Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
4.25. Во сколько раз изменится плотность энергии плоского вакуумного конденсатора, если пространство между его пластинами заполнить веществом с диэлектрической проницаемостью ε? Расчет
сделать для случаев: а) конденсатор отключен от источника напряжения; б) конденсатор присоединен к источнику.
а) w2/w1 =1/ε; б) w2/w1 = ε
4.26. Пять параллельно соединенных одинаковых конденсаторов
емкостью по C = 0,1 мкФ заряжаются до общей разности потенциалов
U1 = 30 кВ. Определить среднюю мощность разряда, если батарея
разряжается за τ = 1,5 10-6 с. Остаточное напряжение равно
U2 = 0,5 кВ
Р = 1,5 105 кВт
4.27. Пластинки воздушного конденсатора имеют площадь
S = 300 см2 и отдалены друг от друга на расстояние d1 = 3 мм. Между
ними находится металлическая пластинка с такой же площадью толщиной d2 = 1 мм, изолированная от земли. Конденсатор заряжен
до напряжения U = 600 В и отсоединен от источника напряжения. Какую работу надо произвести, чтобы вытащить пластинку ?
А = 0,12 10-4 Дж
4.28. На проводящем шаре диаметром d = 6 см находится заряд
q = 2 10-8 Кл. Шар погружен в керосин и расположен на значительном
расстоянии от стенок сосуда. Определить плотность энергии электрического поля в точках, отстоящих от центра шара на расстояния:
а) r1 = 2 см; б) r2 = 4 см.
а) w = 0 Дж/м3; б) w = 0,028 Дж/м3
4.29. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин
S = 100 см2 и расстоянием между ними d1 = 1 мм заряжен до U =
100 В. Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин
до расстояния d2 = 2,5 см, если источник напряжения перед раздвижением: а) не отключается; б) отключается.
а)W1 =4,43 10
б) W
101
=4,43 10-7 Дж; W2 = 1,11 10-5 Дж
1
-7
Дж; W2 = 1,78 10
-8
Дж
4.30. Сплошной парафиновый шар радиусом R =10 см заряжен
равномерно по объему с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м3. Опре-
делить энергию W1 электрического поля, сосредоточенную в самом
шаре, и энергию W2 вне его.
W1 = 7,88 пДж; W2 = 78,8 пДж
ТЕМА 5. ПОСТОЯННЫЙ ТОК В ПРОВОДНИКАХ
5.1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК, ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
Направленное (упорядоченное) движение электрических за-
рядов называется [1–5] электрическим током. В металлах могут
свободно перемещаться электроны, в проводящих растворах – ионы,
в газах – ионы и электроны. За направление электрического тока
условились принимать [1–5] направление упорядоченного движения
положительно заряженных частиц, поэтому направление тока в металлах противоположно направлению движения электронов.
Для количественной характеристики электрического тока исполь-
зуют две основные величины: плотность тока и силу тока.
Плотность тока j равна [1–5] величине заряда, проходящего
в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной
к линиям тока:
j
=
dq
n
.
dtdS
⋅
(5.1)
Выделим внутри проводника площадку площадью dSn, располо-
женную перпендикулярно направлению скорости заряженных частиц (рис. 5.1). Построим
прямоугольный параллелепипед с длиной, рав-
ной u⋅dt, где u – скорость упорядоченного движения заряженных частиц. Если n – концентра-
Рис. 5.1
ция носителей тока, то число носителей тока
102
внутри параллелепипеда будет равно n u⋅dt⋅dSn. С учетом того, что за-
dt
t
ряд каждого из них равен е, заряд, переносимый ими, будет равен
dq = e⋅n u⋅dt⋅dSn.
Следовательно, плотность тока
j = enu. (5.2)
Так как концентрация n и элементарный заряд е – скалярные величины, а скорость – вектор, то и плотность тока
j
будет векторной
величиной, направление которой совпадает с направлением скорости
движения положительно заряженных частиц:
=
uenj
.
(5.3)
Сила тока I в каком-либо проводнике равна [1–15] величине
заряда, проходящего в единицу времени через полное сечение
проводника. Если dq – заряд, прошедший через сечение проводника
за время dt, то сила тока равна производной от заряда по времени:
I =
.
(5.4)
Отсюда заряд, прошедший по проводнику, равен
t
=
2
Idtq
∫
t
.
1
(5.5)
Так как заряд dq и время dt – скаляры, то и сила тока есть скалярная величина.
Если по проводнику за равные промежутки времени проходит
один и тот же заряд, то ток является постоянным. Для постоянного
электрического тока
I =
q
;
(5.6)
q = It.
Зная вектор плотности тока
j
в каждой точке проводника, можно
выразить через него и силу тока:
=
jdSI
;
∫
S
n
103
S
=
dSjI
.
n
∫
S
(5.7)
Здесь jn – проекция вектора плотности тока на нормаль к поверхности проводника, а интегрирование производится по всей поверхности S любого сечения проводника.
Если по проводнику идет постоянный ток, то для плотности тока
можно записать
j =
I
,
(5.8)
где S – площадь поперечного сечения проводника.
В качестве единицы силы тока используют ампер (А). При токе
в 1 А через полное сечение проводника проходит заряд 1 Кл за время
1 с. Плотность тока измеряется в амперах на квадратный метр (А/м2).
5.2. ЗАКОН ОМА
Если в проводнике имеется ток,
G
то потенциал в различных его точках
A
B D
не одинаков: ϕA ≠ ϕB ≠ ϕD (рис. 5.2).
Присоединив корпус электрометра к
одному из концов A проволоки AB с
Рис. 5.2
током, а стрелку – к какой-либо другой точке В, мы обнаружим, что между точками имеется напряжение
(разность потенциалов)
U = ϕА – ϕВ.
Падение напряжения означает, что существует составляющая
напряженности поля Еτ, направленная вдоль проводника. То есть
напряженность поля у поверхности проводника с током, а следова-
тельно, и силовые линии уже не перпендикулярны поверхности проводника. Они наклоне-
ны в направлении тока на некоторый угол α,
причем tgα = En/Eτ (рис. 5.3). Значит, для под-
Рис. 5.3
держания постоянного тока необходимо непре-
104
рывное действие силы (равной е Еτ, где е – заряд электрона). Получа-
S
ℓ
ρ
ρ
ρ
R
ется, что электроны в проводнике движутся с неким трением, иначе
говоря, что проводник обладает сопротивлением.
Сопротивление проводника зависит от рода вещества проводника, его геометрических размеров и формы, а также от состояния проводника. Единицей сопротивления служит Ом. Это сопротивление
такого проводника, в котором при напряжении между концами 1 В
существует ток силой 1 А:
B1
Ом1 =
.
A1
Если проводники имеют форму цилиндров, то их сопротивление
[1–15]
R
=
,
(5.9)
где ℓ – длина проводника; S – площадь его поперечного сечения; ρ –
удельное сопротивление. Удельное сопротивление [1–5]– это сопро-
тивление проводника единичной длины и единичной площади поперечного сечения, оно зависит от рода вещества и его состояния (температуры):
=
(1+αt),
0
(5.10)
где α – температурный коэффициент сопротивления; ρ0 – сопротивление при t = 0 °С.
Величина, обратная сопротивлению, называется электропроводностью G, а величина, обратная удельному сопротивлению, – удель-
ной электропроводностью σ:
G1=
;
1
.
=σ
ρ
Если состояние проводника остается неизменным (не меняется
его температура), то для проводника существует однозначная зависимость между напряжением U, приложенным к концам проводника,
105
и силой тока I в нем. Эту зависимость называют [1–15] законом Ома
R
ℓ
⋅
ℓ
ℓ
49
для участка цепи в интегральной форме:
I I
Рис. 5.4
или
U
U
I =
График зависимости силы тока в проводнике от
напряжения I = f(U) называется [1–5] вольтамперной
характеристикой данного проводника. Вид вольтам-
перной характеристики для проводника показан на
рис. 5.4.
Подставляя (5.9) в (5.11), получим
.
(5.11)
SU
=
I
ρ
1
U
I
=
S
.
ρ
Отношение силы тока к площади сечения проводника – это плот-
ность тока j, величина
1
ρ
– удельная электропроводность, а отно-
σ=
U
E
шение
предыдущее равенство перепишется в виде
Так как j и Е – это векторные величины, направление которых
совпадает, то это уравнение можно записать в векторной форме:
Выражения (5.12) и (5.13) описывают закон Ома в дифференци-
альной форме [1–5]. Здесь j – плотность тока в проводнике, σ –
удельная электропроводность, Е – напряженность электрического по-
=
– напряженность поля внутри проводника. Тогда
j = σE.
Ej
σ=
.
(5.12)
(5.13)
ля в проводнике.
106
5.3. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ОМА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ.
стор
.
E
(
)
ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА
Создадим в проводнике электрическое поле и не примем мер для
его поддержания (рис. 5.5): ϕ1>ϕ2. Перемещение заряда приведет к тому, что поле
внутри проводника исчезнет и, следовательно, ток прекратится. Для того чтобы поддержать ток в проводнике, необходимо осуществить движение зарядов по замкнутому
Рис. 5.5
контуру, т. е. на участке ВСА необходимо осуществить перенос положительных зарядов в направлении возрастания потенциала ϕ.
Осуществить такую работу электростатические силы не могут.
Электростатические силы перемещают положительные заряды только
в сторону убывания потенциала ϕ.
Таким образом, для поддержания постоянного тока в цепи
на свободные заряды должны действовать помимо электростатических сил еще силы неэлектростатического происхождения.
Эти силы называются [1–5] сторонними силами. Такие силы мо-
гут быть обусловлены, например, химическими процессами, происходящими в источниках тока: аккумуляторах, гальванических элементах.
Перемещая электрические заряды, сторонние силы совершают
работу за счет энергии, затрачиваемой в источнике тока.
Обозначим напряженность поля кулоновских сил через
а напряженность поля сторонних сил – через
точки внутри проводника напряженность
результирующего элек-
Тогда для любой
E
трического поля равна векторной сумме
EEЕ
+=
.
сторкул
Подставив это выражение в формулу (5.13), получим закон Ома
в дифференциальной форме [1] при наличии сторонних полей:
σ
107
EEj
+=
.
сторкул
E
кул
(5.14)
,
E
ℓ
d
ϕ
ϕ
ℓ
ℓ
S
ρ
12121
1
1
Рис. 5.6
Рассмотрим замкнутую цепь, на участке 1–2
которой включен сторонний источник тока,
например гальванический элемент (рис. 5.6). Выде-
лим мысленно элемент тока длиной dℓ так, чтобы на
этом участке можно было считать площадь попе-
речного сечения S = const, а поле и плотность тока
однородными. Пусть
j
и
перпендикулярны S.
Заменим в формуле (5.13) удельную электропроводность на
1
удельное сопротивление (
) и подставим в выражение (5.8), свя-
=σ
ρ
зывающее силу и плотность тока, а также следующее из выражения
d
(3.17)
E
кул
Умножим обе стороны равенства на ρdℓ и раскроем скобки:
−=
. Тогда получим
1
I
=
S
ρ
−
d
.
стор
)(
+
E
d
d
ℓ
I
+ϕ−=
Проинтегрируем выражение по длине проводника от точки 1 до
стор
dEd
.
точки 2:
2
ρ
ℓ
d
I
∫ ∫ ∫
S
стор
.
⋅+ϕ−=
ℓ
dEd
(5.15)
Рассмотрим подробнее физический смысл всех членов, входящих
2
ρ
в полученное уравнение. Интеграл
2
участка цепи;
∫
)( Ud
dℓ
∫
=
S
=ϕ−ϕ=ϕ−ϕ−=ϕ−
– сопротивление всего
R
12
– падение потенциала
122112
на данном участке цепи. Последний интеграл вектора напряженности
108
электрического поля сторонних сил вдоль участка цепи 1–2 называет-
1
ε
ε
r
RI+
ε
ся [1–5] электродвижущей силой, действующей в этой цепи:
2
.
ε
=⋅
∫
ℓdE
12стор
Электродвижущая сила
εεεε
численно равна работе, совершае-
12
мой сторонними силами при перемещении по проводнику единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. Эта работа про-
изводится за счет энергии, затрачиваемой в источнике тока, поэтому
величину
можно также называть электродвижущей силой источ-
12
ника тока, включенного на участке 1–2.
Таким образом, формула (5.15) может быть переписана в виде
IR
12
= U
12
+
. (5.16)
12
Она является математическим выражением закона Ома для
участка цепи, содержащего ЭДС. Величина R12 = R
– общее (пол-
полн
ное) сопротивление всей цепи, равное
R
= r + R,
полн
где r – внутреннее сопротивление источника тока или нескольких ис-
точников.
Для замкнутой цепи (точки 1 и 2 совпадают) ϕ1 = ϕ2 и U
= 0. То-
12
гда закон Ома [1–15] можно записать в виде
I (R + r) = ε,
или
=
,
(5.17)
где ε – алгебраическая сумма всех ЭДС, приложенных в этой цепи; r
– внутреннее сопротивление источника тока; R – сопротивление рези-
стора.
Рассмотрим применение закона Ома для полной цепи при раз-
личном соединении n одинаковых источников тока (ε1 и r1 – соответственно ЭДС и внутреннее сопротивление каждого из них) и резисторов, общее сопротивление которых R
109
общ
.
В случае последовательного соединения источников тока (рис. 5.7)
ε
n
ε
n
Рис. 5.8
Рис. 5.7
n
+
1
.
nrR
1общ
I
=
При параллельном соединении источников тока (рис. 5.8) сила
тока, идущая по неразветвленному участку цепи, будет равна
(5.18)
R
общ
1
+
,
r
1
I
=
а через каждый источник тока будет идти ток
I
I =
1
.
(5.19)
5.4. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
ПРОВОДНИКОВ
В электрических цепях к источнику тока может быть подключено
несколько устройств (сопротивлений, ламп, нагревательных и измерительных приборов). Основными типами соединений являются параллельное и последовательное.
При последовательном со-
единении (рис. 5.9) все элементы электрической цепи включают в цепь поочередно друг за
другом. Цепь не имеет разветвлений, проводники заряд не
Рис. 5.9
накапливают, и из закона сохра-
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]