А. Метод частных дифференциалов

Частными производными функции нескольких переменных (в нашем случае ) по одной из них называют выражения;

а)при,и т.д.;

б)при,и т.д.;

в)при,и т.д.

Частную производную находят по правилам дифференцирования функций одной переменной, причем остальные переменные, кроме той, по которой берут частную производную, рассматриваются как постоянные. В случае а) роль переменной играет "а", а роль постоянных - "в","с" и т.д.

Частный дифференциал определяют равенством:

и т.д.

Итак, частные дифференциалы функции имеют вид:

при ,

при ,

при ,

В соответствии с этим за абсолютные погрешности принимают приращения ,,,...

, ,, (18)

где - абсолютная погрешность косвенно определяемой величина, обусловленная погрешностьютолько величины "а",- абсолютная погрешность косвенно определяемой величины, обусловленная погрешностьютолько величины "в" и т.д.

Таким образом, полная абсолютная погрешность результата косвенных измерений должна быть рассчитана по формуле:

. (19)

Б. Метод дифференциала логарифма

В этом случае (при исходных данных, как в п.ЗА) для расчета относительной погрешности результата косвенных измерении сначала находят , а затем частные дифференциалы:

, ,и т.д.,

где ,,,... - частные производныепо «», «», «» и т.д. Переходя от дифференциалов,,,... к приращениям,,,... и отк, получаем

, и т.д. (20)

Но это относительные погрешности, обусловленные изменением только «», только «», только «» и т.д. Отсюда следует, что полная относительная погрешность

. (21)

В. Порядок операций при обработке результатов косвенных измерений

1. Заносят в таблицу результаты всех прямых наблюдений величин ,,и инструментальные погрешности,,, через которые выражается косвенно определяемая величина, а также результаты последующих расчетов.

2. В соответствии с п.п. З–7 (см. стр.14) включительно обрабатывают результаты всех прямых многократных измерений величин ,,,..., после чего записывают

, ,, (22)

находят , рассчитывают

, ,. (23)

Примечание. Числа наблюдений ,,,... величин,,,... следует братьодинаковыми, так как при разных ,,,... теряют смысл доверительные границы косвенно определяемой величины (даже при одной и той же доверительной вероятностидля,,,... и т.д.).

В связи с этим в случае обнаружения грубой погрешности даже одной из наблюдаемых величин (или, или,...)исключают все результаты наблюдении данного опыта и заменяют их новыми. Например, пусть в одном из опытов с маховым колесом мы измерили высоты ,и времяи оказалось, чтоприводит к грубой погрешности. В таком случае,иследует вычеркнуть из результатов наблюдений, сделать дополнительный опыт и заменить,иновыми результатами,ине ведущими к грубым погрешностям, чтобы сохранить.

3. Задаваясь для всех величин ,,,... одним и тем же значением доверительной вероятности, находят величины, определяющие доверительные границы для ,,,...:

, ,(24)

4. С учетом инструментальных погрешностей ,,,... рассчитывают абсолютные погрешности, обусловленные только "а", только "в", только "с" и т.д. - полные погрешности

(25)

5. Находят для конкретной лабораторной работы выражения для расчета абсолютных погрешностей ,,,... например, по методу частных дифференциалов и с помощью формулы (19) рассчитывают доверительные границы результата косвенных измерений

. (26)

Примечание. Всеми погрешностями (в случае ), которые составляют от максимальной из величин,,и т.д., не являющейся грубой погрешностью, долю, пренебрегают, так как их вклад в полную погрешность мал.

6. Окончательный результат косвенных измерений представляют в виде:

, при,, (27)

подставляя соответствующие численные значения и указывая единицы их измерения.

Б. Пример. Найти с помощью дифракционной решетки длину световой волны и ее абсолютную погрешность.

1. Записываем инструментальные погрешности и результаты наблюдений:

постоянная дифракционной решетки ,, инструментальная погрешность (малого) гониометра;

результаты прямых наблюдений углов для желтой линии ртутной лампы:

№ опыта	Порядок максимума	лев.	прав.
1	1
2	1
3	1

Находим среднее значение иа также абсолютные погрешности отдельных наблюдений:

,

, ,,,,.

Тогда .

Очевидно, среди грубых погрешностей нет. Кроме того,, так какимеет лишь одно числовое значение.

Рассчитываем: .

2. Находим .

3. Задаемся доверительной вероятностью (только для определениявеличины, так как) и длянаходим по табл.величину коэффициента Стьюдента.

Это дает: .

4. В итоге полная погрешность определения величины :

.

5. Находим выражение для расчета абсолютных погрешностей и, обусловленных соответственнои:.

Тогда по методу частных дифференциалов:

, откуда .

, откуда .

Следовательно, полная погрешность .

Но ,,,,.

Это дает .

Таким образом, .

Поэтому .

6. Окончательный результат косвенных измерений величины с помощью дифракционной решетки записываем в виде:

, ,

при ,.

Таблица коэффициентов Стьюдента для .

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
tα	12,71	4,30	3,18	2,78	2,57	2,45	2,36	2,31	2,26	2,23

Приложение 2. УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ И КРУГЛЕНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ

1. Точность вычислений и численного значения постоянных величин

Точность вычислений и численного значения постоянных величин, используемых в расчетах, должна быть такой, чтобы не увеличивать погрешностей, обусловленных наблюдениями и приборами. Для этого необходимо соблюдать следующие правила.

Точность расчетов должна быть на порядок выше, чем результатов наблюдении.

Примечание: большая точность вычислений не имеет смысла, так как она в принципе не может уменьшить экспериментальные погрешности.

Погрешность, с которой следует брать универсальные постоянные, иррациональные числа и т.д., определяется тем же условием: ошибка, вносимая их округлением, должна быть приблизительно на порядок меньше погрешностей опыта.

Точность задания постоянных величин, используемых в данной работе (масс тел, радиусов шкивов, постоянной дифракционной решетки и т.д.), приведенных в методических указаниях или на лабораторных установках, тоже должна подчиняться этим требованиям.

Если точность постоянных не задана, то погрешность соответствующей величины берется как половина единицы последнего приводимого десятичного разряда. Так, например, если на установке приведена масса в 45,37 г., то ;

если постоянная дифракционной решетки , тои т.д.

Если округляемая значащая цифра , то ее отбрасывают, если же она, то цифру предыдущего десятичного разряда увеличивает на единицу. Так, например, если в результате расчета мы получим число, то его следует округлить до; а если получено число, то до.