Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
или
dt
IRU−ε=
dIRdU⋅−
=
R
dtdUR
LRU
L
ε
−
ε
ε
R
dI
L −ε=
IR
.
Правая часть этого выражения есть напряжение U:
.
Поскольку ε и R – величины постоянные, то
dU
dI −=
.
С учетом всего этого выражение (8.18) можно записать в виде
L
,
U
=−
или
dU
−=
dt
.
Проинтегрируем это выражение:
−ε
dU
U
ε
tIR
R
L
dt
;
−=
∫∫
0
(8.18)
, откуда
RIR
t
R
− t
L
=
−
−=
−
е
е
R
L
R
− t
L
.
t
,
.
. (8.19)
ln
После потенцирования
IR
−ε
или
ε
=
I 1
Обозначив
Iε=
0
, получим
0
Выражение (8.19) есть закон изменения тока при
R
−=
еII 1
замыкании цепи [1–5]. График зависимости силы тока от времени, соответствующий выражению (8.19),
изображен на рис. 8.7.
191
Рис. 8.7
Итак, при замыкании цепи ток не достигает мгновенно макси-
2
мального значения, а нарастает по экспоненциальному закону вследствие существования ЭДС самоиндукции.
8.6. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Рассмотрим произвольный контур с индуктивностью L. В отсутствие тока в окружающем пространстве нет магнитного поля, и магнитный поток, сцепленный с контуром, равен нулю.
Когда по контуру течет ток I, то с контуром сцеплен магнитный
поток:
Ф = LI.
При изменении тока на dI магнитный поток меняется на величину
dФ = L⋅ dI.
Для изменения магнитного потока на dФ необходимо совершить
работу
dA = I⋅ dФ.
Эта работа идет на увеличение запаса энергии W контура с током
dA = dW.
Таким образом, при возрастании тока в контуре на dI энергия
контура увеличивается на
⋅
dI.
В отсутствие тока I, т. е. при I = 0, энергия контура равна нулю.
При увеличении тока до некоторого окончательного значения I
энергия контура с током становится равной
=WdWW
;
∫
0
I
dILIW
∫
0
=⋅=
LI
2
.
2
Таким образом, контур с током обладает запасом энергии [1–15]
W =
LI
192
2
.
(8.20)
Выражение (8.20) принято называть собственной энергией тока
n
2
n
2
2
2
0
в контуре с индуктивностью L.
Увеличение тока в проводнике вызывает соответствующее усиление
его магнитного поля. Поэтому естественно предположить, что собственная энергия тока есть не что иное, как энергия магнитного поля.
Выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само поле. В случае бесконечно длинного соленоида индуктивность в соответствии с (8.15) равна
L = µµ0n2V.
Напряженность магнитного поля соленоида согласно (6.23) равна
Н = nI.
Отсюда
Н
I =
.
Подставив в (8.20) данное выражение и формулу (8.15) для энергии магнитного поля, получим
22
VHn
Wµµ=
Wµµ=
0
2
0
;
2
VH
.
(8.21)
Магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно
и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия
магнитного поля соленоида распределена по его объему с постоянной
плотностью, которую можно получить, разделив энергию на объем.
Тогда объемная плотность энергии будет равна [1]
wµµ=
2
H
0
,
(8.22)
или, учитывая, что B = µµ0H, получим
ВH
w=
=
w
В
2
2µµ
193
;
(8.23)
.
(8.24)
Если магнитное поле неоднородно, то для нахождения энергии
dt
ε
dt
,
cos
Ф
β
=
BS
В
магнитного поля, заключенной в некотором объеме, нужно вычислить интеграл [1]
2
H
µµ
dVwW
=⋅=
0
∫∫
2
VV
dV
.
Примеры решения задач
Пример 8.1. Короткая катушка, содержащая N = 1000 витков, рав-
номерно вращается с частотой n = 10 с-1 относительно оси, лежащей в
плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля индукции В = 0,04 Тл. Площадь катушки S = 100 см2. Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени,
когда плоскость катушки составляет угол α = 60° с линией поля.
Дано: СИ Решение:
N = 1000
n = 10 с-1
В = 0,04 Тл
S = 100 см2
α = 60°
= ?
i
10-2 м
Мгновенное значение ЭДС индукции,
возникающей в одном витке, определяется
уравнением (8.7) электромагнитной индук-
2
ции Фарадея – Ленца:
dФ
−=ε
1
.
Мгновенное значение ЭДС, возникающей в катушке из N витков,
равно
dФ
N
−=ε
i
Магнитный поток Ф согласно (8.2) равен
где β – угол между вектором
и перпендикуляром к поверхности
.
витка. При вращении катушки этот угол меняется с течением времени
по закону
β = ωt,
где ω – угловая скорость вращения катушки, равная
ω = 2πn.
194
Тогда мгновенное значение ЭДС
(
)
dt
π⋅⋅
с
м
⋅
ε
ntSBd
)2cos(
N
−=ε
i
;
εi = 2πnNBSsin(2πnt);
εi = 2πnNBSsinβ.
Угол β – это угол между перпендикуляром к поверхности контура
и вектором магнитной индукции. Его можно связать с углом α между
вектором индукции магнитного поля и поверхностью контура как
β = 90°– α.
Тогда
εi = 2πnNBSsin(90° – α) = 2πnNBScosα.
Проверка размерности:
2
мсВ
[ ]
i
−
21
мТлс
=⋅⋅=ε
⋅⋅
В.
2
=
Вычисления:
εi = 2⋅3,14⋅10⋅1000⋅0,04⋅0,01⋅cos60° = 25,1 В.
Ответ: εi = 25,1 В.
Пример 8.2. Проводник длиной ℓ = 1,5 м перемещается в магнит-
ном поле индукции B = 0,2 Тл со скоростью v = 3 м/с. Найти ЭДС индукции в проводнике, если линии магнитного поля перпендикулярны
длине проводника и направлению его движения.
Дано: СИ Решение:
ℓ = 1,5 м
В проводнике длины ℓ, движущемся со
B = 0,2 Тл
v = 3 м/с
= ?
i
скоростью v в магнитном поле, возникает
ЭДС индукции, величина которой в соответствии с (8.10) равна
εi = vBℓsinα.
По условию задачи угол α между направлением движения проводника и вектором индукции магнитного поля равен 90°. Тогда
sinα = 1 и
= vBℓ.
ε
i
195
Проверка размерности:
с
м
с
⋅
2
ϕ
212
dt
dtBdt
dt
ϕ
2
dt
2
[ ]
i
м
мТл
=⋅⋅=ε
мсВ
⋅⋅
2
=
В.
Вычисления:
εi = 3⋅0,2⋅1,5 = 0,9 В.
Ответ: εi = 0,9 В.
Пример 8.3. Металлический диск, расположенный нормально
к линиям магнитной индукции, может вращаться в магнитном поле
вокруг оси, проходящей через его центр. Определить величину тока
в замкнутой цепи, если известны радиус диска r = 0,2 м, индукция
магнитного поля B = 15 мТл, угловая скорость вращения диска ω = 10
рад/с. Сопротивление цепи R = 0,3 Ом.
Дано: СИ Решение:
r = 0,2 м
B = 15 мТл
ω = 10 рад/с
R = 0,3 Ом
I = ?
15⋅10-3 Тл
Из формального применения закона
электромагнитной индукции следует, что
индукционный ток должен отсутствовать.
На самом деле следует принять во внимание
смещение в каждый момент времени радиуса диска, который замыкает цепь между
точками А и В (рис. 8.8).
При повороте диска на угол dϕ радиус описывает площадь
1
2
ϕ⋅= drdS
,
поэтому будет изменяться поток индукции, пронизывающий эту
площадку:
d
1Ф
==
Br
d
Br
22
ω=
,
d
так как
Согласно закону электромагнитной индукции
=ω
– угловая скорость.
dФ
i
1
Br
2
ω==ε
,
196
Рис. 8.8
а сила тока равна
RBrR
2
Ом
смОм
с
Ом
⋅
⋅
А.
−
∆I/∆
t
∆
∆
ε
Гн.
А
⋅
мГн.
ε
=
i
=
I
2
ω
.
Проверка размерности:
[ ]
22
мТл
=I
⋅
=⋅
⋅
мсВ
⋅⋅
2
В
А.
==
Вычисления:
23
102,01015
⋅⋅⋅
01,0
=
I
3,02
⋅
=
Ответ: I = 0,01 А.
Пример 8.4. При скорости изменения силы тока ∆I/∆t в соленои-
де, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндукции
εс = 0,08 В. Определить индуктивность L соленоида [13].
Дано: СИ Решение:
t = 50 А/с
εс = 0,08 В
L = ?
самоиндукции и скоростью изменения силы
тока в его обмотке соотношением
Индуктивность соленоида связана с ЭДС
I
L
−=ε
с
.
Опустим знак минус (направление индукционного тока в данном
случае несущественно) и выразим искомую величину – индуктивность:
с
.
L
=
tI
∆∆
Проверка размерности:
сВ
Вычисления:
[ ]
=L
=
L
Ответ: L = 1,6 мГн.
08,0
197
3
−
6,1Гн106,1
=⋅==
Пример 8.5. Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой
-
4
2
ℓ
d
d
d
ℓℓℓ
из проволоки диаметром d = 0,5 мм имеет длину ℓ = 0,4 м и поперечное сечение S = 50 см2. Какой ток течет по обмотке при напряжении
U = 10 В, если за время t = 0,5 мс в обмотке выделяется количество
теплоты, равное энергии поля внутри соленоида? Поле считайте однородным.
Дано: СИ Решение:
d = 0,5 мм
S = 50 см
2
U = 10 В
t = 0,5 мс
ℓ = 0,4 м
5⋅10
м
5⋅10-3 м2
5⋅10-3 с
при прохождении электрического тока через
проводник в нем выделяется количество теплоты, равное
Согласно закону Джоуля – Ленца (5.29),
Q = IUt.
По условию задачи это количество теп-
Q = W
лоты равно энергии поля внутри соленоида:
I = ?
Q = W.
Согласно формуле (8.20) энергия магнитного поля равна
2
LI
W =
,
где L – индуктивность соленоида. Из выражения (8.15) для индук-
тивности соленоида без сердечника (µ = 1) можно записать
L = µ0n2V,
где V = Sℓ – объем области внутри соленоида, а
n =
N
– число витков
на единицу длины соленоида. Если исходить из того, что витки намотаны вплотную друг к другу, то число витков можно рассчитать, разделив длину соленоида на толщину одного витка:
Nℓ=
.
Тогда
N
n
1
===
198
и выражение для индуктивности соленоида принимает вид
d
d
ℓ
µ
2
d
ℓ
d
2
ℓ
ℓ
с
В
Гн
ммГн
⋅
⋅
−
−
1
L
S
0
ℓ
2
S
0
=µ=
.
2
С учетом всего этого для энергии магнитного поля внутри соленоида получим
2
W
µ
=
IS
0
.
2
Пользуясь условием задачи, согласно которому энергия поля
внутри соленоида равна количеству теплоты, которое выделяется
в его обмотке, приравняем правые части полученного выражения для
энергии магнитного поля и записанного выше выражения для количества теплоты:
2
µ
IS
0
=
2
IUt
.
Отсюда
2
Utd
2
I
=
µ
0
.
S
Проверка размерности:
[ ]
2
=I
мсВм
⋅⋅⋅
2
=
сВ
⋅
=
АсВ
⋅⋅
=
А.
⋅
Вычисления:
48
1051010252
⋅⋅⋅⋅⋅
=
I
37
−−
4,01051014,34
⋅⋅⋅⋅⋅
==
мА.995А995,0
Ответ: I = 995 мА.
Задачи для самостоятельного решения
8.1. В однородном магнитном поле, индукция которого равна
В = 0,1 Тл, движется проводник длиной 10 см. Скорость проводника
15 м/с и направлена перпендикулярно магнитному полю. Чему равна
индуцированная в проводнике ЭДС?
ε = 0,15 В
199
8.2. Скорость самолета с реактивным двигателем равна 950 км/ч.
Найти значение вертикальной составляющей напряженности магнитного поля Земли, если на концах крыльев самолета возникает при
этом движении разность потенциалов, равная 165 мВ. Размах крыльев
самолета 12,5 м.
Н
= 40 А/м
верт.
8.3. По горизонтальным рельсам, расположенным в вертикальном
магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл, скользит проводник длиной
1 м с постоянной скоростью 10 м/с. Концы рельсов замкнуты на сопротивление R = 2 Ом. Определить, какое количество тепла выделяется в
сопротивлении за 1 с. Сопротивлением рельса и проводника пренебречь
Q = 0,005 Дж
8.4. В однородном магнитном поле индукции В = 0,01 Тл расположены вертикально на расстоянии ℓ = 50 см два металлических пру-
та, замкнутых наверху. Плоскость, в которой они лежат, перпендикулярна направлению магнитного поля. По прутьям без трения скользит
вниз перемычка массой т = 1 г со скоростью v = 1 м/с. Определить
электрическое сопротивление перемычки (сопротивлением остальной
части системы пренебречь).
R = 2,55·10-3 Ом
8.5. Подвижная перемычка длиной 40 см скользит без трения
в магнитном поле по направляющим рельсам, замкнутым на проводник с сопротивлением R1 = 10 Ом. Магнитное поле перпендикулярно
плоскости, в которой лежат рельсы. Скорость движения перемычки
5 м/с. Определить величину мощности, которая выделяется на сопротивлении R1, если индукция магнитного поля 0,3 Тл. Сопротивление
подвижного участка цепи АВ равно 2 Ом.
Р = 0,025 Вт
8.6. Длина подвижного участка проводника АВ равна 0,5 м. Его
сопротивление равно 0,1 Ом, сопротивление неподвижного проводника, по которому скользит проводник АВ, пренебрежимо мало. Пер-
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]