Электротехника и электроника электрические однофазные цепи синусоидального тока. Практикум

Рис. 4

а эквивалентная проводимость

Согласно определению, резонанс в цепи возникает при условии, если ХL= XC или ВL = BC,

при этом Zэкв = Rэкв и Yэкв = Gэкв являются чисто активными, а сдвиг фаз

Методы расчета сложных электрических цепей синусоидального тока

Расчет сложных электрических цепей синусоидального тока производят теми же методами, что и расчет сложных электрических цепей постоянного тока.

Разница заключается лишь в том, что уравнения составляют для комплексных токов, напряжений и ЭДС, в которых сопротивления R,

проводимости G и потенциалы заменяют соответственно комплексными сопротивлениями Z, проводимостями Y и потенциалами

узлов φ.

11

Примеры

Пример 1. Записать комплексы действующих значений напряжения и тока, если их мгновенные значения представлены уравнениями

u = 282 sin (314t – 120 ), В и i = 20 sin (314t – 60 ), А.

Решение

Действующее значение напряжения U U2m 200 В, а начальная

фаза u = –120 сложных электрических цепей синусоидального тока. В соответствии с определением комплекс действующего значения

напряжения

U Ue jψu 200e j120 ,B.

Аналогично для тока I Im2 14,1A , начальная фаза тока i = = –60 , а комплекс тока

I Ie jψi 14,1e j60 ,A.

Пример 2. Напряжение на входе катушки, индуктивность которой

L = 39,8 мГн, u = 163 sin (252t + 45 ), В.

Определить ток. Построить векторную диаграмму. Вычислить активную, реактивную и полную мощность.

Решение

Индуктивное сопротивление катушки

XL = L = 252 39,8 10-3 = 10 Ом.

Ток, проходящий по катушке индуктивности

12

Комплексное действующее значение напряжения

U 163e j 45 115,3e j 45 , В. 2

Активная мощность в цепи равна нулю, Р = 0. Реактивная мощность

QL = I2XL = (11,5)2 10 = 1322,5 Вар.

Полная мощность

S = QL = 1322,5 Вар.

Векторная диаграмма (рис. 5)

Рис. 5

В цепи с индуктивностью ток отстает от напряжения на = 90 .

Пример 3. Определить активную, реактивную и полную мощности, если мгновенные значения тока и напряжения заданы уравнениями

u = 141 sin (314t + 60 ), В; i = 7,07 sin (314t + 30 ), A.

Решение

Запишем комплексы действующих значений напряжений и тока

U 1412 e j60 100e j60 ,B; I 7,072 e j30 5e j30 ,A.

13

Комплекс полной мощности

S U I* 100e j60 5e j30 500e j30 500 (cos30 j sin30 )433 j250,B A.

Таким образом,

S = 500 B A, P = 433 Bт, Q = 250 Вар.

Пример 4. Известны токи i1 5 2sin(ωt 45 ), А;

i2 10 2sin(ωt 30 ), А и напряжение u = 141,2 sin t, В.

Найти сумму токов, комплексные значения указанных величин и построить векторную диаграмму.

Решение

Комплексное амплитудное напряжения

U m 141,2e j0 ,B.

Комплексное действующее напряжение

I = I1 + I2 = (3,54 + j3,54) + (8,66 – j5) = 12,2 – j1,46, A.

Действующее значение тока (модуль комплексного тока I)

I (12,2)2 (1,46)2 12,3A .

Аргумент тока

ψ arctg 12,21,46 6,8 .

Комплексная амплитуда тока

14

Мгновенное значение тока

i = 17,4 sin ( t – 6,8 ), А.

Векторная диаграмма токов и напряжения представлена на рис. 6.

Рис. 6

Расчеты цепей переменного тока полезно сопровождать построением векторных диаграмм. Это позволяет контролировать правильность полученных результатов.

Пример 5. Цепь состоит из последовательного соединения катушки, сопротивление которой Rк = 4,4 Ом, индуктивность L = 1,99 мГн. Активное сопротивление R = 10 Ом и ёмкость С = 33,2 мкФ (рис. 7). Определить ток и потребляемую активную мощность.

Построить топографическую диаграмму. Напряжение на входе U = 120 В и частота f = 400 Гц.

Рис. 7

Решение

Определим индуктивное сопротивление катушки

XL = L = 2 f L = 2 3,14 400 1,99 10–3 = 5 Ом.

15

Ёмкостное сопротивление

XC ω1C 2π1fC 2 3,14 4001 33,2 10 6 12Ом.

Запишем комплексные сопротивления всей цепи

Потребляемая активная мощность

P I 2(Rк R) 7,52 14,4 810Вт.

Для построения топографической диаграммы определим комплексные потенциалы точек. Расчет будем производить против хода тока.

Примем потенциал точки е равным нулю (φe 0), тогда

Топографическая и векторная диаграммы представлены на рис. 8.

Пример 6. К электрической цепи (рис. 9) приложено синусои-

дальное напряжение u = Um sin t. Используя законы Кирхгофа, составить систему уравнений для токов в ветвях.

Решение

При указанных условных положительных направлениях токов и напряжений и направлениях обхода контуров (см. рис. 9) система уравнений имеет вид

i – iR – iC = 0 uL + uC – u = 0 uR – uC = 0

16

Рис. 8

Рис. 9

Или получим систему уравнений для комплексных действующих токов и напряжений.

Приведённой системе уравнений соответствует электрическая схема, представленная на рис. 10.

17

где комплексная узловая проводимость и расчетный комплексный ток в узле соответственно равны

Напряжение на параллельном участке цепи

U пар φa φb 100e j90 , В.

Комплексные токи в ветвях

Действующие значения токов

I = 14,142 A,

IR = IC = 10 A.

Комплексные напряжения на индуктивной катушке, конденсаторе и резисторе

U L Z L I 10e j90 14,142e j 45 141,2e j 45 , B;

U R RI R 10e j0 10e j90 100e j90 , B; U C Z C I C 10e j90 10e j0 100e j90 ,B.

Действующие значения напряжений

UL = 141,2 B,

19

UC = UR = 100 B.

Комплексная мощность равна

Следовательно, полная, активная и реактивная мощности

S = 1414,2 B A;

P = 1000 Bт;

Q = 1000 Вар.

Пример 8. Для электрической цепи (см. рис. 10) определить условие, при котором в цепи возникнет резонанс токов, и рассчитать ток. Задано U = 100 B, сопротивления цепи равны 2 Ом.

Решение

Электрическая цепь содержит резистор, индуктивную катушку и конденсатор, поэтому в соответствии с определением в цепи возможен резонанс токов.

Найдем комплексное эквивалентное сопротивление этой цепи. Поскольку ветви с резистором и конденсатором включены параллельно по отношению к узлам a и b, целесообразно, прежде всего, найти эквивалентное комплексное сопротивление участка цепи между этими узлами.

Эквивалентное комплексное сопротивление участка цепи между узлами a и b равно

Нарисуем схему замещения цепи (рис. 11). Цепь носит активноиндуктивный характер.

Резонанс токов в приведенной схеме замещения в соответствии с его определением может возникнуть при условии BL = BC.

Для этого нужно на вход схемы параллельно источнику подключить батарею конденсатора (рис. 12).

20