Раздел II. Колебания. Волны.
ВВЕДЕНИЕ
Общие положения
I. Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Например, чередование фаз активности и пассивности в поведении человека и животных, повторяющиеся регулярные процессы при обмене веществ, пульсирующая работа сердца и др. Это сложные колебательные процессы, но они могут быть сведены к сумме простых колебаний с помощью Фурье-анализа [4, с.227].
Простейшими и наиболее распространенными в природе и технике являются гармонические колебания.
Уравнение механических гармонических колебаний имеет вид
(II.1)
где Х – смещение сосредоточенной массы (материальной точки) от положения равновесия (м);
А – амплитуда колебаний (м);
Т – период колебаний (сек);
–частота колебаний
(1/сек);
–циклическая
частота (1/сек);
–фаза колебаний
(рад);
–начальная фаза
(рад).
Так как уравнение
(II.1)
по существу дает зависимость пути
(смещения) колеблющейся точки от времени
то выражение для скорости будет иметь
вид
(II.2)
а для ускорения
(II.3)
Таким образом,
при гармоническом колебательном движении
скорость и ускорение также, как и
смещение, изменяются гармонически. При
этом скорость опережает смещение на
,
а ускорение прямо пропорционально
смещению и находятся с ним в противофазе.
Колебания, совершающиеся под действием сил, определяемых устройством самой колебательной системы, называют собственными колебаниями. Собственные гармонические колебания совершаются под действием упругих или квазиупругих сил. Частота собственных колебаний, обусловленных действием возвращающей силы с коэффициентом упругости k равна:
(II.4)
а период
(II.5)
Как правило, на практике колебания совершаются в вязкой среде (газ, жидкость). В связи с этим колебания будут затухать, и амплитуда колебаний будет убывать во времени.
Если ввести величину
,
называемую коэффициентом затухания,
то при
свободные затухающие колебания
описываются зависимостью:
(II.6)
что графически представлено на рис. II.1.
Рис.II.1. Графическое изображение свободного затухающего колебания
Из формулы (II.6) и графика видно, что амплитуда убывает по закону экспоненты:
.
(II.7)
Частота и период затухающих колебаний с увеличением коэффициента затухания становятся более медленными и соответственно равны:
;
(II.8)
(II.9)
Из этих выражений
следует, что при
период колебаний становится равным
бесконечности, и затухающий периодический
процесс переходит в апериодический.
Декрементом затухания называют отношение значения амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период (см. рис.II.1),
(II.10)
Логарифм этого отношения называют логарифмическим декрементом затухания
(II.11)
Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называют временем релаксации .
В таком случае
и, следовательно,
(II.12)
Логарифмический
декремент затухания можно определить,
зная период и коэффициент затухания,
при этом он равен обратной величине
числа полных колебаний
,
совершенных за время релаксации
(II.13)
II. Волной называют процесс распространения колебаний в пространстве. Поэтому смещение колеблющейся точки волны является функцией не только времени, но и координат. В основе изучения волновых процессов лежит бегущая гармоническая волна. В случае распространения волны вдоль оси Х уравнение такой волны имеет вид:
(II.14)
Здесь
– амплитуда;
ω – круговая (циклическая) частота волны;
– частота волны;
T– период колебаний волны;
–
время запаздывания;
х– расстояние от источника колебаний от точки наблюдения;
– длина волны;
– волновое число.
Знак (–) соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси Oх.
Если направление распространения волны совпадает с направлением колебаний частиц среды, то волна – продольная. Если частицы колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, то волна называется поперечной. В твердых телах могут распространяться как те, так и другие волны, а в жидкостях и газах – только продольные.
Колебания, частоты которых лежат в интервале от 20 до 20000 Гц, обладают свойством вызывать ощущение звука и могут быть выделены по этому признаку в особую группу звуковых или акустических колебаний, называемых звуком.
Упругие волны, частота которых выше 20000 Гц называются ультразвуком. Ультразвук (УЗ) нашел широкое применение в медицине и ветеринарии. Например, ультразвуковой диагностический эхо-метод, основанный на различном отражении УЗ от участков с различной плотностью тканей. Динамические процессы в органах наблюдают с помощью УЗ метода с использованием эффекта Доплера, когда частота колебания изменяется при движении источника звука или наблюдателя. Поскольку звуковая волна переносит энергию, УЗ применяют также как физиотерапевтическое средство и даже как хирургический инструмент.
Упругие волны, частота которых ниже 20 Гц называются инфразвуком. Инфразвук (ИЗ) вызывает вынужденные колебания внутренних органов, что приводит к нарушению их работы. Это особенно опасно при возникновении резонансных явлений, поскольку частоты собственных колебаний крупных внутренних органов лежат в диапазоне от 2 до 17 Гц.
Как показано в теории волн (в случае постоянства модуля упругости и плотности среды), волна (II.14) удовлетворяет волновому дифференциальному уравнению
(II.15)
Дважды дифференцируя (II.14) (один раз – по х, другой – по t), можно убедиться в следующем:
1) (II.14) является решением (II.15) при любых амплитудах и частотах ω;
2) между скоростью v распространения волнового процесса, модулем упругости Е и плотностью среды r существует связь
(II.16)
Из (II.16) следует, что скорость продольных волн зависит от модуля упругости (Юнга) Е (поперечных – от модуля сдвига .). Можно убедиться, что решением уравнения (II.15) является также следующее выражение, представляющее собой сумму:
(II.17)
Уравнение (II.17) является математически выражением основного свойства волновых процессов – принципа суперпозиции (наложения) волн. При суперпозиции волны разных частот просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга, следовательно, интенсивности их в любой точке пространства складываются. При сложении волн одинаковой частоты наблюдается интерференция.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 (1-10)