Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
Таким образом, при параллельном соединении конденсаторов
C
1
2
n
ϕ
1
ϕ
n
общая электроемкость равна сумме электроемкостей отдельных
конденсаторов [1–15].
При последовательном соединении конденсаторов (рис. 4.6) пол-
ная разность потенциалов распреде-
С
С
ляется между отдельными конденса-
С
торами:
Рис. 4.6
=
n
∑
=
i
UU
.
i
1
Разность потенциалов для каждого конденсатора
U =
q
C
;
i
i
для батареи конденсаторов
U =
q
.
Подставляя (4.17) и (4.16) в (4.15) и сокращая на заряд, найдем,
что
=
n
∑
=
i
11
.
CC
1
i
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
При последовательном соединении конденсаторов склады-
ваются величины, обратные их емкостям [1–15].
4.4. ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ.
ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДНИКА
Рассмотрим энергию системы неподвижных точечных зарядов q1
и q2, расположенных на расстоянии r друг от друга в точках 1 и 2.
Пусть заряд q1 создает электростатическое поле и в этом поле находится заряд q2. Тогда по формуле (3.7) потенциал поля в точке 2
W
=ϕ
2
q
,
2
(4.19)
где W – энергия системы двух точечных зарядов q1 и q2.
81
Если заряд q2 создает поле, то потенциал поля в точке 1 равен
1
1
ϕ
=
2
2
ϕ
=
2
C
W
=ϕ
q
.
1
1
(4.20)
Из уравнений (4.19) и (4.20) можно получить следующие выражения для энергии системы двух точечных зарядов:
qW
и
qW
.
Для того чтобы в выражение энергии системы оба заряда входили
симметрично, запишем его следующим образом:
1
)(
ϕ+ϕ= qqW
.
2211
(4.21)
Формула (4.21) дает энергию системы двух зарядов. Добавляя
к системе зарядов q3, q4, q5 и т. д., можно убедиться в том, что в случае n зарядов потенциальная энергия системы равна [1–15]
1
2
n
∑
=
i
ϕ=
qW
,
ii
1
(4.22)
где ϕi – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд qi,
всеми зарядами, кроме i-того.
Пусть имеется проводник, у которого электроемкость, потенциал
и заряд соответственно равны С, ϕ и q. Чтобы увеличить заряд на dq,
придется перенести его из бесконечности к поверхности проводника
и совершить при этом работу
1
∞
)(
dqdqdA ⋅⋅=⋅ϕ=⋅ϕ−ϕ=
если считать, что ϕ∞= 0.
Эта работа совершается внешними силами, перемещающими заряд против сил электрического поля проводника. При обратном перемещении заряда dq с поверхности проводника в бесконечность силы электрического поля совершают точно такую же по величине ра-
dqq
,
боту А. Следовательно, заряженный проводник обладает потенциальной энергией W, за счет которой совершается работа его разрядки.
82
При увеличении заряда проводника на dq его потенциальная
C
C
2
2
2
.qdq
C
⋅
энергия возрастает на величину dW, равную работе dA, совершаемой
внешними силами:
dW = dA;
q
dW =
При q = 0, ϕ = 0 будем считать W = 0. Тогда энергия W проводника, которому сообщили заряд q, может быть найдена [1–5] путем интегрирования:
⋅
.
=
1
1
q
q
==
C
0
2
q
;
ϕ= qW
;
2
ϕ= CW
.
dq
;
(4.23)
(4.24)
(4.25)
w
dWW
∫ ∫
o
W
4.5. ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО КОНДЕНСАТОРА.
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Процесс возникновения на обкладках конденсатора зарядов +q и
–q можно представить так, что от одной обкладки последовательно
отнимаются очень малые порции заряда dq и перемещаются на другую обкладку. Работа переноса очередной порции внешними силами
равна
dA = dq(ϕ1-ϕ2) = dq.U,
где (ϕ1-ϕ2) = U – называется [1] падением напряжения на конденсаторе.
Работа равна изменению потенциальной энергии
dW = dA = U⋅dq =
83
Для нахождения энергии заряженного конденсатора проинтегри-
2
.
2
q
2
2
d
εε
d
2
d
2
V
руем последнее выражение:
=
q
1
∫
C
0
qdq
;
W
WC=
(4.26)
Так как q = CU, то
W =
W =
qU
CU
;
2
.
(4.27)
(4.28)
Энергию конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле. Сделаем это для плоского конденсатора. Емкость плоского конденсатора
S
=
0
.
C
Подставив это значение в выражение для энергии (4.28), получим
2
U
0
Sd
2
.
W
εε
=
U
Учитывая, что объем равен V = Sd, напряженность поля
найдем выражение для энергии через напряженность поля:
W
=
2
E
⋅εε
0
V
.
Если поле однородно, что имеет место в плоском конденсаторе,
то заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной объемной плотностью. Объемной плотностью энергии
E =
(4.29)
,
называется [1–15] энергия единицы объема
W
w =
.
84
Следовательно,
2
0
=
2
Ew⋅εε
0
.
(4.30)
Если учесть, что электростатическое смещение D = εε0E, то
=
w
D
2
.
(4.31)
2εε
Таким образом, объемная плотность энергии однородного
электростатического поля определяется напряженностью поля Е
или электростатическим смещением D.
Формула (4.26) связывает энергию конденсаторов с зарядом
на его обкладках, формула (4.29) – с напряженностью электрического
поля. Возникает вопрос: что является носителем энергии – заряды
или поле? Постоянное электрическое поле и обуславливающие его
заряды не могут существовать обособленно друг от друга. А поля могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию. В частности, энергия, за счет которой существует жизнь на Земле, доставляется от Солнца электромагнитными волнами.
Этот факт заставляет признать, что носителем энергии является поле.
Таким образом, все выведенные формулы есть выражения для
энергии электрического поля. В частности, (4.22) – для поля точечных зарядов; (4.23)–(4.25) – для поля заряженного проводника;
(4.26)–(4.28) – для поля конденсатора.
Примеры решения задач
Пример 4.1. Металлический шар (R = 3 см) опущен наполовину в
керосин. Какой заряд находится на шаре, если он заряжен до 1800 В?
Какова поверхностная плотность свободных зарядов на разных половинках шара?
85
4 ;
2
C R
πε ε
2
(
)
ε+επε=+=
(
)
ε+εϕπε=ϕ
=
ϕεε
ϕεπε
ϕ
2
R
ϕεε
м
м
м
м
⋅
−−−
Дано: СИ Решение:
ε1 = 1
ε2 = 2
R = 3 см
φ = 1800 В
q = ?
σ1 = ?
3·10-2 м
Емкость шара, наполовину опущенного
в керосин, складывается из емкости той половины шара, которая находится в воздухе
(С1), и емкости второй половины шара, находящейся в керосине (С2) (рис. 4.7).
Поскольку емкость шара равна (4.3)
σ2 = ?
С = 4πεε0R,
то для емкостей С1 и С2 можно записать
Рис. 4.7
Тогда
1
= ⋅
1 1 0
1
4
επε⋅=
RC
.
022
2
RСCС
.
21021
Из определения емкости
RCq
.2
210
Найдем заряд на единице поверхности каждой половины шара:
q
=σ
1
1
1
R
π⋅
4
C
1
=
2
R
π
2
2
=
2
R
01
R
π
2
=
2
R
01
.
Аналогично
02
=σ
2
.
Проверка размерности:
Ф
[ ]
=⋅=⋅⋅=q
;
КлВФВм
Вычисления:
[ ]
Кл
ВФ
=σ
=
⋅
86
.
2
9212
;
⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=q
Кл109318001031085,814,32
72112
1
−−−
2
−−−
111
=
d
ε
ε
U
2
2
=
.
S
d
ε ε
ε
d
⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=σ
Кл/м1031,510318001085,81
;
72112
⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=σ
Кл/м1062,1010318001085,82
.
Ответ: q = 9·10-9 Кл; σ1 = 5,31·10-7 Кл/м2; σ2 = 10,62·10-7 Кл/м2.
Пример 4.2. Какое количество электричества пройдет по провод-
никам, соединяющим обкладки плоского конденсатора с зажимами
аккумулятора, при погружении конденсатора в керосин? Площадь
пластин конденсатора S = 150 см2, расстояние между пластинами d =
5 мм, ЭДС аккумулятора ε = 9,42 В, диэлектрическая проницаемость
керосина ε2 = 2.
Дано: СИ Решение:
ε1 = 1
ε2 = 2
ε0 = 8,85·10
S = 150 см
-12
Кл2/Н·м2
2
1,5·10-2 м2
Конденсатор соединен с зажимами аккумулятора проводами, сопротивлением которых
можно пренебречь. Поэтому
d = 5 мм
ε = 9,42 В
∆q = ?
5·10-3 м
напряжение на его обкладках
равно ЭДС аккумулятора, заряд
на пластинах равен согласно
(4.11)
,
UCq
S
где
C
=
1
01
.
После погружения
,
Cq
где
C
2
=
2 0
Так как ε2 ˃ ε1, то емкость конденсатора возросла. При неизменном напряжении U это привело к возрастанию заряда на обкладках.
Количество электричества, протекшего от аккумулятора к конденсатору, равно
SU
( ) ( )
CCUqqq
1212
0
=−=−=∆
.
ε−ε
12
87
Проверка размерности:
мВмм
10
5
−
−
⋅
=
=
[ ]
Ф
2
⋅
⋅=q
=⋅=
Кл.ВФ
Вычисления:
212
42,9105,11085,8
=∆q
Ответ: ∆q = 2,5·10
-10
Кл.
⋅⋅⋅⋅
3
−
( )
10
−
⋅=−
.
Кл105,212
Пример 4.3. Расстояние между пластинами заряженного и отклю-
ченного от батареи плоского конденсатора d = 5 см, напряженность поля в нем Е = 300 В/см. В конденсатор параллельно его пластинам вводят незаряженную металлическую пластину толщиной d1 = 1 см. Определить разность потенциалов между обкладками конденсатора до и после введения пластины. Вычислить емкость конденсатора, если площадь каждой из пластин конденсатора S = 100 см2 и все свободное пространство в конденсаторе заполнено керосином (ε = 2,1).
Дано: СИ Решение:
q = const
d = 5 см
Е = 300 В/см
d1 = 1 см
S = 100 см2
ε = 2,1
ε0 = 8,85·10
-12
U1 = ?
U2 = ?
C1 = ?
C2 = ?
Кл2/Н·м2
5·10-2 м
3·104 В/м
0,01 м
1·10-2 м2
В результате электростатической индукции свободные электроны в пластине CD перераспределяются так, что напряженность
электростатического поля внутри
пластины становится равной нулю: Е
внутр.
= 0. Плотность зарядов,
индуцированных на поверхностях
C и D, равна плотности зарядов
на обкладках конденсатора А и В,
поэтому напряженность поля
в пространстве вне введенной
пластины не изменится:
DBAC
88
.EEE
Поле конденсатора однородно, поэтому равность потенциалов
(
)
−=⋅=+
=
ℓ
м
d
εε
м
м
⋅
221
1
=
=
εε
εε
⋅
Ф.
м м
= =
1
−
(
)
2
между обкладками конденсатора до введения пластины может быть
найдена согласно (4.7) как U1 = Ed, а после введения пластины
.
ddEEUUU
DBDBAC
12
Проверка размерности:
В
Ф
.
Вм
=⋅== UU
.
[ ] [ ]
21
Видно, что напряжение U2 на обкладках уменьшается. При переносе единичного заряда с одной обкладки конденсатора на другую
электрическое поле будет совершать работу только на пути (d – d1).
Емкость конденсатора до введения пластины согласно (4.8) равна
S
0
C
=
1
.
Проверка размерности:
2
мФ
[ ]
1
⋅
=C
=
Конденсатор отключен от батареи, заряд на его обкладках сохраняется:
.
UCUCq
Тогда
−
S
0
.
dd
1
C
UC
11
2
U
==
2
EdC
1
( )
ddE
−
1
=
S
0
d
d
−
=
dd
1
⋅
Проверка размерности:
2
Ф м
C
[ ]
1
⋅
⋅
Таким образом, емкость конденсатора возрастает, С2 ˃ С1. Если
введенную пластину перемещать параллельно обкладкам, то емкость
изменяться не будет:
U
24
=⋅⋅⋅=
4
=−⋅⋅=U
;
В1500105103
;
В120001,005,0103
89
212
−
−
Ф 4,65 пФ.
d
εε
+
ε
ε
1
1011085,81,2
С
⋅⋅⋅⋅
=
1
12
−
=⋅=
;
пФ72,3Ф1072,3
05,0
12 2
2,1 8,85 10 1 10
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
С
= = ⋅ =
2
0,05 0,01
Ответ: U1 = 1500 В; U2 = 1200 В; С1 = 3,72 пФ; С2 = 4,65 пФ.
Пример 4.4. Как изменится емкость плоского воздушного кон-
денсатора, если: а) между его обкладками поместить стеклянную пластину (ε = 6), толщина которой равна половине расстояния между обкладками; б) между обкладками конденсатора поместить стеклянную
пластину (ε = 6), длина которой равна половине длины пластин конденсатора?
Дано: СИ Решение:
− −
−
4,65 10
12
−
ε1 = 6
а) Если между стеклом и воздухом поместить
d1 = d/2
ε2 = 6
ℓ
= ℓ/2
2
n1 = ?
n2 = ?
D
B А
Рис. 4.8
муле (4.18):
очень тонкий слой проводника, это не изменит
напряженности поля ни в стекле, ни в воздухе, поэтому не изменится и разность потенциалов между
обкладками конденсатора. Но теперь конденсатор
АВ можно рассматривать как два последовательно
соединенных конденсатора AD и DB (рис. 4.8).
Пусть емкость конденсатора АВ до введения стек-
лянной пластины равна С0. Тогда согласно формуле
S
(4.8)
С
=
0
емкости конденсаторов AD и DB равны
2С0 и 2ε·С0 соответственно. Емкость конденсатора АВ
после введения стеклянной пластины найдем по фор-
или
1
+=
1
1
1
+=
2
'
2
90
ε
,
CCС11'
DBAD
1
=
2
;
CCCС ε
000
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]