Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
Вычисления:
α
π
m
m
π=α2
2hRm
π
π
27
−
5001067,12
⋅⋅⋅
19
−
=
м.61,1
R
=
1
⋅
3
−
102
⋅
106,1
⋅
Ответ: R = 1,61 м.
Пример 7.5. Электрон движется в однородном магнитном поле,
индукция которого В = 10 мТл, по винтовой линии радиусом R = 1 см
и шагом винта h = 6 см. Определить период Т и скорость v электрона.
Дано: СИ Решение:
В = 10 мТл
R = 1 см
h = 6 см
q = 1,6⋅10
m = 9,1⋅10
-19
-31
Т = ?
v = ?
Кл
кг
0,01 Тл
0,01 м
0,06 м
Радиус витка спирали согласно фор-
муле (7.17) равен
m
Rα=
sinv
qB
.
Для шага винтовой линии из формулы
(7.19) следует, что
m
h
=
cos2 v
qB
.
В этих формулах α – угол между направлением движения частицы и индукцией магнитного поля; q – заряд электрона; m – его масса.
Из первой формулы
qBR
=αsinv
а из второй
,
qBh
cosv
Полная скорость электрона равна
( )
2
vvv
2
)cos(sin
=α+α=
qB
( )
=
2
2
qB
171
m
=v
Период обращения частицы согласно выражению (7.18) равен
Т
2
.
.
qBR
+π
m
π
m
22
;
qBh
+
2
2
.
Проверка размерности:
с
с
кг
кгНсА
кг
мАкг
кг
⋅
⋅
⋅=⋅
⋅
⋅
⋅=⋅⋅
мкгс
Н
с
НсА
Н
Кл
Тл
Кл
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
[ ]
ТлКл
=v
м
2
кг
[ ]
=Т
=
Вычисления:
м
НКл
м
=⋅
⋅⋅
мАкг
⋅⋅
=
⋅⋅
НсА
=
⋅
мАкг
=
мкг
⋅
=
мкгс
;
=
2
2
смкг
⋅⋅
=
с.
v
19
=
01,0106,1
⋅⋅
( )
31
−
101,914,32
⋅⋅⋅
101,914,32
⋅⋅⋅
=Т
19
−
01,0106,1
⋅⋅
31
2
9
−
⋅=
с.1057,3
72
м/с;1046,206,001,014,32
⋅=+⋅⋅
Ответ: v = 2,46⋅107 м/с; Т = 3,57⋅10-9 с.
Задачи для самостоятельного решения
7.1. Два прямолинейных длинных параллельных проводника
находятся на расстоянии 10 см друг от друга. По проводникам течет
ток в одном направлении I1 = 20 А и I2 = 30 А. Какую работу надо совершить (на единицу длины проводника), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния 20 см?
А
= 8,3 10-5 Дж/м
ℓ
7.2. Короткая катушка площадью поперечного сечения S = 250 см2
содержит 500 витков провода, по которому течет ток I = 5 А. Катушка
помещается в однородное магнитное поле напряженностью
Н = 1000А/м. Найти: а) магнитный момент катушки рm; б) вращающий момент М, действующий на катушку, если ось катушки составляет угол φ = 30° с линиями поля.
р
= 62,5А м2 ; М = 3,9 10-2 Н⋅м
m
7.3. По витку радиусом R = 10 см течет ток силой I = 50 А. Виток
помещен в однородное магнитное поле индукцией В = 0,2 Тл. Определить момент силы, действующей на виток, если плоскость витка
составляет угол φ = 60° с линиями индукции.
М = 0,157 Н⋅м
172
7.4. Квадратичная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны
проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи силой I = 200 А.
Определить силу F, действующую на рамку, если ближайшая к проводу
сторона рамки находится от нее на расстоянии, равном ее длине.
F = 4 10- 3 Н
7.5. Шины генератора длиной ℓ = 4 м находятся на расстоянии
d = 10 см друг от друга. Найти силу взаимного отталкивания шин при
коротком замыкании, если ток короткого замыкания равен 5 кА.
F = 200 H
7.6. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл движется равномерно проводник длиной ℓ = 10 см. По проводнику течет
ток силой I = 2 А. Скорость движения проводника 20 м/с и направлена перпендикулярно линиям индукции. Найти работу перемещения
проводника за время t = 10 с.
А = 20 Дж
7.7. В однородном магнитном поле с индукцией В = 2 Тл, направленной под углом 30° к вертикали, вертикально вверх движется пря-
мой проводник массой т = 2 кг, по которому течет ток силой I = 4 А.
Через время t = 3 с после начала движения проводник имеет скорость
v = 1,0 м/с. Определить длину проводника.
ℓ = 6,55 м
7.8. В однородном горизонтальном магнитном поле находится
прямой проводник длиной ℓ = 9 см и массой т = 100 г, расположен-
ный горизонтально и перпендикулярно полю. Определить индукцию
магнитного поля, если в результате действия магнитного поля проводник «висит» неподвижно в воздухе. Сила тока I = 10 А.
В = 0,1 Тл
7.9. В вертикальном однородном поле с индукцией В = 0,1 Тл горизонтально подвешен проводник длиной ℓ = 1 м и массой т = 0,1 кг.
173
Какое ускорение получит проводник, если по нему пропускается ток
силой I = 20 А?
а = 20 м/с
7.10. Прямой проводник длиной ℓ = 0,2 м и массой т = 5 г подвешен горизонтально на двух нитях в горизонтальном однородном
магнитном поле перпендикулярно индукции магнитного поля. Определить силу натяжения нитей, если индукция поля В =10-2 Тл, а сила
тока I = 10 А.
F = 3,5⋅10
-2
Н
7.11. Плоский квадратный контур со стороной a = 10 см, по которому течет ток силой I = 100 А, свободно установился в однородном
магнитное поле индукции В = 1 Тл. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол 90°.
А = 1 Дж
7.12. Найти отношение силы кулоновского отталкивания к силе
амперовского притяжения двух параллельных пучков электронов,
прошедших ускоряющую разность потенциалов U = 10 кВ.
FK/FA = 25
7.13. Прямой провод длиной d = 40 см, по которому течет ток силой I = 100 А, движется в однородном магнитном поле с индукцией В =
0,5 Тл. Какую работу совершат силы, действующие на провод
со стороны поля, переместив его на расстояние ℓ = 40 см, если направление перемещения перпендикулярно линиям индукции и проводу?
А = 8 Дж
7.14. Виток диаметром d = 10 см может вращаться около вертикальной оси, совпадающей с одним из диаметров витка. Виток установили в плоскости магнитного меридиана и пустили по нему ток силой I = 40 А. Какой вращательный момент М нужно приложить
к витку, чтобы удержать его в начальном положении? Горизонтальную составляющую индукции магнитного поля Земли принять равной 200 мкТл.
-5
М = 6,28 10
174
Н⋅м
7.15. В электронном микроскопе пучок электронов ускоряется разностью потенциалов U = 100 кВ. Определить, во сколько раз силы кулоновского отталкивания превышают силы магнитного взаимодействия.
FK/FA = 2,5
7.16. Найти отношение q/m для заряженной частицы, если она
влетает со скоростью v = 108 см/с в однородное магнитное поле
напряженностью Н = 2·10 5 А/м и движется по дуге окружности радиусом R = 8,3 см. Направление скорости движения частицы перпендикулярно направлению магнитного поля.
q/m = 9,56 107 Кл/кг
7.17. Серпуховский ускоритель протонов ускоряет эти частицы
до кинетической энергии 7,6·1010 эВ. Ускоренные протоны движутся
по окружности радиусом R = 236 м и удерживаются на ней магнитным полем, перпендикулярным плоскости орбиты. Найти величину
магнитной индукции.
В = 0,17 Тл
7.18. Электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Скорость электрона v = 4·107 м/с. Индукция магнитного поля равна В = 1·10-3 Тл. Чему равны тангенциальное
и нормальное ускорения электрона в магнитном поле?
aτ = 0; an = 7⋅1015 м/с2
7.19. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,01 Тл. Определить момент импульса, которым обладала частица при движении в магнитном поле, если радиус траектории частицы равен R = 0,5 мм.
L = 4⋅10
-28
кг⋅м2/с
7.20. Заряженная частица с кинетической энергией 2 кэВ движется
в однородном магнитном поле по окружности радиусом R = 4 мм.
Определить силу Лоренца, действующую на частицу со стороны поля.
F = 1,6 10
175
-13
H
7.21. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 300 В, движется параллельно прямолинейному длинному проводу на расстоянии 4 мм от него. Какая сила подействует на электрон, если по проводнику пустить ток силой 5 А?
F = 4·10
-l6
H
7.22. Электрон движется в магнитном поле с индукцией
В = 4 мТл по окружности радиусом R = 0,8 см. Какова кинетическая
энергия электрона?
Е
= 1,4·10
к
-17
Дж
7.23. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 6 кВ,
влетает в однородное магнитное поле под утлом α =30° к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Найти: а) радиус витка
спирали; б) шаг спирали. Индукция магнитного поля В = 1,3·10-2 Тл.
R = 1⋅10-2 м; h = 11 10-2 м
7.24. С какой силой действует постоянный электрический ток силой I1 = 10 А, проходящий по прямолинейному длинному проводнику, на контур из провода, изогнутого в форме квадрата? Проводник
расположен в плоскости контура параллельно двум его сторонам.
Длина стороны контура ℓ = 40 см, расстояние от прямолинейного
проводника с током до ближайшей стороны контура а = 2 см. Сила
тока в контуре I2 = 2,5 А.
F = 9,52⋅10-5 H
7.25. Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории протона R1 больше радиуса кривизны траектории электрона R2?
R1/R2 = 42,9
7.26. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 3 кВ, влетает в магнитное поле соленоида под углом 30° к его оси. Число ампер-
витков соленоида равно 5000. Длина соленоида ℓ = 25 см. Найти шаг
винтовой траектории электрона в магнитном поле соленоида.
-2
h = 4·10
176
м
7.27. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов
U = 300 В и, влетев в однородное магнитное поле (В = const), стала
двигаться по винтовой линии с шагом h = 4 см и радиусом R = 1 см.
Определить магнитную индукцию поля.
В = 0,3 Тл
7.28. Магнитное поле напряженностью Н = 8·103 А/м и электрическое поле напряженностью Е = 10 В/см направлены одинаково.
Электрон влетает в такое электромагнитное поле со скоростью v = 10
м/с. Найти нормальное, тангенциальное и полное ускорения электрона, если скорость электрона направлена параллельно силовым линям.
an = 0; aτ = a = 1,76·1014 м/с2
7.29. Магнитное поле, индукция которого В = 5⋅10
- 4
Тл, направ-
лено перпендикулярно электрическому полю, напряженность которого Е = 10 В/см. Пучок электронов, летящих с некоторой скоростью,
влетает в это пространство так, что скорость электрона перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы Е и В. Найти скорости
электронов, если пучок электронов не испытывает отклонения. Определить радиус кривизны R траектории электронов при включении одного магнитного поля.
v = 2·106 м/с; R = 2,3·10-2 м/с
7.30. Однородное магнитное (В = 2,5 Тл) и электрическое
(E = 10 кВ/м) поля скрещены под прямым утлом. Электрон, скорость
которого равна 4·106 м/с, влетает в эти поля так, что силы, действующие на него, сонаправлены. Определить ускорение электрона.
a = 3,5·1015 м/с
177
ТЕМА 8. ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ.
В
n
В
n
∧
n
,
cos
Ф
β
=
BS
В
ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
8.1. МАГНИТНЫЙ ПОТОК.
ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО – ГАУССА
Магнитным потоком dФ сквозь малую площадку dS называется
[1–15] физическая величина, равная произведению величины этой
площадки на проекцию вектора магнитной индукции
ние нормали (перпендикуляра)
dФ = BndS = B⋅ dS⋅ cosβ,
где β – угол между векторами
к площадке dS:
и
(
∠=β
nB
). Фактически магнит-
ный поток численно равен
числу линий вектора магнитной индукции, пересекающих
данную поверхность.
Магнитный поток являет-
ся скалярной физической ве-
а)
личиной. Считая положительной стороной площадки ту, из
которой выходит вектор
(рис. 8.1, а), мы видим, что если линии
Рис. 8.1
на направле-
(8.1)
б)
индукции выходят из этой площадки, то угол β – острый, сosβ > 0
и магнитный поток положительный. В противном случае, когда линии индукции входят в положительную сторону площадки (рис. 8.1,
б), угол β – тупой и магнитный поток отрицательный.
Для однородного магнитного поля и плоской поверхности маг-
нитный поток равен [1]
где β – угол между вектором
и перпендикуляром к поверхности
(8.2)
площадью S.
Если вектор магнитной индукции перпендикулярен площади
контура, то магнитный поток будет равен
Ф = ВS.
178
Отсюда единицы измерения магнитного потока:
м
∫
∫
∫
2
[Ф] = Тл м2 =
мсВ ⋅⋅
= В с = Вб (вебер).
2
За единицу магнитного потока принимается магнитный поток
сквозь плоскую поверхность единичной площадки, расположенной
перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого
равна единице.
Для вычисления магнитного потока, пронизывающего произвольную поверхность в неоднородном магнитном поле, следует эту
поверхность мысленно разбить на бесконечно малые площадки dS.
Эти площадки можно считать плоскими, а поле возле них – однородным. Для каждой из этих площадок элементарный магнитный поток
dФ считается по формуле (8.1). А полный магнитный поток через всю
поверхность равен алгебраической сумме элементарных потоков, т. е.
представляет собой интеграл по поверхности S:
n
SS
.
⋅β⋅==
dSBdSB cosФ
(8.3)
Определим магнитный поток через замкнутую поверхность. Потоку, выходящему из поверхности, припишем положительный знак,
а входящему – отрицательный (рис. 8.2).
Поскольку линии магнитной индукции не имеют источников и являются замкнутыми, то число линий, входящих с одной стороны поверхности, в
точности равно числу линий, выходящих с другой. То есть поток, входящий
Рис. 8.2
в замкнутую поверхность, по модулю
равен выходящему из этой поверхности магнитному потоку. А их
сумма равна нулю. Таким образом, магнитный поток через любую
замкнутую поверхность равен нулю:
dSB
n
S
179
.
0=
(8.4)
Данное утверждение называется [1–5] теоремой Остроградско-
В
∧
го – Гаусса для вектора магнитной индукции, а формула (8.4) является ее математической формой записи.
8.2. РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ПРОВОДНИКА
С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Поместим проводник с током в магнитное поле (рис. 8.3). Со-
гласно закону Ампера на проводник с током в магнитном поле будет
действовать сила, равная (7.2)
dF = I⋅B⋅dℓ⋅sinα,
где α – угол между вектором магнитной
Рис. 8.3
индукции
воднике (вектором плотности тока
т. е.
Если проводник не закреплен, то под
и направлением тока в про-
∠=α
jB
.
j
),
влиянием этих сил он будет перемещаться в направлении действия
силы. Работа, совершаемая при этом, равна произведению силы на
величину перемещения:
dA = dF⋅dx.
Подставляя в эту формулу выражение для силы Ампера, получим
dA = I⋅B⋅dℓ⋅dx⋅sinα.
Так как dℓ перпендикулярен dx, то dℓ ⋅ dx = dS – площадь поверх-
ности, описанной элементом проводника dℓ при его перемещении на
расстояние dx.
Из рис. 8.3 видно, что
sinα = sin(90°-β) = cosβ.
Поэтому
dA = I⋅B⋅dS⋅cosβ.
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]