Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
Направление силы F, действующей на положительный заряд q,
2
σ
π
τ
σ
π
5134 .
1 10
′
совпадает с направлением вектора напряженности Е. Из рис. 2.14
следует, что
tg
E
E
1
r
==α
,
τ
откуда
=αrarctg
3,14 0,1 4 10
⋅ ⋅ ⋅
arctg
α
= =
⋅
,
7
−
7
−
Ответ: F = 2,89·10 -4 Н; α = 57°34′.
Пример 2.4. На бесконечном тонкостенном цилиндре с диамет-
ром основания d =10 см равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью σ = 10-6 Кл/м2. Определить электрическую индукцию
поля в точке, отстоящей от поверхности цилиндра на расстояние х =5
см (рис. 2.15).
Дано: СИ Решение:
d =10 см
σ = 10-6 Кл/м2
х = 5 см
0,1 м
0,05 м
Опишем вокруг цилиндра замкну-
тую поверхность в виде цилиндра высотой ℓ и радиусом основания (r + х),
ε = 1
где r = d/2. По определению потока
D = ?
вектора индукции D ND = D S
бок
Линии индукции параллельны основаниям цилиндра и перпенди-
кулярны его боковой поверхности. Тогда имеем
S
=2 π (r + х);
бок
ND = D2π (r + х)ℓ. (2.34)
По теореме Гаусса (2.11)
ND = q.
Здесь q – заряд, охватываемый внешним ци-
линдром.
Рис. 2.15
.
= σ·2π·r·ℓ. (2.35)
N
D
41
Приравнивая (2.34) и (2.35), получим
⋅
σ
⋅
σ
⋅
σ
2 2
Кл м Кл
;
м м м
−
τ
-
8
∫
E
n
n
D2π (r + х) ℓ = σ·2π·r·ℓ;
+
d
.
2
xd
D
=
+
r
=
xr
2
d
=
d
2
+
x
Проверка размерности:
D⋅= =
[ ]
⋅⋅
=D
⋅+
⋅
1,0101
05,021,0
276−
⋅=
.мКл105
Ответ: D = 5·10-7 Кл/м2.
Пример 2.5. Электрическое поле создано тонкой бесконечно
длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью τ =
30 нКл/м. На расстоянии а = 20 см от нити находится плоская круглая
площадка радиусом r = 1 см. Определите поток вектора напряженности через эту площадку, если плоскость ее составляет угол β = 30°
с линией напряженности, проходящей через середину площадки [13].
Дано: СИ Решение:
= 30 нКл/м
а
= 20 см
r = 1 см
3·10
0,2 м
0,01 м
Кл/м
β = 30°
ε = 1
NЕ = ?
где Еn – проекция вектора
на нормаль
Поле, создаваемое бесконечной
равномерно заряженной нитью, является неоднородным. Поток вектора
напряженности в этом случае определяется интегралом (2.10)
=
dSЕN
,
nЕ
S
к поверхности площадки
dS. Интегрирование выполняется по всей поверхности площадки,
которую пронизывают линии напряженности.
Проекция Еn вектора напряженности равна
Е
= Ecosα,
n
где α – угол между направлением вектора и нормалью
42
.
С учетом этого выражение для потока вектора напряженности
cos .
Е dS
E
∫
∫
α
=
0
τ
π
м.
Ф
м
Ф/м
⋅
примет вид
N
=
Е
∫
S
α
Так как размеры поверхности площадки малы по сравнению
с расстоянием до нити (r << a), то электрическое поле в пределах
площадки можно считать практически однородным. Следовательно,
вектор напряженности
очень мало меняется по модулю и направ-
лению в пределах площадки, что позволяет заменить под знаком интеграла значения Е и cosα их средними значениями <E> и <cosα>
и вынести их за знак интеграла:
Е
Выполняя интегрирование, получим
α=α=
.
dSЕdSЕN coscos
SS
Е
cos
SЕN
, где
S = πr2.
Среднее значение напряженности соответствует значению
напряженности поля, создаваемого тонкой бесконечной равномерно
заряженной нитью на расстоянии a от нее (2.24):
Е
=
2πεε
.
а
Среднее значение <cosα> вследствие того, что размеры поверхности площадки малы по сравнению с расстоянием до нити, прибли-
женно соответствует <cosα> = cosα =
cos
2
α−
, где β – угол
β=
sin
между плоскостью площадки и линией напряженности, проходящей
через середину площадки.
С учетом вышесказанного выражение для искомого потока вектора напряженности примет вид
N
2
r
sin
βτπ
=
Е
2
πεε
a
0
=
2
r
sin
βτ
.
a
2
εε
0
Проверка размерности:
[ ]
N
2
мКл/м
⋅
=
Е
=
43
мКл
⋅
В
⋅=
−
N
+
i
Е
28
=
Е
30sin01,0103
⋅⋅⋅
м.мВ424мВ424,0
⋅=⋅=
12
−
2,01085,812
⋅⋅⋅⋅
Ответ: NE = 424 мВ⋅м.
Задачи для самостоятельного решения
2.1. Определить поток NЕ вектора напряженности электрического
поля сквозь замкнутую шаровую поверхность, внутри которой
находятся три точечных заряда q1 = + 2 нКл, q2 = -3 нКл, q3 = +5 нКл.
Система зарядов находится в ваууме [12].
452 В⋅м
2.2. Напряженность электрического поля зависит только от коор-
)(
jyixa
E
динат х и у по закону
=
+
, где а – постоянная,
22
yx
и
j
– орты
осей х и у. Найти поток вектора
через сферу радиуса R с центром
в начале координат [10].
NE = 4πRa
2.3. Электрическое поле создано бесконечной прямой равномерно
заряженной линией (τ = 0,3 мкКл/м). Определить поток ND электри-
ческого смещения через прямоугольную площадку, две большие стороны которой параллельны заряженной линии и одинаково удалены
от нее на расстояние r = 20 см. Стороны площадки имеют размеры
a = 20 см, b = 40 см [13].
20 нКл
2.4. Плоская квадратная пластина со стороной длиной а = 10 см
находится на некотором расстоянии от бесконечной, равномерно за-
ряженной (σ = 1 мкКл/м2) плоскости. Плоскость пластины составляет
угол α = 30° к линиям поля. Найти поток ND электрического смеще-
ния через эту пластинку.
ND = 2,5 нКл
44
2.5. Два точечных заряда q и –q рас-
ℓ
(
)
2
ℓ
положены на расстоянии и 2ℓ друг от
друга. Найти поток вектора напряженно-
R
q
2
q
1
сти электрического поля через круг ради-
Рис. 2.16
усом R (рис. 2.16).
+
22
N
q
=
E
ε
−
1
0
ℓ
R
2.6. Найти число электрических силовых линий, проходящих че-
рез боковую поверхность прямого кругового цилиндра высотой
h = 20 см, имеющего радиус основания r = 10 см, если на его оси на
равных расстояниях от основания находится точечный заряд q =3⋅10-7
Кл. Цилиндр находится в вакууме.
NЕ = 2,4⋅104 В/м
2.7. Шар радиусом R равномерно заряжен с объемной плотностью ρ. Найти поток вектора напряженности электрического поля че-
рез сечение шара, которое образовано плоскостью, отстоящей от центра шара на расстояние r0.
2
=
E
3
ε
0
3
0
2
2
rRrN
−πρ
0
2.8. В центре сферы радиусом R = 20 см находится точечный заряд q = 10 нКл. Определите поток вектора NE напряженности через
часть сферической поверхности площадью S = 20 см2 [13].
4,5 В⋅м
2.9. Фарфоровый шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно
с объемной плотностью ρ = 15 нКл/м3. Определите напряженность
[11] электростатического поля: 1) на расстоянии r1 = 5 см от центра
шара; 2) на поверхности шара; 3) на расстоянии r2 = 15 см от центра
шара. Диэлектрическая проницаемость фарфора ε = 5.
1) Е1 = 5,65 В/м;
2) ER = 11,3 В/м при r ≤ R; ER = 56,5 В/м при r ≥ R;
3) Е
45
= 25,1 В/м
2
2.10. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плот-
ℓ
ℓ
ность которого зависит только от расстояния r до его центра как
ρ = ρ0(1 – r/R), где ρ0 – постоянная [10]. Полагая, что диэлектрическая
проницаемость ε = 1 всюду, найти: а) модуль напряженности электри-
ческого поля внутри и вне шара как функцию r; б) максимальное значение модуля напряженности Em и соответствующее ему значение rm.
а) Е = (ρ0r/3ε0)(1 – 3r/4R) при r ≤ R; Е = ρ0 R3/12ε0r2 при r ≥ R;
б) Еm = ρ0 R/9ε0 при rm = 2R/3
2.11. В вершине конуса с телесным углом ω = 0,5 ср находится
точечный заряд q = 30 нКл. Вычислите поток вектора электрического
смещения через площадку, ограниченную линией пересечения поверхности конуса с любой другой поверхностью.
ND = 1,19 нКл
2.12. Два длинных равномерно заряженных (τ = 1,5 мкКл/м)
стержня расположены перпендикулярно друг другу так, что точка пересечения их осей находится на расстоянии a = 10 см и b = 15 см от
ближайших концов стержней. Найти силу, действующую на заряд
q = 10 нКл, помещенный в точку пересечения осей стержней.
F = 1,08 мН
2.13. Два прямых стержня длиной ℓ1 = 2 см
и ℓ2 = 16 см каждый заряжены с линейной
1
2
плотностью τ = 400 кКл/м. Стержни образуют
прямой угол. Найти напряженность поля в точке А (рис. 2.17).
Рис. 2.17
А
Е = 57,8 кВ/м
2.14. Прямая бесконечная тонкая нить несет равномерно распре-
деленный по длине заряд τ1= 1 мкКл/м. В плоскости, содержащей
нить, перпендикулярно нити находится тонкий стержень длиной ℓ.
Ближайший к нити конец стержня находится на расстоянии ℓ от нее.
46
Определить силу F, действующую на стержень, если он заряжен
с линейной плотностью τ2 = 0,1 мкКл/м.
F = 1,8 мН
2.15. Бесконечная прямая нить несет равномерно распределенный
заряд с линейной плотностью τ1= 1 мкКл/м. Соосно с нитью распо-
ложено тонкое кольцо, заряженное равномерно с линейной плотностью τ2 = 10 нКл/м. Определить силу F, растягивающую кольцо. Вза-
имодействием между отдельными элементами кольца пренебречь.
F = 1,13 мН
2.16. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном
прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно за-
ряженным с поверхностной плотностью σ = 0,2 нКл/см2. Определить
силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра
равно ℓ = 10 см.
F = 565 мкН
2.17. Две длинные прямые параллельные нити находятся на расстоянии d = 10 см друг от друга. На нитях равномерно распределены заря-
ды с линейными плотностями τ1= -2 нКл/см и τ2= 4 нКл/см. Определить
напряженность электрического поля в точке, удаленной от первой нити
на расстояние r1 = 6 см и от второй на расстояние r2 = 8 см.
Е = 108 кВ/м
2.18. На отрезке тонкого прямого проводника длиной 10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = (1/3)⋅10-5 Кл/м.
Вычислить напряженность, создаваемую этим зарядов в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка. Диэлектрик – воздух.
Е = 1,5⋅105 В/м
2.19. Длинная прямая тонкая проволока несет равномерно распределенный заряд. Вычислить линейную плотность τ заряда, если
напряженность поля на расстоянии r = 0,5 м от проволоки против ее
середины Е = 2 В/см.
τ = 5,5 нКл/м
47
2.20. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном
τ
бесконечно длинным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью σ = 0,2 нКл/см2. Определить
силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра
равно 10 см.
F = 565 мкН
2.21. На бесконечном тонкостенном цилиндре диаметром d = 10
см равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью σ = 1
мкКл/м2. Определить напряженность поля в точке, отстоящей от поверхности цилиндра на расстояние а = 5 см.
E = 5,65⋅104 В/м
2.22. Электрическое поле создано зарядом тонкого
равномерно заряженного стержня [5], изогнутого по
трем сторонам квадрата (рис. 2.18). Длина стороны
А
квадрата а = 20 см. Линейная плотность зарядов τ = 500
нКл/м. Вычислить напряженность поля Е в точке А.
Е
= 60,2 кВ/м
А
а
Рис. 2.18
а/2
2.23. Тонкое кольцо радиусом R = 8 см несет заряд,
равномерно распределенный с линейной плотностью τ= 10 нКл/м.
Какова напряженность электрического поля в точке, равноудаленной
от всех точек кольца на расстояние r = 10 см?
Е = 2,71 кВ/м
2.24. Электрическое поле создано двумя параллельными пластинами, несущими равномерно распределенный заряд с поверхностны-
ми плотностями σ1 = 2 нКл/м2 и σ2 = -5 нКл/м2. Определить напряженность поля: а) между пластинами; б) вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.
а) E = 355 В/м; б) Е = 170 В/м
2.25. Параллельно бесконечной пластине, несущей заряд, равномерно распределенный по площади с поверхностной плотностью σ =
2
20 нКл/м
, расположена тонкая нить с равномерно распределенным
48
по длине зарядом (τ= 0,4 нКл/м). Определить силу F, действующую
на отрезок нити длиной ℓ = 1 м.
F/ℓ = 452 нН/м
2.26. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами R1 = 6 см и R2 = 10 см несут соответственно заряды q1 = 1
нКл и q2 = -0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках [13], отстоящих от центра сфер на расстояния: а) r = 5 см; б) r = 9 см; в) r =
15 см. Построить графики зависимости Е(r).
Е
= 0; Е2 = 1,11 кВ/м; Е3 = 200 В/м
1
2.27. Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью σ = 1 нКл/м2. Найти напряженность Е электрического поля в геометрическом центре полусферы [13].
Е = 28,3 В/м
2.28. Полый стеклянный шар несет равномерно распределенный
по объему заряд. Его объемная плотность ρ = 100 нКл/м3. Внутренний радиус R1 шара равен 5 см, наружный R2 = 10 см. Вычислить
напряженность Е и смещение D электрического поля в точках, отстоящих от центра сферы на расстояние: 1) r1 = 3 см; 2) r2 = 6 см;
3) r3 = 12 см.
1) Е = 0, D = 0; 2) Е = 13,6 В/м, D = 843 пКл/м2;
3) Е = 229 В/м, D = 2,02 нКл/м2
2.29. Металлический шар радиусом 2 см окружен сферической
металлической оболочкой радиусом 4 см, концентрической с шаром.
На шаре находится заряд q1 = 2⋅10-8 Кл, на оболочке – заряд q2= -4⋅10-8
Кл. Определить напряженность поля на расстоянии: а) 3 см; б) 5 см от
центра шара.
а) Е = 2⋅105 В/м; б) Е = -7,2⋅104 В/м
2.30. Пространственный заряд 10-7 Кл равномерно распределен
по объему в форме шара радиусом R = 5 см. Рассчитать напряженность поля, созданного зарядом в вакууме в точках, отстоящих от
центра шара на расстояние 10 см и 2 см.
= 9⋅104 В/м; Е2 = 1,4⋅105 В/м
Е
1
49
ТЕМА 3. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
0
′
()(
)
ℓℓ
(
)
∧
ℓ
ℓ
0
Рис. 3.1
3.1. РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Пусть точечный заряд q′ > 0 перемещается под действием элек-
тростатических сил в поле точечного заряда q > 0.
Для самого общего случая докажем,
что величина работы по перемещению заряда q′ в электростатическом поле зависит
лишь от его начального и конечного положений и не зависит от пути движения.
Пусть 1–2 – траектория движения заряда q′ (рис. 3.1).
Выделим бесконечно малый участок
этой траектории dℓ. При перемещении за-
ряда q′ на отрезке dℓ на него действует сила
F
=
qq
4 r
εεπ
2
и совершается элементарная работа
qq
Так как
'
ℓ dFd
cos
cos
dFdFdA
=⋅⋅= cos
πεε
4
drdFd =⋅
0
, то
2
r
'
dA ⋅
=
πεε
4
qq
r
⋅⋅
dr
2
∧∧
ℓ
.
.
Для нахождения полной работы проинтегрируем это выражение:
2
12
dAA
1
r
2
==
4
r
1
=
A
′
qq
dr
2
rπεε
0
′
qq
εεπ
4 rr
=
−
4
πεε
11
r
2
′
qq
0
dr
;
∫∫∫
4
r
1
2
rπεε
0
;
210
(3.1)
=
A
′
qkq
ε
50
−
11
,
rr
21
(3.2)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]