Ovru-all

ним, передбачає розрахунок температури фронту кристалізації при заданих формі фронту і швидкості його переміщення. Найскладніший варіант задачі, мабуть, міститиме повний опис зростання кристала з визначенням форми, температури і швидкості фронту при заданих початкових температурних або концентраційних полях і відомих залежностях від локального поверхневого пересичення (переохолодження) швидкості росту.

3.3.2. Задача Стефана в чистому вигляді

Розв’язок задачі про направлену (з плоским фронтом зростання) кристалізацію перший опублікував Стефан, хоча відомі твердження, що спочатку її вирішив Нейман. Припустимо, що рідина у великому

об'ємі знаходиться при однаковій температурі Т∞>Тпл (Тпл – температура плавлення). Нехай у момент часу t=0 температура плоскої поверхні рідини миттєво знижується до температури Т = 0. Тоді рівняння теплопровідності в ізотропному кристалі і розплаві запишуться в лабораторній системі координат з віссю х, направленою по нормалі до охолоджуваної поверхні, таким чином:

теплоємності. Приймається, що температура поверхні розділу крис- тал-розплав з координатою х=X(t) дорівнює температурі плавлення

Тр(Х) = ТК(Х) = Тпл .

де L- прихована теплота плавлення. Саме ця умова і вносить нелінійність до системи диференціальних рівнянь.

Решта граничних і початкових умов завдання наступна:

Тр ®Т∞ при х®¥; Тк ®Тповітря при х®0; Х=0 при t =0; Тр =Т∞ при t =0.

92

3.3.3. Випадок переохолодженого розплаву

Нехай початкова температура всього об'єму розплаву нижче температури плавлення (Т∞–Тпл), а вже при t=0 починає утворюватися тонкий шар кристала, температура якого в усіх точках рівна Тпл, тому, що тепловідвід через кристал відсутній, і все тепло відбирається розплавом, який від цього нагрівається. При цьому виконується умо-

ва Тк = Тпл при 0£х£Х(t).

Розв’язуючи вищенаведену систему рівнянь (3.37), (3.38), (3.39) із зміненими граничними умовами, можна отримати

При розрахунку швидкості кристалізації отримуються приблизно такі самі результати, що і для випадку непереохолодженої рідини з тепловідводом крізь кристалічну фазу.

3.3.4. Краєві умови для дифузійної задачі росту кристалів

При зростанні кристалів концентраційні поля зазвичай нестаціонарні, їх слід знаходити із залежного від часу рівняння дифузії (другий закон Фіка (3.5))

(дC/дt)=div(DÑC)@DÑ2C, (3.48)

де друга рівність має місце, якщо коефіцієнт дифузії не залежить від концентрації.

На зовнішніх межах даних об'ємів потоки як правило відсутні. За винятком спеціальних випадків підживлення розчинів для таких меж достатнім є завдання початкового концентраційного поля C(x,y,z,t=0). Основну нелінійність вносять граничні умови на міжфазних поверхнях (поверхня кристала з навколишнім середовищем). Ці поверхні можуть мати складну форму, до того ж вони переміщаються. Тому граничні умови на цих поверхнях носять тільки локальний характер.

Умова балансу речовини на цих межах має вигляд

де Cк – концентрація в кристалі, а Сп – у навколишньому середовищі біля поверхні кристала, дC/дn – градієнт концентрації по напря-

94

(друге рівняння, якщо знехтувати залежністю коефіцієнта дифузії від концентрації), за крайових умов, що враховують початковий розподіл концентрації і умову балансу речовини на межі розділу фаз:

Розв’язок дифузійної задачі за порівняно складних граничних умов стикається з великими математичними труднощами. Тому аналітичні рішення отримані лише для тіл (кристалів) простої форми: сфер, циліндрів, параболоїдів обертання [8], а також простих тіл з невеликими спотвореннями їх форми [9], для випадків лінійної або квадратичної залежності швидкості росту від пересичення на фронті кристалізації.

Рис. 3.3. Розподіл концентрації під час росту кристала (а) та зв’язок

пересічення з переохолодженням бінарного розплаву (б).

Для задач росту поліедрів або простих форм часто замість рівняння дифузії (3.50) розглядають рівняння Лапласа Ñ2С=0.

У випадку малих пересичень, коли виконується співвідношення

Sc =(С∞ – Cп)/(Ск – Cп) << 1 для росту з розчину або Sт= сv (Tпл – T∞)/Lv << 1 (сv – питома, на одиницю об'єму, теплоємність, Lv – прихована теплота плавлення) для росту з розплаву, рівняння Лапласа дає правильні розподіли концентрації або температури поблизу поверхні зростаючої сфери за умови постійності їх значень на межі розділу фаз.

Знайдемо розв’язок рівняння Лапласа для випадку росту сферичної частинки з пересиченого розчину при умові постійної концентрації на її поверхні Cn=Ce (Cе рівноважна концентрація для певної постійної температури):

96

При Sc=(С∞ – Cп)/(Ск – Cп) << 1 (3.56) зводится до рівності λ = Sc /2 .

Якщо тепер в (3.55) знехтувати членом порядку λ порівняно з членом порядку 1 (λ << 1) і також вважати, що λr/ρ<<1, то С – C∞ =(Сп –

C∞) ρ/r. Тобто в цьому випадку поблизу від кристала розподіл концентрації збігається з розв’язком рівняння Лапласа (3.53).

3.3.6. Про тепло- і масоперенесення при вирощуванні монокристалів

Це питання висвітлене в книзі [1]. Найширше при вирощуванні монокристалів застосовується метод Чохральського. У процесі витягування монокристала тигель і зростаючий монокристал обертаються з певними швидкостями, причому, монокристал здійснює ще вертикальну поступальну ходу. Після розплавлення навантаженого в тигель матеріалу і переходу в стаціонарний режим теплота, отримана нагрівачем, витрачається на компенсацію різного роду втрат: (охолоджування струмовводів, променистий теплообмін кристала і нагрівача з охолоджуваними стінками камери і тому подібне).

Проблему теплообміну при вирощуванні монокристалів методом Чохральського розглядають в циліндровій системі координат r, ϕ, z. Сумістимо вісь z з монокристалом. Позначимо радіальну складову швидкості руху розплаву через wr, азимутальну – через wϕ і осьову складову через wz. Вважатимемо, що рух розплаву має осьову симетрію, тобто похідні від складових швидкості руху розплаву по коор-

динаті ϕ рівні нулю. Допустимо, що щільність розплаву є постійною величиною. В процесі роботи печі в розплаві встановлюються неста-

ціонарні поля швидкостей руху розплаву wr, wϕ і wz, тиску Р, а також температури розплаву Т і парціальної густини домішок.

Тепловий стан розплаву може бути описаний диференціальними рівняннями:

а) нерозривності

98

де hfr – положення фронту кристалізації; κ і κcr – відповідно коефіцієнти теплопровідності розплаву і кристала.

Поверхня розділу фаз визначається рівнянням Лапласа

де R1 і R2 – головні радіуси кривизни поверхні, σ – капілярна постійна.

Причини, що породжують рух розплаву, вельми різноманітні. Нерівномірне поле температур створює в розплаві неоднорідне поле щільності. Взаємодії гравітаційних сил з полем щільності розплаву приводить до появи течії, званої вільною конвекцією. Вільна конвекція виникає також за наявності відцентрових і коріолісових сил, які з'являються при обертальному русі розплаву. Течія розплаву може також породжуватися електромагнітними силами, різного роду механічними чинниками.

Рух розплаву в тиглі описується рівняннями нерозривності, збереження імпульсу, збереження енергії і граничними умовами. У більшості випадків отримати вирішення цих рівнянь не представляється можливим. Тому доводиться вводити різного роду передумови, що приводять до створення моделі досліджуваного процесу, яка відрізняється простішим математичним описом. За допомогою моделей вдається отримати ряд математичних залежностей, що представляють практичний інтерес [1]. Проте за достатньо складних граничних умов аналітичний розв’язок рівнянь стає неможливим і рівняння, що описують рухи розплаву, дифузію і теплопровідність, доводиться вирішувати чисельно. При складній формі фронту кристалізації потрібно вибирати дрібні сітки для апроксимації рішення сітковими функціями. Тому розрахунки можуть виявитися дуже тривалими, навіть при використанні найсучасніших комп'ютерів.

100