Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
в точке, равноудаленной от всех точек проводящего кольца на расстояние r = 0,3 м.
В = 220 мкТл
6.18. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника,
течет ток I = 60 А. Длины сторон прямоугольника равны а = 30 см
и b = 40 см. Определить магнитную индукцию в точке пересечения
диагоналей.
В = 200 мкТл
6.19. Электрон в атоме водорода вращается по круговой орбите
радиусом R = 0,510-8 см. Определить индукцию магнитного поля
в центре орбиты. Скорость движения электрона v = 2 106 м/с.
В = 1,2 мТл
6.20. По обмотке очень короткой магнитной линзы радиусом r = 16
см течет ток I = 5 А. Сколько витков проволоки намотано на катушку,
если напряженность магнитного поля в ее центре 800 А/м?
N = 51
6.21. Из проволоки длиной ℓ = 1 м сделана квадратная рамка. По
этой рамке течет ток силой I = 10 А. Найти напряженность магнитно-
го поля в центре рамки.
Н = 35,8 А/м
6.22. По проводу, согнутому в виде правильного шестиугольника
с длиной стороны a = 20 см, течет ток силой I = 100 А. Определить
напряженность магнитного поля в центре шестиугольника. Для сравнения определить напряженность поля в центре кругового провода,
совпадающего с окружностью, описанной около данного шестиугольника.
Н
= 275 А/м; Н2 = 250 А/м
1
6.23. Катушка длиной ℓ = 30 см имеет 1000 витков. Найти напряженность магнитного поля внутри катушки, если по витку проходит
ток I = 1 А. Диаметр катушки много меньше ее длины.
Н = 6,67 кА/м
151
6.24. Магнитная стрелка помещена в центр кругового витка,
6.25.
6.26.
6.27.
6.28.
плоскость которого расположена вертикально и составляет угол φ =
90° с плоскостью магнитного меридиана. Радиус витка R = 20 см.
Определить угол, на который повернется магнитная стрелка, если по
проводнику пойдет ток силой I = 25 А (дать два ответа). Горизонтальную составляющую индукции земного магнитного поля принять
равной В = 20 мкТл.
ϕ1 = 75°56’; ϕ2 = -75°56’
Бесконечно длинный тонкий
проводник с током I = 50 А имеет изгиб
(плоскую петлю) радиусом R = 10 см.
Определить в точке О магнитную индукцию поля, созданного этим током, в случае, изображенном на рис. 6.19.
Бесконечно длинный тонкий проводник с
током I = 50 А имеет изгиб R = 10 см. Определить в
точке О магнитную индукцию поля, создаваемого
этим током, в случае, изображенном на рис. 6.20.
Бесконечно длинный тонкий проводник
с током I = 50 А имеет изгиб радиусом R = 10 см.
Определить в точке О магнитную индукцию по-
Рис. 6.19
В = 157 мкТл
Рис. 6.20
В = 257 мкТл
ля, создаваемого этим током, в случае, изображенном на рис. 6.21.
Бесконечно длинный проводник с током I = 50 А имеет изгиб радиусом R = 10 см
(плоскую петлю). Определить в точке О магнитную индукцию поля, создаваемого этим током, в
случае, изображенном на рис. 6.22.
152
Рис. 6.21
В = 286 мкТл
Рис. 6.22
В = 214 мкТл
6.29.
Бесконечно длинный проводник с
6.30.
µ
В
током I = 50 А имеет изгиб радиусом R =10 см
(плоскую петлю). Определить в точке О маг-
нитную индукцию поля, создаваемого этим
током, в случае, изображенном на рис. 6.23.
Рис. 6.23
В = 414 мкТл
Вблизи бесконечного прямого провода, по которому течет ток I1, расположен
круговой виток радиуса r с током I2. Проводники находятся в одной плоскости (рис.
6.24). Расстояние от проводника до центра
витка равно 2r. Найти индукцию магнитного
поля в центре витка.
Рис. 6.24
0
=
B
r
I
2
−
I
1
π
22
ТЕМА 7. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПРОВОДНИК
С ТОКОМ И НА ДВИЖУЩИЕСЯ ЗАРЯДЫ
7.1. ЗАКОН АМПЕРА
Действие магнитного поля на проводник с током было обнаружено Эрстедом и Ампером. Ампер подробно исследовал это явление
и пришел к выводу, что сила F, действующая на прямолинейный проводник с током в однородном магнитном поле, прямо пропорцио-
нальна силе тока I в проводнике, длине проводника ℓ и индукции В
магнитного поля:
F = IBℓsinα,
(7.1)
где α – угол между направлением тока в проводнике и вектором
Данное утверждение позже получило название [1–15] закона Ампе-
ра, а сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током,
стала называться силой Ампера.
.
В случае неоднородного магнитного поля и проводника произ-
вольной формы проводник можно разбить на бесконечно малые эле-
153
менты dℓ, которые можно считать прямолинейными; поле вблизи этих
ℓ
d
В
ℓ
d
В
[
]
ℓ
ℓ
[
]
ℓ
ℓ
I
элементов можно считать однородным. Это позволяет определить силу
dF, действующую на бесконечно малый элемент проводника:
Закон Ампера можно записать в векторной форме, если принять,
что
ка в проводнике, а величина равна длине элемента dℓ. Поскольку ин-
дукция
ведение B⋅dℓ⋅sinα есть не что иное, как модуль векторного произведе-
ния векторов
– вектор, направление которого совпадает с направлением то-
магнитного поля является векторной величиной, то произ-
и
:
Выражение (7.3) описывает закон Ампера в векторной форме.
dF = I⋅B⋅dℓ⋅sinα.
×=
Направление силы Ампера опреде-
ляется по правилу левой руки [1]: если
BdBd
×=α⋅⋅ sin
BdIFd
;
.
(7.2)
(7.3)
левую руку расположить так, чтобы линии вектора магнитной индукции входили в ладонь, а четыре вытянутых пальца
показывали направление тока, то большой палец, находящийся в одной плоскости с остальными и перпендикулярный к ним, покажет направление силы, с
которой магнитное поле действует на
Рис. 7.1
Закон Ампера позволяет определить численное значение магнит-
ной индукции. Если проводник находится в однородном магнитном
поле перпендикулярно линиям индукции магнитного поля (sinα = 1),
то из формулы (7.1) получим
проводник с током (рис. 7.1).
F
1
B ⋅=
max
.
(7.4)
154
Из формулы (7.4) следует, что магнитная индукция численно
a
π
µµ
2
1
1
aIIa
π
µµ
π
µµ
2
2
ℓ
a
π
µµ
2
Рис. 7.2
равна [1–5] силе, действующей со стороны однородного магнитного поля на единицу длины проводника, по которому течет электрический ток силой 1 А и который расположен перпендикулярно
направлению магнитного поля.
7.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОВОДНИКОВ С ТОКОМ
Из закона Ампера легко получить выражение для силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два длинных прямолинейных проводника, расположенных параллельно друг другу на расстоянии а (рис. 7.2). Токи идут
к нам перпендикулярно плоскости рисунка.
Первый проводник создает магнитное поле. Индукция этого поля в точке 2 (там, где находится проводник с током I2) в соответствии с формулой (6.12) равна
I
B
=
1
10
.
Это поле действует на второй проводник с силой, величина которой согласно выражению (7.1) равна
F21 = I2B1ℓsinα.
Согласно правилу правого винта вектор индукции
вверх. Вектор
В
перпендикулярен направлению тока I2, поэтому
В
направлен
sinα = 1. С учетом написанного выше выражения для В1 получим
=
I
IF
221
=
ℓ
21010
.
Направление этой силы определяется по правилу левой руки.
Второй проводник в точке 1 (там, где находится проводник с током I1) создает поле индукции B2:
I
B
=
2
155
20
.
По закону Ампера со стороны второго проводника на первый
а
π
2
а
π
µµ
2
ℓ
21
12
а
π
µµ
2
ℓ
действует сила
F12 = I1B2ℓsinα,
где sinα = 1. С учетом выражения для В2 получим
I
2
ℓ
;
II
210
.
F
21
=
IF
µµ=
0121
То есть по модулю силы F21 и F12 равны друг другу. Согласно
правилу левой руки эта сила направлена навстречу силе F12. Тогда
можно записать, что
FF
−=
.
Сила, с которой взаимодействуют проводники, равна [1–5]
F
=
II
210
,
(7.5)
т. е. сила взаимодействия определяется величиной токов, расстоянием
между ними и длиной проводника.
Таким образом, если пропустить по проводникам токи одинакового направления, то они притягиваются друг к другу. Аналогичным
образом можно показать, что если направления токов взаимно противоположны, то проводники отталкиваются друг от друга.
7.3. КОНТУР С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Больший интерес представляет действие
магнитного поля на замкнутые проводники
с током, так как на этом явлении основано
устройство всех современных электрических
Рис. 7.3
двигателей.
Рассмотрим поведение проводника в виде прямоугольной рамки,
помещенного в однородное магнитное поле (рис. 7.3). В случае отсутствия тока в рамке она находится в состоянии безразличного рав-
156
новесия. При пропускании тока через рамку последняя поворачивает-
В
В
В
В
n
В
ся так, чтобы ее плоскость располагалась перпендикулярно к вектору
магнитной индукции электромагнита.
Изучим причины такого поведения рамки. Обозначим рамку как 1–2–3–4 (рис. 7.4).
Пусть вектор
составляет угол γ с плоскостью рамки. Будем считать, что стороны 2–3
и 4–1 лежат в плоскостях, параллельных вектору
перпендикулярны
магнитной индукции, а 1–2 и 3–4
. Это допущение упро-
щает расчет момента сил, действующих в
однородном магнитном поле на рамку.
Рис. 7.4
Обозначим силы, приложенные к проводникам 1–2 и 3–4, как F1 и F3. Величины этих сил одинаковы, и по
закону Ампера для них можно записать
F1 = F3 = IaB.
Эти силы направлены перпендикулярно плоскости рамки в противоположные стороны.
Силы F2 и F4, приложенные к прямолинейным проводникам 2–3
и 4–1, направлены вдоль вертикальной оси
рамки в противоположные стороны и полностью уравновешивают друг друга.
Результирующий вращающий момент,
действующий на рамку (рис. 7.5), равен моменту пары сил F1 и F3. Момент сил равен
произведению силы на плечо
Рис. 7.5
M = Fℓ,
где плечо ℓ = b cos(90°-γ) = b⋅sin ϕ; ϕ – угол между перпендикуляром
к поверхности рамки и вектором
(см. рис. 7.5). Отсюда
M = IabB sinϕ.
157
Обозначив произведение ab = S – площадь рамки, для вращаю-
n
⋅⋅=
[
]
M
B
B
ϕ
щего момента можно записать [1–15]
M = IBSsinϕ.
(7.6)
Произведение IS называется [1–5] магнитным моментом рамки
с током
pm = IS.
(7.7)
Тогда
M = Bpmsinϕ.
(7.8)
Данное выражение можно записать в векторном виде, введя термин вектора
, модуль которого равен единице, а направление совпадает с направлением положительной нормали к контуру (т. е. нормали, связанной с направлением силы тока правилом правого винта).
Тогда вектор магнитного момента направлен перпендикулярно поверхности контура и равен
m
nSIp
,
а момент сил
Вектор
направлен из-за чертежа перпендикулярно к его плоско-
BpM
×=
.
m
(7.9)
сти так, чтобы из его конца вращение рамки под действием пары сил F1
и F3 было видно происходящим против часовой стрелки (см. рис. 7.5).
Из формул (7.8) и (7.9) видно, что если
p
m
и
имеют одинако-
вое направление, то ϕ = 0 и М = 0. Это означает, что магнитное поле
не стремится ни повернуть контур, ни сдвинуть его с места, оно лишь
стремится растянуть контур в плоскости. Если
p
m
и
имеют проти-
воположное направление, то магнитные силы стремятся сжать контур. Ну а если α отличен от 0 или π, то вращающий момент будет от-
личен от нуля и контур будет поворачиваться в магнитном поле. Величина момента сил будет максимальной, если ϕ = π/2.
При увеличении угла на dϕ совершается работа против сил, дей-
ствующих на контур в магнитном поле. Она равна
dA = M d
= Bpmsinϕ dϕ.
158
(7.10)
Эта работа идет на увеличение потенциальной механической
⋅B⋅
B
tqt
ℓ
энергии dW
, которой обладает контур с током в магнитном поле:
pмех
dA = dW
pмех
,
откуда
dW
= pm⋅B⋅sinϕ⋅dϕ.
pмех
Интегрируя это выражение, получим
W
pмех
= -p
m
cosϕ.
(7.11)
Следовательно, параллельная ориентация векторов магнитного
момента и индукции магнитного поля (ϕ = 0°) отвечает минимуму
потенциальной энергии W
pмех min
= -pmB и положению устойчивого
равновесия контура в магнитном поле
Из выражения (7.11) следует, что потенциальная механическая
энергия, которой обладает контур с током в магнитном поле, равна
скалярному произведению векторов
p
m
и
:
7.4. СИЛА ЛОРЕНЦА
−=
.
BpW
mмехр
(7.12)
Магнитное поле действует не только на проводник с током, но
и на отдельные электрические заряды, движущиеся в поле.
Найдем выражение для силы, действующей на электрический заряд, который движется в магнитном поле. Для этого рассмотрим проводник, по которому течет постоянный ток силой I и который находится в однородном магнитном поле, вектор индукции которого со-
ставляет угол α с направлением тока в проводнике.
Согласно закону Ампера (7.1) на этот проводник действует сила,
равная [1–15]
F = IBℓsinα.
Из формулы (5.6) следует, что
q
I ===
ℓℓ
159
vq
,
где v – скорость движения заряда q. То есть элемент длины провод-
v
B
[
]
ника с током по своим магнитным свойствам эквивалентен заряду q,
движущемуся со скоростью v. Тогда сила, с которой магнитное поле
действует на этот заряд, равна [1–15]
где α – угол между направлением движения заряда (вектором скорости) и вектором индукции магнитного поля. Это выражение впервые
было получено Лоренцем. Поэтому сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, называется [1–15] силой Лоренца.
Вектор силы Лоренца равен произведению заряда на векторное
произведение векторов
Для положительного заряда направление силы определяется пра-
вилом левой руки [1]: если сложенные вместе 4 пальца левой руки
направить по направлению движения заряда, а ладонь расположить так, чтобы линии индукции магнитного поля входили
в нее, то направление силы F будет совпадать с отставленным на
F = qvBsinα,
и
:
BqF
,v=
.
(7.13)
(7.14)
90
°°°°
большим пальцем (рис. 7.6, а).
При движении отрицательного
заряда эта сила направлена в противоположную сторону (рис. 7.6, б).
Сила Лоренца, действующая на
движущуюся частицу со стороны
а)
Рис. 7.6
вестно, что сила, перпендикулярная скорости, не изменяет величины
скорости, а влияет лишь на ее направление. То есть постоянное магнитное поле не меняет кинетической энергии заряженной частицы
и не совершает работы над ней.
Величина силы Лоренца зависит от значения скорости движения
б)
постоянного магнитного поля, всегда перпендикулярна скорости движения частицы. Из механики из-
частицы v, индукции магнитного поля В и синуса угла между ними.
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]