Binder1

Если суметь каким-то образом подобрать один корень уравнения n -ой степени, то, используя следствие теоремы Безу, можно решение этого уравнения свести к решению уравнения n 1 степени.

Пример 5. Решить уравнение x3 6x2 11x 6 0.

Решение. При x 1 левая часть уравнения равна 0, т.е. x1 1 - корень этого уравнения и многочлена x3 6x2 11x 6 . По следствию теоремы Безу многочлен x3 6x2 11x 6 делится без остатка на x 1:

Исходное уравнение запишется

x3 6x2 11x 6 0 x 1 x2 5x 6 0 . Осталось решить квадратное

35

36

§ 5. Функции. Некоторые характеристики функций. Основные

элементарные функции. Преобразование графиков функций.

соответствие хотя бы один элемент x D , то говорят, что на множестве D задана функция y f x , где x – независимая переменная или аргумент, y – зависимая переменная или функция.

Множество D называется областью определения (областью существования) функции y f x . Множество E – областью значений (областью изменения)

функции y f x .

Частное значение функции – это значение при конкретном значении

если при изменении знака у аргумента изменяется только знак значения функции, т.е. f x f x при х и –х D. График нечётной функции симметричен

f x T f x при х и (х+T) D. Число Т в этом случае называется периодом функции. Если Т период функции, то ее периодами будут и числа k·T, где k = 1,2, 3, … . Наименьшее положительное число T называется основным периодом.

Основными элементарными функциями являются следующие функции:

1)Степенная функция y x , где - действительное число.

2)Показательная функция у = ах, где а > 0 и а 1.

y arctgx , y arcctgx .

Элементарной функцией называется функция, которую можно задать одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических действий и конечного

Рассмотрим свойства и графики основных элементарных функций.

1. Степенная функция - это функции вида у = х , где R. Ее области определения и изменения зависят от . Более подробно рассмотрим следующие степенные функции с различными показателями степени:

38

Функция у=х.

1)Областью определения функции является множество всех действительных чисел R .

2)y x нечетная функция поскольку f x x f x .

3)Функция y x возрастает на всей числовой оси. Ее график – прямая,

проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных углов (рис. 18).

Рис. 18

Функция y = x2.

1)Область определения – вся числовая прямая.

2)y = x2 – чётная функция, т.к. f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x).

3)На промежутке [0; + ) функция возрастает.

4)На промежутке (- ; 0] функция убывает.

Графиком функции является парабола (рис. 19).Здесь же приведен и график функции y=x4.

39

Функция y = x3.

1)Область определения – вся числовая прямая.

2)y = x3 – нечётная функция, т.к.f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x).

3)Функция y = x3 возрастает на всей числовой прямой. График функции называется кубической параболой (рис. 20).

Функция y = x-1 = 1x .

1) Область определения – множество всех действительных чисел, кроме

Рис. 21.

Функция y = x .

1)Область определения - луч [0; + ). Это следует из того, что выражение x определено лишь при х 0.

2)Функция y x не является ни чётной, ни нечётной.

3)Функция y x возрастает на луче [0; + ).

График функции изображен на рисунке 22.

40

Рис. 22.

2. Показательная функция. Показательная функция задается формулой

у= ах, где а > 0 и а 1.

1)Область определения функции – вся числовая прямая.

2)Область значения функции – промежуток (0; + ).

3)Функция не является ни чётной, ни нечётной. Это следует из того, что

а-х ≠ ах и а-х ≠ ах при x 0.

4) Функция возрастает на всей числовой оси при а > 1 и убывает при

а < 1.

График показательной функции изображен на рисунке 23.

Рис. 23

3. Логарифмическая функция. Логарифмическая функция у = loga x

является обратной к показательной функции у = ах и обладает следующими свойствами:

1)Область определения - (0; + ).

2)Область значений - (- ; + ).

3)Функция не является ни чётной, ни нечётной.

4)Функция возрастает на промежутке (0; + ) при а > 1, и убывает на промежутке (0; + ) при 0 < a < 1.

41

График функции у = loga x изображен на рисунке 24.

Рис. 24

4. Тригонометрические функции – это функции y sin x , y cos x , y tgx , y ctgx .

Функция y = sin x

1)Область определения – множество всех действительных чисел.

2)Область значений – отрезок [-1; 1].

3)Функция периодическая, основной период равен 2 .

4)Функция нечетная.

График функции y = sin x изображен на рисунке 25.

Рис. 25.

Функция y = cos x.

1)Область определения – множество всех действительных чисел.

2)Область значений – отрезок [-1; 1].

42

3)Функция периодическая, основной период равен 2 .

4)Функция чётная.

5)Функция убывает на промежутках [2 n; +2 n] и возрастает на промежутках [- +2 n; 2 n] , где n Z.

График функции y = cos x изображен на рисунке 26.

2)Область значений – вся числовая прямая.

3)- основной период функции.

4)Функция нечётная.

5)Функция возрастает на промежутках n; n , где n Z.

2 2

График функции y = tg x изображен на рисунке 27.

Рис. 27

43

Функция y = сtg x.

1)Область определения: х ≠ n, n Z.

2)Область значений – вся числовая прямая.

3)Функция периодическая с основным периодом .

4)Функция нечётная.

5)Функция y = ctg x убывает на промежутках ( n; + n) , где n Z.

График функции y = ctg x изображен на рисунке 28.

Рис. 28

5. Обратные тригонометрические функции – это функции у=arcsin x,

у=arccos x, у=arctg x, у=arcctg x.

Функция у=arcsin x является обратной к функции y=sin x.

1)Область определения – отрезок [-1; 1].

2)Область значений – отрезок , .

2 2

3)Функция нечётная: arcsin x = - arcsin x.

4)Функция возрастающая.

Из сказанного выше следует, что записи у=arcsin x и х = sin у,

эквивалентны. Подставив в равенство х = sin у вместо у его выражение, т.е. arcsin x получим х = sin (arcsin x). Следовательно, для любого х из [-1; 1] имеем:

sin (arcsin x) = х , 2 arcsinx 2 .

44