Электротехника и электроника электрические однофазные цепи синусоидального тока. Практикум

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра электротехники и информационно-измерительных систем

М.С. Анисимова И.С. Попова

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

Электрические однофазные цепи синусоидального тока

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2018

УДК 621.3 А67

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Ф.И. Маняхин

Анисимова М.С.

А67 Электротехника и электроника : электрические однофазные цепи синусоидального тока: практикум / М.С. Анисимова, И.С. Попова. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 35 с.

Представлены практические задачи по разделу «Электрические однофазные цепи синусоидального тока» курса «Электротехника и электроника». Изложены основные теоретические сведения, примеры решения типовых задач с пояснениями и задачи для самостоятельного решения.

Предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриате по направле-

ниям подготовки 03.03.02, 09.03.03, 11.03.04, 15.03.02, 15.03.04, 20.03.01, 22.03.01, 22.03.02, 27.03.01, 28.03.01, 28.03.03, 29.03.04 для выполнения до-

машних заданий по курсу «Электротехника и электроника» и подготовки к практическим занятиям.

УДК 621.3

М.С. Анисимова, И.С. Попова, 2018

НИТУ «МИСиС», 2018

2

3

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Основные понятия, определения и законы

Электрическая цепь синусоидального тока – электрическая цепь,

в которой действуют ЭДС, напряжения и токи, изменяющиеся во времени по синусоидальному закону, например

i= Im sin ( t + i),

авременная диаграмма имеет вид, показанный на рис. 1. Синусоидальные токи, напряжения и ЭДС – величины периодические.

Рис. 1

Переменным называют ток, направление и величина которого изменяется во времени. Переменный ток может быть синусоидальным и несинусоидальным.

Для характеристики переменного синусоидального тока служат следующие параметры:

1.Мгновенные значения тока i, напряжения u, ЭДС e – их значения в любой момент времени t (например, для тока i = Imsin t).

2.Амплитудные значения тока Im, напряжения Um, ЭДС Em –

максимальные значения мгновенных величин i, u, и e.

3.Период T (с) – промежуток времени, в течение которого ток совершает одно полное колебание и принимает прежнее по величине и знаку мгновенное значение.

4.Частота f (Гц) – величина, обратная периоду Т,

f T1 .

4

5.Угловая частота (рад/с) – скорость изменения фазы (фазового угла)

ω2πT 2πf .

6.Фаза (фазовый угол) (рад) – аргумент синусоидальной величины, например для тока

= ( t + i).

7.Начальная фаза (рад) – значение фазы в момент времени t = 0. На временных диаграммах положительную начальную фазу от-

кладывают влево, а отрицательную – вправо от начала координат. На приведённых временных диаграммах тока i и напряжения u i 0, а

u 0. (см. рис. 1)

8. Сдвиг фаз – разность фаз двух синусоидальных величин. Сдвиг фаз между напряжением и током обозначают . В соответствии с определением

= u – i.

Возможны следующие варианты:

а) = 0 – в этом случае ток и напряжение совпадают по фазе; б) = ± 90 – ток и напряжение находятся в противофазе; в) 0 – ток отстаёт по фазе от напряжения на угол ;

г) 0 – ток опережает по фазе напряжение на угол .

9. Действующие значения периодических переменных тока, напряжения и ЭДС – среднеквадратичные значения этих величии за время, равное одному периоду

Для синусоидальных токов, напряжений и ЭДС справедливы соотношения:

I Im2 ;U U2m ; Е Еm2 .

Синусоидальные функции времени можно изобразить комплексными числами. Любое комплексное число А можно представить:

–в алгебраической форме

А= a + jb;

5

–в тригонометрической форме

А= A cos + jA sin ;

–в показательной форме

А= Ae j ;

–вектором на комплексной плоскости (рис. 2), где j 1 – мнимая единица;

a = Acos – реальная часть комплексного числа A (проекция вектора на ось вещественных);

b = Asin – мнимая часть комплексного числа A (проекция вектора на ось мнимых);

α arctg ba – главное значение аргумента комплексного числа,

Рис. 2

Сопряженными (А*) называют два комплексных числа, имеющих равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы.

Комплексной амплитудой тока называют комплексное число модуль и аргумент, которого соответственно равны амплитуде и начальной фазе синусоидального тока

I m Ime jψi Im cosψi jIm sinψi .

6

Комплексным действующим током (комплексным током) назы-

вают комплексное число

I I m2 Ie jψi I cosψi jI sinψi a jb.

Комплексные амплитуды тока, напряжения и ЭДС и комплексные действующие токи, напряжения и ЭДС можно изобразить векторами на комплексной плоскости.

Векторная диаграмма – совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе (рис. 3).

Рис. 3

Сложение векторов производят по правилу параллелограмма. Вычитание их – сложение с обратной по знаку вычитаемой величины.

Закон Ома в комплексной форме имеет вид

где Z и Y – комплексныесопротивлениеипроводимостьцепи, при-

Первый закон Кирхгофа

7

n I k 0, k 1

где n – количество ветвей в узле.

Второй закон Кирхгофа

где Ek, Uk, Ik, и Zk, – комплексные ЭДС, напряжение, ток и сопротивление в k-й ветви контура.

Правила записи уравнений по законам Кирхгофа такие же, как и в цепях постоянного тока.

К идеальным пассивным элементам схем замещения электрических цепей переменного тока относят следующие.

1. Резистивный элемент с активным сопротивлением R – элемент, учитывающий необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии (тепловую, лучистую и др.). Характеризуется активным сопротивлением R (Ом) или активной проводимостью

3. Емкостной элемент (идеальный конденсатор) с емкостью C – элемент электрической цепи, в котором энергетические процессы определяются только явлениями, происходящими в электрическом

BC X1C ωC (См).

Полная информация об этих элементах приведена в таблице.

8

Таблица

Свойства элементов схем замещения электрических цепей переменного тока

Активная мощность (Вт) – характеризует интенсивность необратимого преобразования электрической энергии в другие виды энергии

P UI cosφ I 2R.

Реактивная мощность (Вар) – характеризует интенсивность колебательного обмена энергией между источником и реактивными элементами приемника электрической энергии

Q UI sinφ I 2X .

9

Полная мощность (В А) – это наибольшее значение активной мощности, которое может быть получено при заданных значениях напряжения и тока

S UI P2 Q2 I 2Z U 2Y.

Комплексная мощность

S Se jφ U I* UIe jφ UI cosφ jUI sinφ P jQ.

Баланс мощностей

Pист Pпр I 2R

Qист Qпр I 2 Х

Sист Sпр

Полученные равенства выражают законы сохранения активных и реактивных мощностей.

Коэффициент мощности

Резонанс – явление в электрической цепи, содержащей индуктивные и емкостные элементы, возникающее в случае, когда реактивное сопротивление или реактивная проводимость этой цепи равны нулю.

Основными видами резонанса являются резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений – режим, при котором в цепи с последовательным соединением индуктивного и емкостного элементов напряжение на входе совпадает по фазе с током.

Резонанс токов – режим, при котором в цепи, содержащей параллельные ветви с индуктивным и емкостным элементами, ток нераз-

ветвленного участка цепи совпадает по фазе с напряжением ( = 0). Представим электрическую цепь в виде пассивного двухполюсни-

ка (рис. 4).

Согласно закону Ома в комплексной форме эквивалентное комплексное сопротивление цепи

10