Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
3.27. Электрическое поле создано точечным
зарядом q1 = 50 нКл. Не пользуясь понятием по-
С
r
1
тенциала, вычислить работу А внешних сил по
перемещению точечного заряда q = -2 мКл из
+q
1
r
2
точки С в точку В (рис. 3.16), если r1 = 10 см,
r2 = 20 см. Определить также изменение потенци-
Рис. 3.16
альной энергии системы зарядов.
Wп = А = 4,5 мкДж
3.28. Найти потенциальную энергию Wп системы трех точечных
зарядов q1 = 10 нКл, q2 = 20 нКл, q3 = -30нКл, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 10 см.
Wп = -63 мкДж
3.29. Найти работу по перемещению заряда q= 20
нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 3.17), находящихся
-σ
2
1
+σ
между двумя разноименно заряженными с поверх-
Рис. 3.17
ностной плотностью σ = 0,2 мкКл/м2 бесконечными
B
параллельными плоскостями, расстояние ℓ между которыми равно 3 см.
A = 13,6 мкДж
3.30. Электрон движется вдоль силовой линии однородного электрического поля. В некоторой точке с потенциалом φ1= 100 В электрон имел скорость υ1= 6 мм/с. Определить потенциал φ2 точки поля,
в которой скорость электрона будет равна 0,5υ
1.
φ2 = 23,3 В
71
ТЕМА 4. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ.
Е
Е
dr
ϕ
ϕ
dr
ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКОВ.
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
4.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ НА ПРОВОДНИКЕ.
НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ
ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДНИКА
Проводники – это тела, в которых электрические заряды способ-
ны перемещаться под действием слабого электростатического поля
[1–5]. Проводниками являются металлы, электролиты и ионизиро-
ванные газы. Рассмотрим металлические проводники. Силы, действующие на свободные электроны металлического проводника, помещенного во внешнее поле, пропорциональны напряженности поля
F = eE0,
поэтому под действием внешнего поля заряды в проводнике перераспределяются так, чтобы напряженность поля в любой точке внутри
проводника была равна нулю. В противном случае перераспределение зарядов продолжалось бы. На поверхности заряженного провод-
ника вектор напряженности
должен быть направлен по нормали
к этой поверхности, иначе под действием составляющей вектора
касательной к поверхности проводника, заряды перемещались бы по
проводнику. Отсюда вытекает следующее.
1. Во всех точках внутри проводника Е = 0.
2. Во всех точках на его поверхности Е равна нормальной со-
ставляющей Еn, касательная составляющая Ек = 0.
3. Потенциал поля внутри проводника определяется через
напряженность поля:
,
d
E
−=
.
Так как напряженность электрического поля внутри проводника
d
равна нулю (Е = 0), то
0=
, а потенциал постоянен (ϕ= сonst). Та-
72
ким образом, в любой точке внутри проводника потенциал поля
∑
∑
=
∑
σ
σ
σ
σ
σ
+
-
'
E
есть величина постоянная [1].
4. Покажем, что в заряженном проводнике нескомпенсированные
заряды располагаются только на его поверхности. Проведем внутри
проводника произвольную замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый внутренний объем проводника. Согласно теореме
Гаусса суммарный заряд q этого объема равен
Для воздуха ε = 1 и Dn = ε
⋅ε=
0
∫
S
=
, поэтому
0Еn
dSEq
.
n
dSDq
.
n
∫
S
Так как Е = 0 во всех точках внутри про-
водника, то
0
q
. Следовательно, заряды
распределяются только по поверхности проводника [1].
5. Определим величину заряда на поверх-
ности проводника.
Напряженность поля индуцированных за-
рядов на поверхности проводника (рис. 4.1)
-
-
-
-
Рис. 4.1
+
+
+
+
E
0
E
′
=
+
ε
=
22 ε
ε
.
000
Напряженность результирующего поля
Так как Е
σ = ε
0Е0
−= EE
0рез
= 0 внутри проводника, то
рез
. Заряд на поверхности проводника q = σS или q = ε
.
ε
0
−E
0
= 0. Отсюда
ε
0
S.
0Е0
6. Определим напряженность поля вблизи поверхности заряжен-
ного проводника. Для этого выделим на поверхности проводника малую площадку dS (рис. 4.2). Построим на ней цилиндр высотой dℓ.
73
Образующие цилиндра перпендикулярны площадке
E
D
∧
осн
′
σ
dS, а основания dS′ и dS′′ параллельны dS.
Ввиду малости dS можно считать, что dS′ = dS′′ =
Рис. 4.2
dS. Подсчитаем поток индукции сквозь поверхность
цилиндра:
Nц = N
бок
+ N'
осн
+ N"
осн
.
На поверхности проводника и вблизи нее векторы напряженности
электрического поля
и электростатического смещения
направ-
лены перпендикулярно его поверхности, поэтому поток вектора D
сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю:
.
=⋅=
бок
∫
Поток электрического смещения N
dSnDDN
′′ сквозь поверхность dS′′
осн
0)cos(
также равен нулю, так как эта поверхность лежит внутри проводника
и во всех ее точках D = ε0Е = 0. Следовательно, поток электростатического смещения сквозь всю замкнутую цилиндрическую поверх-
ность Nц равен потоку сквозь одно верхнее основание:
N
=
∫
S
SDd
=
DdS
∫
S
.
′
По теореме Гаусса этот поток равен сумме зарядов, охватывае-
мых поверхностью:
N = q =
σSdS
∫
,
где σ – поверхностная плотность зарядов на элементе dS поверхности
проводника.
Из этих формул следует, что
D = σ.
Так как D = ε0Е, то ε0Е = σ, откуда
=E
.
ε
0
74
Итак, если электрическое поле создается заряженным проводни-
.
М i
φ φ
∑
ком, то напряженность этого поля вблизи поверхности проводника
прямо пропорциональна поверхностной плотности зарядов, находящихся на нем [1–5].
4.2. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА.
ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ ШАРА
Уединенным проводником называется проводник, находящийся
в однородной среде вдали от заряженных тел и других проводников.
Зарядим уединенный проводник, сообщив ему некоторый заряд q.
Этот заряд должен распределиться по поверхности так, чтобы напряженность поля внутри проводника была равна
нулю. Вокруг проводника возникнет электростатическое поле, создаваемое системой зарядов, каждый из которых можно рассматривать
точечным (рис. 4.3).
Потенциал некоторой точки М этого поля
можно вычислить исходя из принципа супер-
Рис. 4.3
позиции полей как алгебраическую сумму потенциалов, создаваемых
каждым из элементарных точечных зарядов, т. е.
n
=
1
i
=
Потенциал поля точечного заряда равен
q
i
k
=ϕ
i
.
r
ε
i
С учетом этого выражения потенциал для точки М запишется в виде
n
q
∑
=
i
i
.
ε
r
1
i
=ϕ
k
м
Поместим теперь на тот же проводник заряд q′ = nq. Чтобы поле
внутри проводника вновь равнялось нулю, заряд q′ должен распреде-
литься по поверхности проводника подобно заряду q:
= nqi.
q′
75
Вычисляя теперь потенциал точки М, получим
′
ϕ
′
C
C
dr
Edr
d
−=ϕ
r
n
q
′
=ϕ
k
м
∑
=
i
i
ε
r
1
i
n
nq
=
k
∑ ∑
i
i
ε
r
= =
1 1
i
=
kn
n
q
i
n
ε
r
i
i
ϕ=
.
м
Взяв отношение
м
, видим, что оно равно n, т. е. потенциал
ϕ
м
в каждой точке поля возрастает прямо пропорционально заряду про-
1
водника: ϕ ∼ q. Введя коэффициент пропорциональности
венство можно переписать в виде
, это ра-
1
q
=ϕ
,
откуда
С
=
q
.
(4.1)
ϕ
Отношение заряда к потенциалу для данного проводника называется [1–15] его электроемкостью. Следовательно, электроемко-
стью уединенного проводника называется физическая величина,
численно равная количеству электричества, которое нужно сообщить проводнику для изменения его потенциала на единицу.
Электроемкость уединенного проводника зависит от его формы
и размеров, а также от диэлектрической проницаемости среды. Вычислим электроемкость заряженного шара радиуса R. Для этого сначала найдем потенциал шара. Между разностью потенциалов и
напряженностью поля существует соотношение
d
откуда
r > R
Eϕ−=
. Так как напряженность поля заряженного шара при
,
q
kEε=
то
,
2
r
−=ϕ
76
drq
kd
.
2
ε
Проинтегрируем это выражение:
1
1
1
2
R
ε
0
πεε
ϕ
2
−=ϕ
ϕ
1
r
2
drq
kd
∫∫
ε
r
.
2
r
Так как
r
2
dr
∫
2
r
r
1
r
2
(
r
1
11
)
−=−
,
rrr
21
то
−
11
)
.
rr
kq
=ϕ−ϕ
21
(
ε
Положим r2 = ∞; ϕ2 = 0; r1 = R; ϕ1 = ϕR, найдем потенциал шара
1
R
q
k
=ϕ=ϕ
.
Так как
=k
41πε
в системе СИ, то потенциал шара равен
0
q
R
=ϕ
4πεε
.
R
(4.2)
Подставляя (4.2) в (4.1), получим, что емкость уединенного шара
радиуса R, погруженного в однородный диэлектрик с диэлектриче-
ской проницаемостью ε, равна [1–15]
С = 4
0
R.
(4.3)
За единицу емкости в системе СИ принимается емкость такого
уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 вольт
при сообщении ему заряда в 1 кулон. Называется эта единица фарада.
4.3. ВЗАИМНАЯ ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ. КОНДЕНСАТОРЫ.
СОЕДИНЕНИЯ КОНДЕНСАТОРОВ
Если проводник не является уединенным, т. е. вблизи него находятся другие проводники, то, заряжаясь, он будет наводить на поверхности соседних проводников заряды обоих знаков. Заряды будут
77
ослаблять поле проводника и уменьшать его потенциал. Электроем-
C
U
кость проводника при этом возрастает.
Наибольший практический интерес представляет система, состоящая из двух близко расположенных друг к другу проводников, заряды которых численно равны и противоположны по знаку.
Обозначим разность потенциалов между проводниками через
ϕ1 – ϕ2, а абсолютную величину заряда через q. Если проводники
находятся вдали от других заряженных тел и проводников, то, как
показывает опыт, разность потенциалов пропорциональная заряду q
q
=ϕ−ϕ
21
где С – взаимная электроемкость проводников, откуда
,
=
С
q
.
ϕ−ϕ
21
(4.4)
Взаимной электроемкостью двух проводников называется физическая величина, численно равная заряду, который нужно перенести
с одного проводника на другой для изменения разности потенциалов
между ними на единицу [1].
Система двух проводников, электростатическое поле которых
полностью сосредоточено в ограниченной части пространства, называется конденсатором. Сами проводники называются обкладками
конденсатора.
Электроемкость конденсатора представляет собой взаимную
электроемкость его обкладок. С учетом того, что ϕ1 – ϕ2 = U – напря-
жение, для емкости конденсатора получим
С =
q
.
(4.5)
В зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на
плоские, сферические (шаровые) и цилиндрические. Простейшей
конструкцией конденсатора является плоский конденсатор (рис. 4.4).
78
Плоский конденсатор состоит из двух парал-
S
σ
d
dr
ϕ−ϕ−=ϕ
d
ϕ−ϕ
S
ϕ−ϕ
εε
d
εε
σ
σ
E
ℓ
d
лельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на близком расстоянии d одна
от другой и несущих заряды +q и –q. Когда ли-
нейные размеры ℓ велики по сравнению с расстоянием d между пластинами, т. е. d << ℓ, можно счи-
+
+
+
+
+
+
+
+
Рис. 4.4
-
-
-
-
-
-
-
-
тать электрическое поле внутри конденсатора
практически однородным, а заряд q – распределенным по пластинам
равномерно с поверхностной плотностью
q
=σ
.
В этом случае напряженность электрического поля между пласти-
нами будет равна
=Е
εε
.
0
С другой стороны,
d
Е
−=
E
=
21
12
;
.
Приравняв правые части уравнений (4.6) и (4.7) и учитывая, что
q
=σ
, получим
q
εε
q
=
0
=
ϕ−ϕ
21
dS
S
21
;
0
.
d
(4.6)
(4.7)
Отсюда емкость плоского конденсатора в системе СИ равна
[1–15]
=
C
79
S
0
.
(4.8)
Как видно из формулы (4.8), электроемкость плоского конденса-
r
R
−
ε
r
ε
πε
тора зависит от его геометрических размеров (площади пластин S),
взаимного расположения проводников (расстояния между пластина-
ми d) и диэлектрической проницаемости диэлектрика ε.
Электроемкость сферического конденсатора равна [1–15]
С
πε=04
rR
,
(4.9)
где R – радиус внешней обкладки; r – радиус внутренней обкладки.
Емкость цилиндрического конденсатора [1–15]
C
2
=
ℓ
L
0
,
R
(4.10)
n
где L – длина цилиндра; r – радиус внутренней обкладки конденсато-
ра; R – радиус внешней обкладки.
Для получения больших электроемкостей конденсаторы соединяют параллельно (рис. 4.5). Пусть электроемкости
отдельных конденсаторов равны С1,
Рис. 4.5
С
…Cn.
2
При таком соединении одна из обкладок каждого конденсатора
имеет потенциал ϕ1, другая – ϕ2. Обозначим разность потенциалов
ϕ1 – ϕ2 = U, тогда заряды на обкладках отдельных конденсаторов
qi = CiUi, (4.11)
а заряд на батарее конденсаторов
q = CU. (4.12)
Заряд всей батареи равен
=
n
∑
=
i
qq
.
i
1
(4.13)
Подставив (4.11) и (4.12) в (4.13) и сократив на U, получим
=
n
∑
=
i
CC
.
i
1
(4.14)
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]