x2 4x

3x2 8x 4

0

lim

lim

x3 12x 16

lim

x3 12x 16

3x2 12

x 2

0

x 2

x 2

0

lim

3x2 8x 4

lim

6x

8

6

2

8

1

.

3x2 12

6x

6 2

3

x 2

x 2

0

sin x

sin 0

0

cos x

Пример 2.

lim ln cos x

lim

ln cos x

lim

0 .

0

x

1

cos0

1

x 0

x

x 0

x 0

Приведенные

выше пределы

могут

быть

вычислены не

только

по правилу

lim

e2x

lim

e2x

lim

2e2x

lim

e2x

lim

2e2x

.

x2

x

x x2

x

2x

x

x

x

1

1

ln 1 x

lim ln 1 x

1

Пример 4.

lim

lim

1 x

lim

0 .

x

1 x

x

x

x

x

1

x

ln sin x

cos x

Пример 5.

ln sin x

sin x

lim

lim

lim

5cos5x

x

0 0 ln sin 5x

x 0 0 ln sin 5x

x 0

0

sin 5x

lim

cos x sin 5x

lim

1 5x

1.

x 0

0 5sin x cos5x

x 0 0 5 x 1

Пример 6.