Binder1

2. Функции

(x) и (x) называются бесконечно малыми одного порядка при

x a , если предельное значение функции

(x)

в точке а существует и отлично

(x)

от нуля: lim

(x)

c 0.

x a

(x)

Пример 1. Верно ли равенство (x) o(x2 )

при x 0 , если:

а) (x) 1 cos 2x ; б) (x) x3 ; в) (x) tg2 x.

Решение.

а) 1 cos 2x o x2 , так как

lim

1 cos 2x

lim

2 sin 2 x

sin x

2

x

2

x

2

2 lim

x

2.

x 0

x 0

x 0

Функции 1 cos 2x и x2

- бесконечно малые одного порядка в точке x 0 .

б)

x3

o(x2 )

lim

x3

lim x 0.

x2

, так как x 0

x

0

sin x 2

tg 2 x

sin x

2

1

lim

x

x o x

, так как

x 0

в) tg

2

2

lim

lim

1.

2

2

2

x 0

x

x 0

x

cos

x

lim cos

x

x 0

Функции tg2 x и x2 - эквивалентные бесконечно малые в точке x 0 .

sin x x2 x3

Пример 2. Вычислить lim

.

3x x

4

x 0

3 x3 2x4 x 1 2x 13 x

1

2 x o(x)

x 2 x2 o(x2 ) x o(x).

3

3

3 x3 2x4

x o x

1

o(x)

1 .

lim

lim

lim

x

ln(1 2x)

o(x)

x 0

x 0

2x o(x)

x 0

2

2

x

Пример 4. Вычислить lim

ex2 cos x

.

x

2

x 0

1 x

x

2

3x

2

2

o(x

2

o(x

2

o(x

2

)

lim e

x2

cos x

) 1

2

)

2

lim

lim

x2

x2

x2

x 0

x 0

x 0

3

2

)

lim

o(x

3 .

2

2

x 0

x

2

1

lim ln cos x

Тогда

lim

cos x

ex 0 sin2 x .

sin2 x

x 0

(sin x)2 x o(x) 2

x2 2x o(x) o(x) 2

x2 o(x2 ) o(x2 )

x2

o(x2 ),

x2

2

x2

2

o(x )

o(x ).

ln cos x ln 1

2

2

При получении первого из этих равенств мы также учли, что o(x) n

o(xn )

n N ,

x o(x) o(x2 ) , o(x2 ) o(x2 ) o(x2 ) , c o(x) o(x) c 0.

Таким образом

ln cos x

x2

o(x

2

)

1

1

lim

lim

2

, а исходный предел равен e

2

2 .

sin

x

x

2

o(x

2

)

2

x 0

x 0

Задачи для самостоятельной работы

Вычислить пределы, используя приведенные в таблице 1 асимптотики

простейших функций:

1. lim

sin 5x

.

Ответ: 5 .

x 0 ln 1 3x

3

окрестности точки x .

10. Приращением функции y f x в точке

x ,

соответствующим приращению

аргумента x , называется функция аргумента x

y f x x f x .

(1)

20. Отношение приращения y функции

в

точке x к соответствующему

6) (arcsin x)'

1

;

1 x2

7) (arccos x)'

1

;

1 x2

8)

(arctgx)'

1

;

1

x2

9)

(arcctgx)'

1

;

1

x2

10)

(ax )' ax ln a , в частности, ex ' ex ;

11)

(loga x)'

1

( a 0, a 1; x 0 ), в частности, ln x '

1

;

x ln a

x

Здесь

sh x, ch x, th x, cth x - гиперболические функции, которые определяются

следующими формулами:

sh x

ex e x

- гиперболический синус;

2

ch x

ex e x

- гиперболический косинус «цепная линия»;

2

2)

uv ' u 'v v 'u ,

(4)

3)

u

'

u 'v v 'u

v x 0

v2

v

x'y

1

(5)

yx'

Примеры решения задач

Пример 1. Пользуясь определением производной, найти производную

функции y x2

в точке x 1.

y ' 1 lim

y

lim

2 x 2 .

x 0

x

x 0

2sin

x

x

y

sin x x sin x

2

cos x

2

.

x

x

x

x

y

x

sin

2

lim

lim

cos x

.

(1)

x

2

x

x 0

x 0

2

Так как функция y cos x является непрерывной x , то

x

cos x .

(2)

lim cos x

2

x 0

Далее, согласно первому замечательному пределу

x

sin

2

lim

1.

(3)

x

x 0

2

С учетом (2) – (3) из (1) следует:

x

y

x

sin

2

lim

lim

cos x

lim

cos x,

x

2

x

x 0

x 0

x 0

2

т.е. sin x ' cos x .

Пример

3.

Используя

определение

вычислить производную функции

y

loga x x loga x

1

x

1

x

x

loga 1

loga 1

x

x

x

x

x

x

x

1

x

x

x

.

x

loga 1

x

Согласно второму замечательному пределу

x

x

lim

x

e

1

x

x 0

при любом фиксированном x 0 . Тогда, с учетом

непрерывности функции

y loga x в точке x e получаем:

loga x '

loga e

1

.

x ln a

x

Пример 4. Используя правило дифференцирования обратной функции,

вычислить производную функции y arcsin x .

Функция y arcsin x является обратной для функции

x sin y , определенной на

yx'

1

1

1

1

,

cos y

1 sin2 y

x'y

1 x2

где учтено, что cos y 0 на

,

2

2

.

Таким образом, arcsin x '

1

x 1, 1 .

1 x2

Пример 5. Вычислить производную показательной функции y ax 0 a 1 .

Решение.

Показательная функция

y ax определена на бесконечной прямой и

Итак, ax ' ax ln a

x .