Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
точке поля направлен по касательной к линии индукции (рис. 6.4). На
В
В
рис. 6.4 а значком ⊗ изображен ток, идущий от нас перпендикулярно
плоскости рисунка. На рис 6.4 б значком ⊗ показан вектор индукции
магнитного поля, направленный перпендикулярно плоскости рисунка
«от нас», а значком – вектор индукции магнитного поля, направленный перпендикулярно плоскости рисунка «к нам».
Иногда правило для определения направления вектора индукции
магнитного поля формулируют как правило пра-
вой руки [1]: если охватить проводник правой рукой,
направив отогнутый большой палец по направлению
тока, то кончики остальных пальцев в данной точке
покажут направление вектора индукции в данной точке (рис. 6.5).
Линии напряженности электростатического поля
начинаются и заканчиваются на зарядах (см. рис. 1.3).
Рис. 6.5
Линии магнитной индукции всегда замкнуты (см. рис.
6.3). Это указывает на то, что магнитных зарядов в
природе не существует.
Вектор магнитной индукции
является основной характеристикой магнитного поля. Дополнительной характеристикой магнитного
поля является [1–5] напряженность магнитного поля, связанная
с магнитной индукцией формулой
BH
µµ=
,
0
(6.4)
где µ0 = 4π⋅10-7 Гн – магнитная постоянная; µ – магнитная проницае-
мость среды.
Напряженность магнитного поля измеряют в амперах на метр:
[Н] = А/м.
Направление напряженности магнитного поля совпадает с
направлением вектора индукции магнитного поля.
Для магнитного поля, так же как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции полей [1–15]. Согласно этому принципу
напряженность (магнитная индукция) результирующего магнитного
131
поля равна векторной сумме напряженностей (магнитных индукций)
r
α⋅⋅
ℓ
r
r
ℓ
d
[
]
ℓ
ℓ
[
]
4
r
ℓ
полей, создаваемых каждым источником этого поля в отдельности:
=
=
n
∑
=
i
n
∑
=
i
HH
;
i
1
ВВ
.
i
1
(6.5)
(6.6)
6.2. ЗАКОН БИО – САВАРА – ЛАПЛАСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
К РАСЧЕТУ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Био и Савар провели ряд опытов по изучению магнитного поля,
создаваемого при протекании тока по проводникам различной формы. Лаплас, теоретически обобщив результаты опытов Био и Савара,
получил выражение для напряженности поля, создаваемого элементом тока1, в дифференциальной форме. Согласно закону Био – Са-
вара – Лапласа [1–15] напряженность поля элемента тока равна
sin
=
dI
kdH
2
,
(6.7)
где α – угол между направлением элемента тока и радиус-вектором
, идущим от элемента тока к точке, в которой определяется напря-
женность поля (рис. 6.6). Коэффициент k определяется единицами измерения. В системе СИ
он равен 1/(4π).
Поскольку произведение r dℓ sinα есть мо-
дуль векторного произведения радиуса-вектора
Рис. 6.6
на элемент длины проводника
drdr ⋅=α⋅⋅ sin
, то закон Био – Савара –
Лапласа можно записать в векторном виде как
Hd
=
1
π
drI
⋅⋅
3
.
(6.8)
1
Под элементом тока понимают произведение силы тока I на элемент длины проводника dℓ.
132
Если учесть формулу (6.4), связывающую напряженность Н маг-
[
]
4
r
ℓ
4
r
α⋅⋅πµµ
ℓ
H
d
B
d
нитного поля и магнитную индукцию В, то закон Био – Савара –
Лапласа можно записать еще и следующим образом:
µµ
Вd
=
0
π
drI
⋅⋅
,
3
(6.9)
или в скалярном виде
sin
dB
=
dI
0
2
.
(6.10)
Закон Био – Савара – Лапласа позволяет найти напряженность
и индукцию магнитного поля электрического тока, текущего по проводнику конечных размеров и произвольной формы.
По принципу суперпозиции полей напряженность магнитного
поля проводника с током I равна векторной сумме напряженностей
элементарных магнитных полей, созданных всеми отдельными
участками ∆ℓi этого проводника:
где
H
∆
– напряженность;
i
=
n
∑
=
i
;H∆H
i
1
B∆
– индукция магнитного поля элемента
i
n
∑
=
i
∆=
BB
,
i
1
тока; n – общее число участков, на которые разбит проводник.
Неограниченно увеличивая число участков и переходя к пределу
при n → ∞, сумму можно заменить интегралом
где
– напряженность;
=
∫
L
;
HdH
=
∫
L
– индукция магнитного поля, создавае-
BdB ,
мого элементом проводника dℓ, с током I; символ L означает, что интегрирование ведется по всей длине проводника.
Исходя из этих соображений рассмотрим частные случаи интегральной формы закона Био – Савара – Лапласа.
133
6.2.1. Магнитное поле прямолинейного проводника с током
⋅
4
r
ℓ
dH
⋅
4
r
ℓ
β⋅=
tg
R
ℓ
Определим напряженность магнитного
поля в точке А, расстояние от которой до
проводника длиной (ℓ + ℓ1) равно R, т. е.
длина перпендикуляра ОА = R (рис. 6.7).
Угол β между радиус-вектором r ОА будем
считать отрицательным, если он откладывается вниз от линии ОА, и положительным,
Рис. 6.7
если он откладывается вверх от ОА. Пусть
ℓ = ℓ1. Согласно закону Био – Савара – Лапласа, напряженность магнитного поля, создаваемого элементом тока dℓ в точке А, равна
1
= sin
dН
dI
2
π
α
.
Напряженность поля, созданная всем проводником в точке А, по
принципу суперпозиции полей равна
=
Н
1
= sin
H
∫
π
;
∫
dI
2
α
.
Из рис. 6.6 видно, что
sinα = sin(90°-β) = cosβ;
R
=
r
β
cos
;
;
= d
d
ℓ
cos
R
2
β
β
.
Подставляя указанные величины в предыдущую формулу,
найдем напряженность поля в точке А:
2
cos
coscos
β⋅β
;
β
2
β
1
= d
H
4
π
R
R
I
∫
2
134
4
π=R
или
4
π=R
4
π
µµ
R
2
π
2
π
R
2
R
π
µµ
2
B
d
H
H
=
β+
I
R
∫
β−
2
cos
1
d
β⋅β
;
,
)sin(sin
β+β⋅
12
1
π
4
1
I
H
I
.
)cos(cos
α−α
21
(6.11)
С учетом выражения (6.4) для индукции магнитного поля получим [1]
=
В
I
0
.
)cos(cos
α−α
21
(6.12)
По формулам (6.11) и (6.12) можно рассчитать напряженность
и индукцию магнитного поля проводника с током конечной длины.
Для очень длинного проводника
и получим [1] соответственно
sinsinsin
=β=β
21
1
=
Hπ=
B
=
21
I
;
I
0
.
. Тогда
=β=β
(6.13)
(6.14)
Из формулы (6.13) следует, что ампер на метр – это напряженность поля бесконечного линейного тока в 1 ампер на расстоянии
1/2π метров от него.
6.2.2. Магнитное поле в центре кругового тока
Пусть ток протекает по кругу радиусом R (рис. 6.8). Найдем
напряженность и индукцию поля в центре круга, считая силу тока I и R постоянными.
Разобьем длину контура на элементы длиной dℓ.
Каждый из них создает магнитное поле с магнитной
индукцией
, модуль которой определяется форму-
Рис. 6.8
лой (6.8), а направление – правилом правого винта. Направление всех
135
векторов
B
d
α⋅⋅πµµ
4
r
ℓ
R
2
µµ
R
2
α
ℓ
в центре кругового витка с током одинаково и перпендикулярно плоскости витка. Поэтому магнитную индукцию результирующего магнитного поля можно найти как сумму модулей dВ, то
есть как интеграл:
==
dBВ
0
∫∫
2
.
sin
dI
В этой формуле расстояние r от элемента dℓ соответствует радиу-
су R кругового витка с током, а угол α = 90°. Подставим пределы интегрирования и получим [1–5] выражение для индукции магнитного
поля в центре кругового витка с током:
2
R
В
=
π
µµ
∫
π
0
dI
⋅
0
2
R
µµ
ℓ
=
44
π
4
RI
R
π⋅
;
2
0
В
=
I
0
.
С учетом выражения (6.4) для напряженности магнитного поля
в центре кругового витка с током получим
Н
I
.
=
6.2.3. Магнитное поле на оси кругового тока
Найдем напряженность магнитного поля Н в точке А, расположенной на оси кругового тока радиуса R
и на расстоянии d от центра круга
Рис. 6.9
(рис. 6.9). По теореме Пифагора
r2 = R2 + d2.
(6.15)
(6.16)
По закону Био – Савара – Лапласа напряженность поля dH, со-
зданного элементами тока Idℓ, равна
dH
=
1
4
π
Id
sin
+
.
22
)(
dR
Т. к. прямая DE, проведенная на плоскости через основание
наклонной r перпендикулярно к ее проекции R, перпендикулярна и
136
самой наклонной r (см. рис. 6.9), то по теореме о трех перпендикуля-
⋅
ℓ
H
d
''H
d
'Hd
''H
d
⋅
ℓ
⋅
⋅
ℓ
ℓ
2 2 3/2
;
4 ( )
π
2 2 3/ 2
2( )
рах sinα = 1. Следовательно,
Разложим вектор
dH
на две составляющие:
=
1
4
π
вдоль оси ОА и равную dH″ = dH сosβ, и
+
dI
.
22
)(
dR
, направленную
, перпендикулярную
и равную dH = dH sinβ. Очевидно, при суммировании полей всех
элементов тока по длине окружности составляющие dН′ дадут нуль.
Поэтому результирующее поле Н будет складываться лишь из суммы
составляющих dH’’:
1
cos''
dHdHH
=β== cos
∫∫∫
π
4
+
dI
.
22
)(
dR
β
Величина cosβ легко определяется из ∆ АOD (см. рис. 6.9):
+
R
.
2/122
)(
dR
cos
R
==β
r
С учетом данного равенства предыдущее выражение принимает
следующий вид:
H
=
1
π
4
dI
dR
R
++
)()(
dR
=
1
∫∫
π
4
+
dIR
.
2/3222/12222
)(
dR
Интегрируя это выражение по dℓ от 0 до 2πR
π
R
=
H
2
1 ℓ
∫
π
4
0
+
⋅
dR
dIR
,
2/322
)(
получим
H
1 2
= ⋅
π
H
IR R
R d
IR
R d=+
+
2
.
С учетом формулы (6.4) для индукции магнитного поля получим [1]
(6.17)
B
=
µµ
137
+
0
IR
2
.
2/322
)(2 dR
(6.18)
Таким образом, напряженность и магнитная индукция поля
Н
ℓ
ℓ
ℓ
ℓℓℓ
ℓ
на оси кругового витка радиусом R с током I на перпендикуляре длины d от плоскости витка определяется выражениями (6.17) и (6.18).
6.3. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО
ПОЛЯ. ВИХРЕВОЙ ХАРАКТЕР МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Циркуляцией вектора напряженности
магнитного поля по за-
данному замкнутому контуру L называется [1–5] интеграл следующего вида:
B
∫
)(L
,
⋅=
dHC
(6.19)
где должно быть задано направление обхода.
Рассмотрим контур L произвольной формы, лежащий в плоскости, перпендикулярной бесконечному линейному току I. Ток перпендикулярен плоскости рисунка и направлен от нас (рис. 6.10).
Для такого тока линии напряженности
магнитного поля представляют собой концентрические окружности в плоскости рисунка, направленные по часовой стрелке.
Выберем направление обхода контура
также по часовой стрелке. Рассмотрим от-
резок контура dℓ. Вектор напряженности
Рис. 6.10
магнитного поля направлен перпендику-
лярно радиус-вектору R и составляет угол θ с dℓ. Тогда
dHdH
θ⋅=⋅ сos
.
С учетом этого выражения формула (6.19) перепишется в виде
∫ ∫ ∫
=θ⋅⋅=⋅
dHdHdH cos
.
(6.20)
Проведем два бесконечно близких радиус-вектора, проходящих
через начало и конец dℓ и составляющих друг с другом угол dϕ,
138
и вектор dℓ0 перпендикулярно этим радиус-векторам. Из рис. 6.10
∫
∫
L
ℓ
∫
ℓ
L
L
видно, что
dℓ0 = dℓ⋅сosθ.
В то же время малый отрезок dℓ0 касательной к окружности ра-
диуса R можно заменить дугой окружности dℓ0, равной R⋅dϕ, где dϕ –
центральный угол. Тогда
dℓ сosθ = R⋅dϕ.
Выражение (6.20) можно переписать в виде
.
ϕ⋅=⋅
dHRdH
Подставляя сюда выражение (6.13) для напряженности поля прямолинейного бесконечно длинного проводника с током, получим, что
циркуляция по всему контуру L будет равна
I
=ϕ
π
d
∫∫∫
π
RI
d
R
=
dH
ℓ
ℓ
L
I
=ϕ
π
222
.
π
2
Отсюда
.
IdH =⋅
Если магнитное поле создано системой токов I1, I2, …, In, то
∫
n
=⋅
ℓ
∑
=
i
IdH
.
i
1
(6.21)
Уравнение (6.21) является математическим выражением закона
полного тока (теоремы о циркуляции вектора напряженности
магнитного поля) для токов проводимости [1–5]: циркуляция век-
тора напряженности магнитного поля по заданному контуру
численно равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим
контуром.
С учетом выражения (6.4) можно показать, что для магнитного
поля в вакууме
∫
ℓ
139
n
µ=⋅
0
∑
=
i
IdВ
.
i
1
(6.22)
Выражение (6.22) является матема-
В
В
∫
ℓ
ℓ
тической формой записи теоремы о
циркуляции вектора
(закона пол-
ного тока для магнитного поля в вакууме): циркуляция вектора
произвольному замкнутому контуру
Рис. 6.11
стоянной
µµµµ
на алгебраическую сумму токов, охватываемых кон-
0
равна произведению магнитной по-
туром [1–5].
Рассмотрим случай, когда контур, расположенный в магнитном поле, не охватывает тока (рис. 6.11). Циркуляция по участку АВС равна
ϕ
0
I
ϕ
d
,
∫∫
ϕ
1
ABC
=
dH
ℓ
ℓ
4
π
по участку CDA
ϕ
2
0
ϕ
dIdH
.
∫∫
ϕ
1
CDA
1
=
ℓ
ℓ
4
π
по
Циркуляция по всему контуру
ϕ
1
I
=
dH ℓ
ℓ
∫ ∫ ∫
π
4
ϕ
0
ϕ
0
ϕ+ϕ⋅
dd
ϕ
1
=
.
0
Так как интегрирование в обоих случаях ведется между теми же
пределами, но в обратном порядке, то в сумме они дадут нуль.
Таким образом, если контур, расположенный в магнитном по-
ле, не охватывает тока, то циркуляция напряженности магнитного поля по этому контуру будет равна нулю [1].
Возможны и более сложные случаи, когда контур
несколько раз охватывает ток. В этом случае величину
I надо считать столько раз, сколько раз контур обвивается вокруг тока с учетом направления вращения и, соответственно, знака тока. Пусть контур охватывается
Рис. 6.12
током дважды в одном направлении (рис. 6.12). Закон
полного тока запишется в виде
140
=+= IIIdH 2
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]