Электротехника и электроника трехфазные электрические цепи. Практикум

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра Электротехники и информационно-измерительных систем

М.С. Анисимова И.С. Попова

Электротехника и электроника

Трехфазные электрические цепи

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2018

УДК 621.3 А67

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Ф.И. Маняхин

Анисимова М.С.

А67 Электротехника и электроника : трехфазные электрические цепи: практикум / М.С. Анисимова, И.С. Попова. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 37 с.

Представлены практические задачи по разделу «Трёхфазные электрические цепи» курса «Электротехника и электроника». Изложены основные теоретические сведения, примеры решения типовых задач с пояснениями и задачи для самостоятельного решения.

Предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриате по направле-

ниям подготовки 03.03.02, 09.03.03, 11.03.04, 15.03.02, 15.03.04, 20.03.01, 22.03.01, 22.03.02, 27.03.01, 28.03.01, 28.03.03, 29.03.04 для выполнения до-

машних заданий по курсу «Электротехника и электроника» и подготовки к практическим занятиям.

УДК 621.3

М.С. Анисимова, И.С. Попова, 2018

НИТУ «МИСиС», 2018

2

3

ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Основные понятия и определения

Трехфазная электрическая цепь – это совокупность трех одно-

фазных электрических цепей, в которых действуют ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе и создаваемые общим источником электрической энергии.

Три синусоидальные ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутые по фазе на 120 , образуют трехфазную симметричную систему. Аналогично получаются трехфазные системы напряжений и токов.

Фаза – участок цепи, по которому протекает один из токов. Фазное напряжение Uф – напряжение между началом и концом

фазы источника или приёмника.

Фазный ток Iф – ток в фазе трёхфазной цепи.

Линейные провода – провода, соединяющие начала одноименных фаз источника и приёмника.

Линейный ток Iл – ток в линейных проводах.

Линейное напряжение Uл – напряжение между линейными проводами или между началами разных фаз.

Трехфазную систему ЭДС (токов, напряжений) можно изобразить векторной диаграммой, как показано на рис. 1.

Рис. 1

Трехфазная симметричная система ЭДС для мгновенных и комплексных значений может быть описана системой уравнений:

4

eA Em sinωt

eB Em sin(ωt 120 )

eC Em sin(ωt 120 )

E A Ee j0

E B Ee j120

EC Ee j120

Симметричный приемник электрической энергии – трехфазный приемник, у которого комплексные сопротивления всех фаз одинаковы, т.е.

Za = Zb = Zc.

Связанная трехфазная электрическая цепь – цепь, в которой все фазы электрически соединены. Основными способами соединения фаз являются соединения звездой и треугольником.

Соединение звездой

На схемах соединения звездой в четырёхпроводных (рис. 2) и трёхпроводных (рис. 3) цепях указаны условные положительные направления токов, напряжений и ЭДС.

Рис. 2

На электрических схемах:

N и n – нейтральные точки источника иприёмника соответственно; IA, IB, IC – комплексные фазные и линейные токи одновременно,

их совокупность представляет собой трехфазную систему токов;

5

IN – комплексный ток в нейтральном проводе;

UА, UВ, UС – фазные напряжения источника;

UАВ, UВС, UСА – линейные напряжения источника (например, UАВ – линейное напряжение между линейными проводами А и В или началами фаз А и В источника);

Uа, Ub, Uс – фазные напряжения приёмника; Uаb, Ubc, Uса – линейные напряжения приёмника; UnN – напряжение между нейтральными точками;

Zа, Zb, Zс – комплексные фазные сопротивления приёмника.

Рис. 3

Комплексные фазные проводимости отдельных фаз (без учета внутреннего сопротивления источника)

Комплексные фазные напряжения источника

U A Ue j0

U B Ue j120

U C Ue j120

Комплексные линейные напряжения источника

U AB Ue j30

U BC Ue j90

U CA Ue j150

6

Линейные и фазные напряжения источника электрической энергии связаны соотношениями

U AB U A U B

U BC U B U C

U CA U C U A

из которых следует, что

UАВ + UВС + UСА = 0.

Расчеты симметричных и несимметричных режимов в трёхфазной цепи могут быть выполнены с помощью законов Ома и Кирхгофа и другими известными методами, подобно расчету однофазных цепей. При этом наиболее целесообразно пользоваться комплексным методом.

При соединении звездой линейные токи равны соответствующим фазным

Iл = Iф.

Фазные токи и ток в нейтральном проводе определяют по закону Ома в комплексной форме

I N I a I b I c

Фазные напряжения приёмника Ua, Ub, Uc определяют по второму закону Кирхгофа. В соответствии со схемой, представленной на рис. 3, имеем:

U a U A U nN

U b U B U nNU c U C U nN

где UnN – напряжение между нейтральными точками источника и приёмника

7

Линейные напряжения на зажимах приёмника

U ab U a U b

U bc U b U cU ca U c U a

из которых следует, что

Uab + Ubc + Uca = 0.

При симметричной системе напряжений

Uл 3 Uф.

Соединение треугольником

Треугольником могут быть соединены как обмотки генератора, так и фазы приёмника. При соединении треугольником линейные напряжения равны соответствующим фазным напряжениям: Uл = Uф.

Обозначения:

IA, IB, IC – комплексные линейные токи трёхфазной цепи; Iab, Ibc, Ica – комплексные фазные токи приёмника;

Zаb, Zbc, Zсa – комплексные фазные сопротивления приёмника. Схема соединения и условные положительные направления всех

электрических величин показаны на рис. 4.

Рис. 4

8

В узлах a, b и c соединены конец одной фазы с началом другой фазы приёмника.

Каждая фаза приёмника, как это следует из схемы соединений, оказывается включенной на линейное напряжение генератора, поэтому эти же напряжения являются фазными напряжениями приёмника:

U ab U ABUbc U BCU ca U CA

При соединении приёмника энергии в треугольник сопротивления Zаb, Zbc, Zсa подключают непосредственно к линейным проводам, поэтому линейные напряжения являются одновременно и фазными для приемников.

При симметричной нагрузке, т.е. Zab = Zbc = Zca, имеем

Фазные токи в соответствии с законом Ома равны

Соотношения между фазными и линейными токами можно записать, применив первый закон Кирхгофа

IA = Iab – Ica

IB = Ibc – Iab

IC = Ica – Ibc

причём

IA + IB + IC = 0.

При несимметричной нагрузке расчёт можно упростить, если приемник, соединенный треугольником, заменить эквивалентным приёмником, соединённым звездой.

9

Мощность трёхфазной системы

Активная мощность всей цепи при неравномерной нагрузке равна сумме активных мощностей отдельных фаз

Р = РА + PB + PC,

где Р – активная мощность всей цепи; РА, PB, PC – активные мощности фаз;

PA = UAIA cos A

PB = UBIB cos B

PC = UCIC cos C

Реактивная мощность всей цепи при неравномерной нагрузке равна алгебраической сумме реактивных мощностей отдельных фаз

Q = QА + QB + QC,

где Q – реактивная мощность всей цепи; QА, QB, QC – реактивные мощности фаз;

QA = UAIA sin A

QB = UBIB sin B

QC = UCIC sin C

Полная мощность цепи при неравномерной нагрузке

S P2 Q2 .

При симметричной системе напряжений и равномерной нагрузке:

– активная мощность:

– реактивная мощность:

– полная мощность:

Коэффициент мощности симметричной трёхфазной цепи находят как отношение активной и полной мощностей:

10