Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
Если контур охватывает ток два раза, но в противо-
∫
ℓ
ℓ
Н
L
∫
ℓ
положных направлениях (рис. 6.13), то
.
=−= 0IIdH
Итак, если контур, расположенный в магнитном
поле, охватывает проводник с током, то циркуляция
вектора напряженности магнитного поля отлична от
Рис. 6.13
нуля. Ранее было показано, что циркуляция вектора напряженности
электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю (см.
(3.16)). То есть между электрическими и магнитными полями существует принципиальное различие. Электростатическое поле потенци-
ально и может быть охарактеризовано потенциалом ϕ. У магнитного
поля аналогичной характеристики нет. Циркуляция вектора
от-
лична от нуля. Поля, обладающие такими свойствами, называются
[1–5] вихревыми.
6.4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ СОЛЕНОИДА
Соленоидом называется цилиндрическая катушка, которая со-
стоит из большого числа витков проволоки, образующих винтовую
линию (рис. 6.14). Если длина соленоида во много раз больше диаметра его витков, то соленоид
можно [1–5] практически считать бесконечно
длинным.
Рис. 6.14
Магнитное поле такого соленоида целиком
сосредоточено внутри него. Для нахождения напряженности Н поля
выделим мысленно конечный участок длины ℓ, на котором расположены N витков, и проведем контур (1–2–3–4). Применим закон пол-
ного тока к этому контуру. С учетом того, что контур охватывает N
витков, по которым идет один и тот же ток I, выражение (6.21) можно
переписать в виде
=⋅
141
.
NIdH
(6.23)
Правую часть этого равенства, то есть интеграл по замкнутому
∫
ℓ
2
π
121
4
2
ℓ
∫
ℓ
2
ℓ
ℓ
контуру (1–2–3–4), разложим на 4 интеграла:
⋅
dH
2
=
1
3
2
4
3
1
.
+++
∫∫∫∫
4
ℓℓℓℓ
dHdHdHdH
ℓℓℓℓ
На участках 1–2, 3–4 контур перпендикулярен линиям поля, т. е.
и
coscos =
=θ
0
2
;
0cos
=⋅θ⋅=
ℓℓ
ℓ
4
ℓ
3
∫∫
4
∫∫
3
dHdH
.
0cos
=⋅θ⋅=
ℓℓ
dHdH
Участок 1–4 лежит вне соленоида. Это означает, что напряженность магнитного поля H = 0. Поэтому
1
.
0
=⋅
ℓ
dH
ℓ
∫
(6.24)
На участке 3–2 направление обхода контура и направление вектора напряженности магнитного поля совпадают, поэтому cosθ = 1 и
3
dH
ℓ
∫
3
=
ℓ
cos ℓℓℓ
∫ ∫
2 0
==θ
.
HdHdH
С учетом вышесказанного выражение (6.24) перепишется в виде
3
=
⋅LdH
ℓ
∫
.
ℓℓ
HdH =
С учетом выражения (6.23) получим
NI = Hℓ,
откуда напряженность магнитного поля бесконечно длинного солено-
ида равна
H =⋅=
N
,
nII
(6.25)
n =
N
– число витков на единицу длины.
142
где
Индукция магнитного поля бесконечно длинного соленоида рав-
µ
µ
2
r
мсВм
А
м
м
⋅
⋅
−
на [1–15]
В =
0
nI.
(6.26)
Примеры решения задач
Пример 6.1. По тонкому проводящему кольцу радиусом
R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти индукцию В в точке А, равноуда-
ленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.
Дано: СИ Решение:
R = 10 см
I = 80 А
r = 20 см
В = ?
0,1 м
0,2 м
B
Точка А, равноудаленная от всех точек
кольца, находится на оси этого кругового
витка с током. Согласно формуле (6.18) магнитная индукция в этой точке равна
2
IR
µµ
+
0
,
2/322
)(2 dR
=
где d – величина перпендикуляра, опущенного из точки А
на плоскость контура (рис. 6.15). По теореме Пифагора
r2 = R2 + d2.
Тогда для индукции магнитного поля в точке А по-
лучим
2
IR
Bµµ=
0
.
3
Проверка размерности:
[ ]
2
мАГн
⋅⋅
=B
=
АсВ
⋅⋅
=
⋅
Тл.
=
223
Вычисления:
27
1,0801014,341
=B
2,02
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
3
5
−
⋅=
Тл.1028,6
Ответ: В = 6,28⋅10-5 Тл.
Рис. 6.15
Пример 6.2. По бесконечно длинному проводнику, изогнутому
так, как это показано на рис. 6.16, течет ток I = 100 А. Определить
индукцию магнитного поля в точке О, если радиус закругления равен
= 10 см.
r
О
143
Дано: СИ Решение:
1
2
1
2
µµ=π
µµ
µµ
µµ
ππµµ
µµ
µµ=µµ
π+µµ=µµ
µµ
µµ+µµ
µµ
мсВм
А
м
м
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
I = 100 А
rО = 10 см
В
= ?
О
0,1 м
Разобьем проводник на три участка (рис.
6.16). Тогда в соответствии с принципом су-
перпозиции магнитных полей индукция создаваемого им поля будет определяться как
векторная сумма
BBBB
++=
,
О
где
B
и
B
– индукции полей, создаваемых от-
3
резками длинных проводников 1 и 3;
321
B
– индук-
ция поля, создаваемого участком кругового тока.
B
Векторы
B
,
и
B
направлены перпенди-
3
кулярно плоскости чертежа «от нас», поэтому
Рис. 6.16
В
= В1 + В2 + В3.
О
Величины В1 и В3 можно рассчитать по формуле (6.12) с учетом
того, что длина перпендикуляра, опущенного из точки О на провод-
ник, равна rO. В первом случае α1 = 0, α2 = π/2 и
В
I
=
1
0
r
π
4
=α−α
)cos(cos
21
I
−
cos0(cos
r
π
4
)
2
I
00
.
r
π
4
OOO
Для В3 α1 = π/2, α2 = π и
В
I
=
3
0
r
π
4
=α−α
)cos(cos
21
I
=π−
(cos
r
4
2
)cos
I
00
.
r
π
4
OOO
Для расчета В2 воспользуемся выражением (6.15) и учтем, что
поле создается ¼ окружности радиуса rO:
В
1
2
⋅=
I
r
I
00
.
r
824
OO
Таким образом,
I
r
82484
π
I
=
r
ВВВВ
=++=
3210
π
+
r
I
I
r
π
I
+
r
I
000000
r
π
8
)4(
.
OOOOOO
Проверка размерности:
[ ]
=B
144
АсВ
Тл.
=
=
22
АГн
=
⋅
Вычисления:
−
1 2 3 4 1 2 1 2
(cos cos ) (cos cos ).
4 2
R
а
µµ µµ
α α α α
аIа
π
π
2
2
а
π
мсВм
А
м
м
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
7
=В
0
⋅π⋅
+⋅⋅⋅π⋅⋅
1,08
)14,34(1001041
4
−
⋅=
Тл.1057,3
Ответ: ВО = 3,57⋅10-4 Тл.
Пример 6.3. Определите индукцию магнитного поля в центре
проволочной квадратной рамки со стороной а = 15 см, если по рамке
течет ток I = 5 А [11].
Дано: СИ Решение:
а = 15 см
I = 5 А
В = ?
0,15 м Разобьем квадрат на 4 участка – 4 про-
водника с током конечной длины, равной
стороне квадрата, каждый из которых отстоит от указанной точки на расстояние R = а/2.
Каждый из этих проводников создает свои
магнитные поля, индукции которых одинаковы
по модулю, причем их значения определяются
выражением (6.12):
I I
В В В В
= = = = − = −
0 0
π π
Поскольку α1 = 45°, а α2 = 180°– α1 = 135°
Рис. 6.17
(рис. 6.17), то
I
ВВВВ
µµ
====
4321
µµ
=−
)135cos45(cos
2
00
.
Согласно принципу суперпозиции индукция магнитного поля в
центре квадрата равна
BBBBB
+++=
.
4321
Поскольку направления этих четырех векторов одинаковы и их
модули тоже равны, то
µµ
ВВ
==
4
1
22
Проверка размерности:
АсВ
[ ]
АГн
=B
=
⋅
145
=
I
0
.
Тл.
=
22
Вычисления:
−
2
1
А
1
2
мсВм
А
м
м
⋅
⋅
7
51014,34122
В
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
15,014,3
⋅
7
−
=⋅≈
мкТл.37,7Тл10377
Ответ: В = 37,7 мкТл.
Пример 6.4. Магнитное поле создается с помощью двух парал-
лельно расположенных катушек (колодец Гельмгольца). Каждая из
катушек имеет радиус R = 20 см и состоит из N = 100 витков. По ним
течет ток I = 5 А в одном направлении. Расстояние между кольцами
х = 20 см. Определить индукцию магнитного поля на середине прямой, соединяющей центры катушек.
Дано: СИ Решение:
R = 20 см
N = 100
I = 5 А
х = 20 см
В
= ?
А
Поскольку направления векторов
0,2 м
0,2 м
Магнитная индукция результирующего
поля равна векторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых каждой катушкой в отдельности:
BBB
+=
.
В
= В1 + В2.
А
B
и
B
одинаковы, то
Индукцию магнитного поля каждого витка катушки можно рассчитать по формуле (6.18) как индукцию магнитного поля на оси кругового тока. С учетом того, что в катушке N витков, а расстояние от
той точки, где надо определить индукцию магнитного поля, до катушки равно d = x/2 = 0,1 м, получаем следующие выражения для
расчета В1 и В2:
2
NIR
µµ
ВB
==
21
0
+
.
2/322
)(2 dR
Тогда индукция магнитного поля на середине прямой, соединяющей центры катушек, равна
2
NIR
µµ
+
0
.
2/322
)( dR
ВBВ
=+=
21
Проверка размерности:
[ ]
2
мАГн
⋅⋅
=B
=
146
АсВ
⋅⋅
=
⋅
Тл.
=
223
Вычисления:
−
1
2
2
1
1
µµ
2
µµ
2
12221
2
1
27
2,051001014,341
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=В
( )
+
1,02,0
2/3
22
4
−
⋅=
Тл.1057,1
Ответ: В = 1,57⋅10-4 Тл.
Пример 6.5. Два параллельных бесконечно длинных провода, по
которым текут в одном направлении токи I = 60 А, расположены на
расстоянии d = 10 см друг от друга [13]. Определить магнитную индукцию В в точке, отстоящей от одного проводника на расстояние
R1 = 5 см и от другого – на расстояние R2 = 12 см.
Дано: СИ Решение:
I = 60 А
d = 10 см
R1 = 5 см
R2 = 12 см
В = ?
0,1 м
0,05 м
0,12 м
Для нахождения магнитной индукции
в указанной точке определим направление
векторов индукций
мых каждым проводником в отдельности,
и сложим их геометрически, т. е.
+=
Модуль индукции найдем по теореме косинусов:
π
2
2
I
0
,
B
BBBBB
21
=
2
2 R
π
α++= cos2
.
I
0
.
2
1
Значения индукций В1 и В2 согласно
формуле (6.14) равны
B
=
1
2 R
B
BBB
.
и
B
полей, создавае-
Рис. 6.18
Величину cosα также определим по теореме косинусов
(рис. 6.18):
2
cos
RRRRd
2
2
2
RR
1
=α
α−+= cos2
;
22
dRR −+
.
147
Таким образом, с учетом вышесказанного для индукции магнит-
µµ
2
1
µµ
мсВм
А
м
м
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
ного поля в указанной точке получим
R
2
I
0
2
2
⋅+
µµ
π
0
R
I
µµ
0
⋅
R
π
1
2
I
1
⋅
2
2
222
22
dRR
−+
.
21
B
=
µµ
π
0
R
2
I
1
µµ
+
22 RR
π
Приведем подкоренное выражение к общему знаменателю и вы-
2 RRIπ
0
за знак корня:
21
B −+
=
I
0
2
π
RR
2
22
1
2
22
.
dRR
несем
Проверка размерности:
АсВ
Тл.
=
=
22
[ ]
АГн
=B
2
м
2
=
Вычисления:
7
601014,341
⋅⋅⋅⋅
=В
12,005,014,32
⋅⋅⋅
⋅≈−⋅+⋅⋅
4222
−
Тл.1031,012,0205,02
Ответ: В = 3⋅10-4 Тл.
Задачи для самостоятельного решения
6.1. Найти напряженность магнитного поля, создаваемого отрезком прямолинейного проводника с током в точке, расположенной
на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии а = 5 см от
него. По проводнику течет ток I = 20 А. Отрезок виден из точки под
углом 60 градусов.
Н = 31,8 А/м
6.2. Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом. По проводнику течет ток I = 20 А. Какова магнитная индукция
в точке А, которая находится на расстоянии r = 5 см от вершины прямого угла на продолжении отрезка?
В = 40 мкТл
148
6.3. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка
радиусом R = 8 см равна 30 А/м. Определить напряженность на расстоянии 6 см от центра витка.
Н = 15,4 А/м
6.4. По контуру в виде равностороннего треугольника течет ток
I = 40 А. Длина стороны треугольника равна 30 см. Определить маг-
нитную индукцию в точке пересечения высот.
B = 240 мкТл
6.5 Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом. По проводу течет ток 100 А. Вычислить магнитную индукцию
в точке, лежащей на биссектрисе угла и удаленной от вершины угла
на расстояние а = 10 см.
В = 482 мкТл
6.6. Бесконечно длинный провод образует круговой виток, касательный к проводу. По проводу идет ток I = 5 А. Найти радиус витка
R, если напряженность магнитного поля в центре витка равна 41 А/м.
R = 8 см
6.7. По круговому витку радиусом 100 мм циркулирует ток силой
I = 1 А. Найти магнитную индукцию: а) в центре витка; б) на оси на
расстоянии d = 100 мм от его центра.
а) Н= 6,3 мкТл; б) Н = 2,3 мкТл
6.8. При какой силе тока, текущего по тонкому проводящему кольцу радиусом R = 0,2 м, магнитная индукция в точке, равноудаленной от
всех точек кольца на расстояние r = 0,3 м, станет равной 20 мкТл?
I = 21,5 А
6.9. Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом R = 8 см равна H = 30 А/м. Определить напряженность поля
на оси витка в точке, расположенной на расстоянии d = 6 см от центра
витка.
H = 15,4 А/м
6.10. Из проволоки длиной ℓ = 1 м сделана квадратная рамка. По
рамке течет ток I =10 А. Найти напряженность Н магнитного поля
в центре рамки.
Н = 35,8 А/м
149
6.11. Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 10 см друг от друга. По
виткам текут токи I1 = I2 = 2 А. Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке, находящейся на равном расстоянии от них:
а) токи текут в одном направлении; б) токи в витках текут в противоположных направлениях.
Н
= 12,2 А/м; Н2 = 0
1
6.12. Два круговых витка расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что центры этих витков совпадают. Радиус
каждого витка R = 2 см, токи в витках I1 = I2 = 5 А. Найти напряженность в центре этих витков.
Н = 177 А/м
6.13. По длинному тонкому проводу, согнутому под углом φ =
120°, течет ток I = 50 А. Найти магнитную индукцию в точке, лежащей
на биссектрисе угла и удаленной от вершины на расстояние а = 5 см.
В = 346 мкТл
6.14. Два длинных параллельных провода находятся на расстоянии а = 5 см один от другого. По проводам текут в противоположных
направлениях одинаковые токи I = 10 А каждый. Найти напряженность магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии r1 = 2 см
от одного и r2 = 3 см от другого проводника.
Н = 123 А/м
6.15. По тонкому кольцу течет ток. Не изменяя сил тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась
магнитная индукция к центре?
В
1/В2
= 1,15
6.16. Два бесконечно длинных проводника скрещены под прямым
углом. По проводам текут токи I1 = 80 А и 12 = 60 А. Расстояние
между проводами равно a = 10 см. Определить магнитную индукцию
в точке, одинаково удаленной от обоих проводников.
В = 400 мкТл
6.17. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 0,2 м протекает ток силой I = 21,5 А. Определить величину магнитной индукции
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]