Ovru-all

припадає на значення λ @ 0.5λс @ 1.8λ0 @ 3.6 λ0-theor при n=1.5, і

λ @ 0.4λс @ 3.1λ0 @ 5.0×λ0-theor при n=3.

Знайдені значення λ0 – мінімальної довжини хвилі, яка може розвиватись у двовимірному випадку, (λ0= 0.56λс при n=1.5 і λ0= 0.16λс

при n=3) у 2-3 рази перевищують значення λ0-theor (2.76×10-5м і 1.38×10 –5 м, відповідно). У тривимірному випадку, отримані при мо-

делюванні значення λ0 (λ0 = 0.28λс при n=1.5 і λ0 = 0.13λс при n=3), перевищують результати теорії малих збурень в 1.5-2 рази.

На рис. 6.28, b відображені швидкості розвитку збурень при ані-

зотропному кінетичному коефіцієнті. Маркером позначено граничне значення довжин хвиль, за яких відбуваються біфуркації у двовимірному випадку, для залежності, позначеної маркерами ▲. Наведені значення отримані для двох орієнтацій кристала (двовимір-

ний і тривимірний випадок, n=3). При максимумі кінетичного коефіцієнта в напрямку протягування збурення розвиваються швидше.

Як можна бачити з рис. 6.28, a, анізотропія кінетичного коефіцієнта (крива 1) та поверхневого натягу (крива 2) по-різному впливають

на залежності w(l).

Автори [91] вивчали розвиток комірчастої структури при різних початкових збуреннях поверхні за методом фазового поля в дифузійному режимі (нескінченний кінетичний коефіцієнт). При цьому обмежувались випадком суто дифузійного росту (рівноважна концентрація на поверхні кристала) та слабкої анізотропії поверхневої енергії (1 %). При накладенні початкового збурення, що задається двома хвильовими функціями різних амплітуд, автори отримували досить специфічні форми комірок.

Рис. 6.29. Розвиток комірчастої структури при різнохвильовому почат-

ковому збуренні в розплаві системи сукцинонітрил-кумарин,

ν=5, анізотропія zγ=0.01 [91].

202

Для того щоб атом посів положення, що відповідає локальному мінімуму енергії, покладають Fx (ri+dri)=0, а для знаходження dri розв’язують систему N (трьох) лінійних рівнянь. Звісно, що зсув атома має чинити вплив на всі оточуючі його атоми. Однак при багаторазовому повторі цього процесу розрахунок за релаксаційною процедурою має збігатись, тобто зсув атомів має стати менше деякого попередньо заданого значення.

На відміну від методу спуску, при здійсненні релаксації з використанням методу Монте-Карло, нова конфігурація обирається випадково (генерується).

Алгоритм релаксації за МК методом складається з наступних кроків [1]:

1.Завдання початкової конфігурації.

2.Генерація нової конфігурації.

3.Обчислення зміни енергії δЕ.

4.Прийняття нової конфігурації у разі виконання умови δЕ <0 i виконання додаткових кроків, якщо ця умова не виконується:

а) обчислення ехр[– δЕ/kBT];

б) генерація випадкового числа Rand [0;l];

в) прийняття нової конфігурації у разі Rand < ехр[–δЕ/kBТ], інакше – повернення до кроку 2 без зміни конфігурації.

При роботі програми за цим алгоритмом система прямує до стану з мінімальною енергією, що відповідає сталим макроскопічним параметрам (N,V,T). Крок 4 передбачає, що нова конфігурація, з меншою, ніж попередня, енергією, завжди приймається. Конфігурації, що підвищують енергію системи, приймаються лише з Больцманівською ймовірністю (крок 4, в). Перехід до нової конфігурації реалізується за допомогою випадкових зсувів випадково обраних частинок.

204

гляду оточення деякого обраного атома. Візьмемо в розгляд площину (100) гранецентрованої кубічної гратки. На рис. 7.1,а зображена плоска сітка, що відповідає даній кристалічній площині, відмічені деякі положення атомів та вказані характерні відстані між обраним атомом і тими, що його оточують.

Якщо обраний атом знаходиться в точці 0, яка є загальною вершиною для восьми елементарних комірок, то найближчі до нього атоми розміщуються в центрах граней сусідніх елементарних комірок (точки A1, A2, A3, A4) на однаковій відстані від даного атома. Опишемо коло радіусом r1, на цьому колі знайдемо 4 атоми. Якщо провести сферу радіусом r1 (так звану першу координаційну сферу),

то на ній буде n1=12 атомів. Проведемо ще коло радіусом r2= 2 .r1. На ньому також буде 4 атоми, а на сфері радіусом r2 (друга координаційна сфера) виявиться n2=6 атомів. Аналогічно для третьої коор-

динаційної сфери (r3= 3 ×r1) маємо n3=24, для четвертої (r4=2r1) – n4=12 і т.д. Ці результати відображені графічно на рис. 7.1,б. На осі абсцис відкладені значення відношення r 2/r12, а на осі ординат – відповідні їм числа атомів n. Такий графік називають графіком раді-

ального розміщення атомів в ідеальному кристалі. У реальному кри-

сталі, в якому є різні дефекти, дальній порядок порушується тим сильніше, чим більшою є відстань від обраного атома. За відсутності дефектів розміщення атомів у кожний момент часу теж відрізняється від ідеального внаслідок теплових коливань атомів.

Рис.7.1. Схема взаємного розташування атомів (а) та графік раді-

ального розміщення атомів (б).

У випадку рідин та аморфних твердих тіл розглядають число атомів не на поверхні точно визначених сфер, а у сферичних прошарках. Якщо провести навколо даного атома дві сфери з радіусами r та

r+∆r, то об’єм сферичного шару буде дорівнювати 4pr2∆r. Визначимо функцію атомної радіальної густини через кількість атомів у такому шарі:

206

із обраних послідовно атомів. Далі поділити середню кількість атомів у прошарку на об’єм цього прошарку й на середню густину.

Парна функція радіального розподілу атомів (ПФРРА) є фундаментальною характеристикою структури, як для однокомпонентних, так и для багатокомпонентних (парціальні ПФРРА) систем. У випадку однокомпонентних речовин розрахунок проводиться згідно зі співвідношенням:

де N – число вимірів, які відповідають сфері радіусом R, n(ri, r) – число вимірів, які відповідають сферичному шару від ri до ri+1. Якщо в окремі масиві записувати дані про оточення кожного атому, можна побудувати ще розподіл атомів за числом оточуючих найближчих сусідів.

Наступне співвідношення дозволяє розраховувати парціальні ПФРРА

де nij(r) – число частинок сорту j, які знаходяться в сферичному шарі

rна відстані r від частинки сорту i; Nj/V – середня густина. Нижче показано лаконічний код (мовою С++) для підрахунку па-

рціальної ПФРРА (ukazatel[i] задає тип компонента 1 або 2):

for (int i = 0; i < COUNT; i++)

{ atom &a1 = a[i]; //перший атом if (ukazatel[i] ==1) NCOUNT++;

for (int j = 0; j < COUNT; j++) { if (j==i) continue;

if (ukazatel[j]==1) continue;

int nr = floor(dr*10);

if (nr>intR) continue; //intR– радіус сфери розрахунку g12[nr]++; //накопичення даних по шарам товщиною 0.1Å

} }

for (int ir = 0; ir < intR; i++) g12[i]=g12[i]/NCOUNT/(pow(ir+1,3)-pow(ir,3));,

208

де COUNT – кількість атомів, NCOUNT– кількість атомів першого ком-

понента, pow(ir,3))=ir*ir*ir, ir – номер прошарку.

Важливу інформацію можна отримати також з Фур’є перетворення ПФРРА, тобто зі структурного фактору системи. Такі дані дозволяють порівнювати отримані результати з експериментальними даними рентгеноструктурного аналізу та вивчати детальніше зміну структурних характеристик модельованих системи на атомарному рівні при термообробках. У роботі [5] результати моделювання термообробок аморфного заліза й сплаву системи Fe-B порівнювалися з експериментальними результатами, наведеними в [6].

Структурні характеристики модельованих об’єктів характеризуються набором просторових ізотропних та анізотропних кореляційних функцій. Однак характеристика структури у вигляді ПФРРА не дає повного уявлення про будову речовини. Подальшим кроком є побудова атомних моделей, що більш наглядно зображують просторове розташування частинок системи. Шляхи розв’язання цієї задачі широко розвинуті в кристалографії, але для некристалічних систем існує ряд труднощів, пов’язаних з недостатньою точністю вихідних даних і з можливою неоднозначністю розв’язку задачі. Тому застосовують алгоритми, що дозволяють побудувати атомну модель рідини або аморфної фази за дифракційними даними, наприклад обернений метод Монте-Карло.

7.1.4.Обчислення тиску та вивчення рівняння стану

Зтеореми про віріал сили випливає спосіб обчислення тиску. Розглянемо її виведення, наведене у книзі Хансена і МакДональда [7]. Запишемо величину суми від скалярних добутків

де сума береться за усіма частинками системи, а Fi є повна сила, що діє на i-ту частинку. Середнє за часом від G можна записати у вигляді

209

(v – швидкість частинок), отримаємо після усереднення складових останньої рівності за часом:

У разі t®¥, d2 r2 ¹ ¥ , тому dt2

де проведено інтегрування за частинами і використано теорему про рівнорозподіл. Вираз для G можна розбити на частини: одну, пов’язану із силами взаємодії частинок, і другу, зумовлену зовнішньою силою, що діє збоку стінок. Останню можна пов’язати з тиском і записати

де n – одиничний вектор нормалі до площинки dA. Тому

∑ ri dFi çîâí = -P∫ rndA = -P∫ divr dV = -3PV ,

i

де ми застосували теорему Гаусса і врахували, що div(r)=3. У результаті можна записати

i збоку усіх інших частинок, і сума береться за усіма N частинками (в двовимірному випадку дріб 1/3 замінюється на 1/2).

За даними МК моделювання, віріал сили зручно представити через ПФРРА, g(r), та похідну від потенціалу. Розглянемо суму добутків радіус-векторів й сил з урахуванням Nk атомів відносно кожного і-го обраного атома (напрямки радіус-векторів і сил збігаються):

210