ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 60
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Найдите значение выражения |
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
. |
|
||||
4+2 |
3 |
4−2 |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.2. Упростите выражение |
cos5α+cos3α |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
sin5α+sin3α |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.3. Решите уравнение 25x +4 5x −5 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1lg27−lg5 |
. |
|
|
|
|||||
2.4. Вычислите значение выражения 1003 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.5. Найдите первообразную функции |
f |
(x) = |
|
4 |
|
|
, график которой про- |
||||||||
sin2 |
4x |
||||||||||||||
ходит через точку B( |
|
|
|
3). |
|
|
|
|
|
||||||
π |
; −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.6.Первому маляру требуется на 4 ч больше, чтобы покрасить комнату, чем второму. Если первый маляр проработает 3 ч, а затем его сменит второй, то последний докрасит эту комнату за 6 ч. За сколько часов может покрасить всю комнату второй маляр?
2.7.Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются
в точке E. Большее основание AD трапеции равно 12 см, AE =15 см, BE =5 см. Найдите меньшее основание трапеции.
2.8.В нижнем основании цилиндра проведена хорда, длина которой равна b. Эта хорда видна из центра нижнего основания под углом β, а отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой проведенной хорды, образует с плоскостью основания угол α. Найдите объем цилиндра.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-
ции f (x) = xx2 +−54x .
3.2. Решите неравенство log1 log3 1x−−x2 > −1.
2
3.3.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов — 5 см. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины его большего острого угла.
121
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют уравнению:
2x2 + 2y2 + 2xy −1 = y + x . |
|
||
4.2.м При каких значениях параметра a функция |
y = f (x + a) является |
||
нечетной, если f (x) = 2x − |
8 |
? |
|
|
|
||
|
2x |
|
|
4.3.м Решите систему уравнений: |
|
||
sinxcosy = −0,5, |
|
||
cosxsiny = 0,5. |
|
||
4.4.м Точки M и N — середины диагоналей AC и BD выпуклого четырех- |
|||
угольника ABCD ( AD>BC). Известно, что |
MN = 1 (AD − BC) . |
||
|
|
|
2 |
Докажите, что данный четырехугольник — трапеция.
122
Вариант 61
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Упростите выражение |
6 ab |
: |
3 a |
. |
|
6 ab +33 b |
3 a +66 ab +93 b |
||||
|
|
|
2.2. Решите уравнение 14 22x2 = 8 (12)3x .
2.3. Упростите выражение:
sin (π2 −α)cos(2π−α)+cos (32π −α)sin(π−α).
2.4.Вычислите значение выражения (log14 2+log14 7+5log5 6)log7 2 .
2.5.Дана функция f (x) = ex sin3x . Найдите f '(0) .
2.6.Катер проплыл 15 км по течению реки и 4 км по озеру, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 4 км/ч.
2.7.Из точки к прямой проведены две наклонные, длины проекций которых на эту прямую равны 6 см и 15 см. Найдите длины наклонных, если они относятся как 10:17.
2.8.Диагональ куба равна a. Чему равен объем куба?
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-
ции f (x) = xx2++13 .
3.2. Постройте график функции f (x) = log3 logx−2(x −2)9 .
3.3.Основание пирамиды — прямоугольный треугольник, катет которого равен b, а противолежащий острый угол — β. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом α. Найдите боковую поверхность конуса, описанного около данной пирамиды.
123
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Постройте график функции y = cos(2arccosx) .
4.2.м В зависимости от значения параметра a найдите точку максимума функции:
f (x) = x33 − a +2 2 x2 +2ax + 4.
4.3.м Решите неравенство:
x3 +x 27 > x −3.
4.4.м Точки P, Q, R принадлежат сторонам AB, BC, CA треугольника ABC соответственно. Известно, что AP:AB=BQ:BC=CR:CA=1:4. Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь треугольника PQR.
124
Вариант 62
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
|
|
3 |
1 |
|
|
2.1. |
Чему равно значение выражения |
a 8 |
−a 8 |
при |
a =16? |
1
a 8
2.2. Решите уравнение cos2 x −sinxcosx = 0.
2.3. Решите систему уравнений xy − x = 30,
y − x = 2.
2.4.Вычислите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии (an ), если a12 = 52, а разность прогрессии d = 5.
4x−3 |
5 |
|
|
2.5. Решите неравенство (sin1) x+6 |
≥ (sin1) |
x+6 |
. |
2.6. Найдите промежутки убывания функции f (x) = x4 −2x3 + x2 −5.
2.7.Периметр ромба равен 60 см, а его диагонали относятся как 3 : 4. Найдите площадь ромба.
2.8.Хорда нижнего основания цилиндра видна из центра этого основания под углом α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину данной хорды, наклонен к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания равен R.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите неравенство:
log6(x +1) + log6(2x +1) <1.
3.2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 − 3x + 4
и прямой y = 4− x .
3.3.Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Найдите расстояние от вершины большего острого угла треугольника до центра вписанной окружности.
125
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Упростите выражение:
b −2 b +8 +9 + b +2 b +8 +9 .
4.2.м Решите систему уравнений:
x2 −2xy − y2 = 2,xy + y2 = 4.
4.3.м При каких значениях параметра a уравнение
arccos2 x −(7a −7)arccosx + 2a (5a −7) = 0
имеет решения?
4.4.м В треугольник ABC, периметр которого равен 2p, вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны AB и BC в точках K и L соответственно. Найдите периметр треугольника KBL, если AC=b.
126
Вариант 63
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Чему равно значение выражения (2−0,7)−0,7 (0,5)3,49 ?
2.2.Решите неравенство 4x+1 +4x ≥ 80 .
2.3.Найдите значение sinα, если ctgα = 2 и π < α < 32π .
2.4.Решите уравнение:
log4 x12 +4log4 x = −3.
2.5. Геометрическая прогрессия (bn) задана формулой общего члена bn = 5 3n−1 . Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.
2.6.Чтобы получить 50 кг 46-процентного сплава цинка, взяли его 40-про- центный и 50-процентный сплавы. Сколько взяли килограммов 40-про- центного сплава?
2.7.Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите отрезок AB, если AF=10 см и BC:AD=2:5.
2.8.В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания
под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его образующая равна l.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 + 2x +1
ипрямой y = x +3 .
3.2.Упростите выражение:
( |
) |
2 +4 |
|
( |
) |
2 −4 |
|
|
b −1 |
b − |
|
b +1 |
b . |
3.3.Основание пирамиды — квадрат со стороной 9 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если среднее по длине боковое ребро пирамиды равно 15 см.
127
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Сколько критических точек имеет функция
|
f (x) = |
x3 |
+ |
x2 |
|
−2x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
на промежутке [−a; a] в зависимости от значения параметра a (a > 0) ? |
|||||||||||||||
4.2.м Докажите тождество: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
arcsin x = arctg |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
||
4.3.м Решите систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
6 |
|
|
||
x |
+ y − |
|
|
= |
|
|
, |
||||||||
|
|
x − y |
x − y |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
+ y |
2 |
= 41. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.4.м В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1. Известно, чтоA1CC1= C1AA1. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
128
Вариант 64
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
1 −1
2.1.Вычислите значение выражения 810,25 − 9 2 +(0,5)−2 .
2.2.Найдите корень уравнения 8x+2 −8x =126.
2.3.Упростите выражение:
sin(α+β)−2cosαsinβ . 2cosαcosβ−cos(α+β)
2.4. Решите неравенство:
log4(x +3)+log4(x +15) ≤ 3.
2.5. Найдите первообразную функции |
f (x) = |
|
1 |
|
−sin |
x |
, график которой |
|||||
|
2x |
+1 |
4 |
|||||||||
проходит через начало координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.6. Найдите область определения функции y = |
6 |
x2 −3x |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3x +1 |
|
|
|
|
||
2.7. Определите величину угла α, изобра- |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
женного на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
20° |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70° |
|
2.8. Угол при |
основании осевого сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||||
конуса равен β, а расстояние от центра |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
основания |
до середины образующей |
|
|
40° |
|
|
|
|
90° |
|||
равно a. Найдите объем конуса. |
|
A |
|
|
|
|
|
|
E |
|||
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-
ции f (x) = x2x−+81x .
3.2.Постройте график функции f (x) = ctgx sinx .
3.3.Найдите радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагональ — 20 см.
129
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Для каждого значение параметра a решите неравенство: (x − a)
6 5x −5 6x ≤ 0 .
4.2.м Докажите, что функция f (x) = cosx cos(x
2) не является периодической.
1
4.3.м Вычислите интеграл ∫x3 cos xdx .
−1
4.4.м Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырехугольника, равны.
130