2. Округление погрешностей

При числе наблюдений округление полных погрешностейвыполняют по следующим правилам.

Погрешности следует вычислять с точностью, на порядок большей точности наблюдений.

Погрешности округляют. Пусть, например, в результате двух серий измерений получены следующие средние погрешности:

и .

После округления приводят только первую значащую цифру, если она больше трех. Это, очевидно, относится к , вместо которого после округления следует принять. После округления приводятпервые две цифры, если первая из них меньше трех или равна трем. Это относится к результату , который после округления следует записать в виде.

Искомые величины также надо округлять до того же порядка, что и погрешность. Так, если , то в случаерезультат следует записать в виде:

, а в случае как.

Примечание: значок показывает одинаковый разряд, до которого выполнено округление и в, и в.

Пример. Пусть необходимо найти косвенно определяемую величину - объем шарика - за счет прямых измерений его диаметра , причем в результате расчета уже полученыипри.

Найдем выражение для расчета относительной погрешности результата косвенных измерений объема шарика. Здесь удобнее воспользоваться методом :

, ,, т.к.,

(рассматриваем как переменную, так как его можно брать с различным числом десятичных знаков)., так какимеет множество значений. Переходя к приращениям, получим:

, .

Следовательно, число после округления надо взять с точностью до 4-го знака после запятой, т.е., так как, что приблизительно на порядок. Тогда окончательно получим:

,

где . Следовательно,.

Результат запишем в виде .

3. Правила построения графиков экспериментальных зависимостей

При построении графиков к лабораторным работам обычно используют прямоугольную систему координат, а поле графика выбирают размером приблизительно в страницу тетради. Желательно использовать миллиметровую бумагу.

Для правильного построения графика необходимо выполнить следующие операции: задать масштабы по вертикальной и горизонтальной осям. Масштабы должны быть такими, чтобы рационально использовать всю площадь чертежа. Координатные оси отмечают буквами, обозначающими фиксируемые физические величины, указывают их размерность.

Полученные экспериментальные данные наносятся на график в виде крестиков, кружочков и т.д. Нанесенные экспериментальные точки не следует соединять отрезками прямых. Необходимо провести гладкие кривые, соответствующие изучаемым физическим зависимостям. Из-за наличия погрешностей экспериментальные точки, как правило, не лежат на усредняющей кривой. При правильно проведенной кривой экспериментальные точки равномерно отклоняются от неё, показывая относительную случайную погрешность по оси абсцисс.

В верхней части прямоугольной системы координат необходимо указать приведенную на графике зависимость.

Пример. Построить градуировочную кривую ультрафиолетового монохроматора - зависимости длины волны от показаний отсчетного барабана .

При построении градуировочного графика для монохроматора, работающего в ультрафиолетовой области, длины волн исследуемого диапазона лежат в интервале от 248,3 нм до 389,9 мм. Следовательно, нет смысла по оси ординат брать начало координат при . Разумно за начало принять.

Примечание. Обычно по оси ординат откладывают искомую величину функцию, а по оси абсцисс - аргумент. В нашем примере по оси абсцисс должны быть деления отсчетного барабана монохроматора, а по оси ординат.

Подобрать масштабы по осям абсцисс и ординат таким образом, чтобы:

а) занять почти все поле построения графика;

б) в него попали и наибольшее и наименьшее значения величин, по которым строят график. При этом масштабы следует выбирать таким образом, чтобы деления миллиметровой линейки (1 мм, 5 мм, 10 мм) соответствовали 1-ой, 5-ти, 10-ти… единицам откладываемой по осям величины (или их доле:10^-1,10^-2 ...).

Проставить на осях числа, отвечающие выбранным масштабам, а у стрелок осей записать символы откладываемых величин и их масштабы, например, мкм илинм.

Нанести на бумагу экспериментальные точки и вокруг них нарисовать кружочки (○) или треугольники (▲) или обозначить их крестиками, причем таким образом, чтобы их размеры приблизительно соответствовали погрешностям.

По нанесенным точкам провести плавную (но не зигзагообразную!) кривую таким образом, чтобы число экспериментальных точек по обе стороны от проводимой кривой было, приблизительно одинаковым.

Таблица результатов

№ точки	Длина волны, нм	Показания отсчетного барабана				N ср.
		N	N	N	N
1	248.3	236.2	236.0	235.8	236.0	0.13
2	265.2	250.5	250.1	250.0	250.2	0.2
3	275.3	258.0	258.0	258.3	258.1	0.1
4	280.4	261.8	261.0	261.1	261.3	0.3
5	296.7	274.3	274.3	274.3	274.3	0.0
6	312.6	285.3	285.8	285.8	285.7	0.25
7	334.1	301.3	301.0	301.6	301.3	0.2
8	365.0	322.1	322.0	322.5	322.2	0.2
9	388.9	337.2	337.5	337.5	377.4	0.13

Начало координат по оси ординат берем при , а по оси абсцисс - при.

По граничным значениям табличных данных выбираем масштабы:

а) по оси ординат ,

б) по оси абсцисс ,

Проставляем по осям соответствующие числа и обозначения:

и – с указанием масштабов.

Наносим экспериментальные точки и проводим по ним плавную кривую. Радиус кружочков определяется и в нашем случае это практически точки. Поэтому вместо кружочков мы используем крестики.

В результате этих операций получаем градуировочный график УФ монохроматора.

На приведенном рисунке видно, что точка А лежит вдали от плавной градуировочной кривой. Это грубая погрешность: вместо записано (по ошибке!). Поэтому эту точку надо перепроверить и нанести (на поле графика) заново или исключить. Из приведенного примера ясно, что график надо строить сразу после выполнения лабораторной работы, в лаборатории.

Мы рассмотрели такой случай, когда вид кривой неизвестен. Однако в ряде случаев заранее ясно, что график должен быть прямой или может быть приведен к прямой за счет откладывания по осям не самих величин, а их функций, либо благодаря специально выбранной методике обработки результатов наблюдений.

Примеры.

1) В случаях градуировки баллистического гальванометра, веберметра, конденсатора переменной емкости, термопары и работы с пирометром заранее известно, что должна получиться прямая.

2) При изучении равноускоренного движения

мы можем получить линейную зависимость, если представить его в виде:

.

3) При проверке закона Малюса мы имеем две закономерности - теоретическую и экспериментальную, причемдолжна быть близка к. Таким образом, проверку закона Малюса можно свести к построению кривой, близкой к прямой, если ввести функцию.

Следовательно, чем ближе к прямой, тем точнее выполняется закон Малюса.

В итоге желательно делать так, чтобы ожидаемые кривые, если возможно, были заменены прямыми, так как это существенно упрощает построение графиков и проверку изучаемых закономерностей.

Примечание. Часто для точного построения графика используют метод наименьших квадратов.