Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
Согласно выражению (8.1), произведение B⋅ dS ⋅ cosβ – это маг-
121
нитный поток dФ сквозь поверхность dS. Поэтому выражение для работы по перемещению проводника с током в магнитном поле можно
записать как
dA = I ⋅ dФ.
(8.5)
Интегрируя это выражение и полагая силу тока постоянной, по-
лучим
2
12
=⋅=
A12= I(Ф2 – Ф1),
,
dФIdФIA
∫∫
(8.6)
т. е. работа, совершенная силами Ампера при перемещении в магнитном поле проводника, по которому течет постоянный ток, равна [1–
15] произведению силы тока на величину магнитного потока сквозь
поверхность, которую описывает проводник при своем движении.
8.3. ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ.
ЗАКОН ФАРАДЕЯ И ЛЕНЦА
В 1831 г. Фарадей открыл [1–5], что во всяком замкнутом про-
водящем контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром, возникает электрический ток. Это явление называют электромагнитной индук-
цией, а возникающий ток – индукционным током.
Основные опыты Фарадея заключаются в следующем.
1-й опыт. Концы катушки присоединяются к гальванометру, за-
тем внутрь достаточно быстро вставляется постоянный магнит.
В момент вдвигания магнита, а затем в момент его выдвигания
наблюдается отброс стрелки гальванометра. Направления отклонения
стрелки при вдвигании и выдвигании магнита противоположны. Отброс стрелки тем больше, чем быстрее двигается магнит.
2-й опыт. Одна катушка помещается внутри другой. Концы одной из катушек присоединяются к гальванометру. Через вторую катушку пропускается ток. В момент включения или выключения тока,
181
уменьшения или увеличения тока с помощью реостата или при пере-
dt
мещении катушек друг относительно друга наблюдается отброс
стрелки гальванометра.
При включении тока, его увеличении или сближении катушек
стрелка отклоняется в одну сторону; при выключении, уменьшении
его или удалении катушек стрелка отклоняется в другую сторону.
3-й опыт. Катушка изготавливается из нескольких витков мягкой
проволоки. Снимая или растягивая катушку, можно изменить ее
площадь. Если внутрь катушки поместить магнит, а концы катушки
присоединить к гальванометру, то при сжатии или растяжении катушки гальванометр покажет наличие токов противоположных
направлений.
На основании этих опытов Фарадей пришел к выводу, что при
всяком изменении магнитного потока, пересекающего проводник,
в последнем возникает индукционный ток.
Согласно закону Ома электрический ток в замкнутой цепи может
возникать только в том случае, если в этой цепи появляется электродвижущая сила. Поэтому обнаруженный Фарадеем индукционный
ток свидетельствует о том, что в замкнутом контуре, находящемся
в переменном магнитном поле, возникает электродвижущая сила –
ЭДС электромагнитной индукции.
Дальнейшие исследования индукционного тока в контурах различной формы показали [1–15], что ЭДС электромагнитной индук-
ции в контуре пропорциональна скорости изменения магнитного
потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром (закон
Фарадея):
i
−=ε
dФ
.
(8.7)
Знак минус обусловлен связью между направлением индукционного тока и характером вызвавшего его изменения магнитного потока, установленной профессором Петербургского университета Ленцем. В 1834 г. он установил следующий закон (закон Ленца): индук-
ционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что со-
182
здаваемый им магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную контуром, уменьшает те изменения магнитного потока, которые вызвали появление индукционного тока [1–5]. Так, напри-
мер, при приближении полосового магнита к замкнутой на гальванометр катушке в ней наводился индукционный ток, который своим
магнитным действием препятствует возрастанию магнитного потока
сквозь витки катушки.
Формула (8.7), объединяющая законы Фарадея и Ленца, является
математическим выражением основного закона электромагнитной
индукции. Читается закон следующим образом: электродвижущая
сила электромагнитной индукции в замкнутом контуре численно
равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром [1–15].
Связь между ЭДС индукции и скоростью изменения магнитного
потока можно найти и с помощью закона сохранения энергии.
Рассмотрим замкнутый проводящий контур, помещенный в неоднородное магнитное поле. Если этот контур включить в цепь гальванического элемента, то под действием сил Ампера незакрепленный
контур придет в движение. Элементарная работа, совершаемая при
этом, равна
dA1 = I⋅dФ,
где dФ – изменение магнитного потока сквозь площадь контура, происходящее за время dt.
Работа, совершаемая током за время dt по преодолению электрического сопротивления цепи R, равна
dA2 = I2⋅R⋅dt.
Полная работа, совершаемая за это же время гальваническим
элементом, равна
dA = I⋅ε⋅dt.
По закону сохранения энергии сумма первых двух работ должна
равняться третьей:
⋅
ε⋅dt = I2⋅R⋅dt+I⋅dФ,
I
183
откуда
R
dt
R
ε
ε
dt
dt
d
Ф
dt
.
−+
ε
I
=
Или, если обозначить величину
I
=
−
+
dФ
как εi, то
i
.
Из полученного выражения видно, что при изменении магнитного потока через контур сила тока в нем оказывается такой, как если
бы кроме ЭДС источника ε в контуре действовала электродвижущая
сила, равная
−
dФ
.
Таким образом, при изменении магнитного потока, охватываемого контуром, в последнем возникает добавочная электродвижущая
сила, которая выражается формулой
diФ
−=ε
.
Эта ЭДС и есть, очевидно, ЭДС индукции.
Закон Фарадея можно получить и по-другому. Для этого
поместим в магнитное поле
движущийся со скоростью v металлический проводник и рассчитаем ЭДС индукции в нем
а)
б)
(рис. 8.4). На электроны проводника будет действовать сила Ло-
Рис. 8.4
ренца, равная
Fл = qvBsinα,
где α – угол между направлением движения проводника и вектором
индукции магнитного поля. Под действием этой силы происходит
смещение электронов. В результате на одной стороне проводника появляется избыточный отрицательный заряд, на другой стороне – по-
184
ложительный заряд. Вследствие этого разделения зарядов появляется
⋅
⋅
dt
ℓ
внутреннее поле с напряженностью Е.
Разделение зарядов будет происходить до тех пор, пока сила Лоренца не уравновесится силой, действующей на них со стороны этого
электрического поля и равной
F = -qЕ.
Таким образом,
-qЕ = qvBsinα.
После сокращения на величину заряда получим
Е = -vBsinα.
(8.8)
Этой напряженности поля соответствует разность потенциалов,
равная
ϕ1 - ϕ2 = E⋅dℓ.
По разности потенциалов можно найти ЭДС:
εi = ϕ1 – ϕ2,
т.е.
εi = E⋅dℓ.
Подставив в последнее выражение формулу (8.8), получим
εi = -vB dℓ⋅sinα.
(8.9)
Отсюда следует, что при движении проводника длиной ℓ в магнитном поле на его концах возникает ЭДС индукции, величина кото-
рой равна [1]
εi = vBℓsinα.
(8.10)
Стоит отметить, что разница потенциалов на концах проводника
возникает не только при его поступательном движении в магнитном
поле, но и при вращении.
Скорость движения проводника можно выразить через смещение
v = dx/dt. Тогда выражение (8.9) принимает вид
−=ε sin
i
185
dxdB
.
α⋅
Произведение dℓ⋅dx = dS – площадь, описываемая проводником
dt
α⋅⋅
В
dt
β⋅⋅
dt
В
(
)
dt
ω⋅⋅
ε
ε
ε
при его движении за время dt, поэтому
dSB
−=ε
i
sin
.
Поскольку α = 90° – β, sinα = sin(90° – β) = cosβ, где β – угол
между перпендикуляром к площади dS и вектором
dSB
−=ε
i
cos
.
, то
(8.11)
Согласно (8.1) произведение B⋅ dS⋅ cosβ равно магнитному потоку
dФ через эту поверхность. Тогда
dФ
−=ε
i
.
Мы пришли к выражению (8.7).
Таким образом, при изменении магнитного потока сквозь замкнутый проводящий контур, какой бы ни была причина этого изменения, в
контуре возникает ЭДС, пропорциональная скорости изменения этого
потока. К изменению магнитного потока могут привести изменение
магнитного поля, изменение площади контура и изменение угла между
вектором индукции магнитного поля и перпендикуляром к поверхности
этого контура. Последнего можно добиться, в частности, вращая контур
с постоянной угловой скоростью ω в однородном магнитном поле. При
этом угол β между перпендикуляром к поверхности контура и вектором
меняется с течением времени по закону β = ωt. Подставим это выра-
жение в (8.11) и найдем производную:
tSBd
−=ε
i
= BSωsin(ωt).
i
)cos(
;
(8.12)
При sin(ωt) = 1 ЭДС индукции максимальна и равна
ε
= BSω.
max
Тогда
=
i
sin(ωt).
max
186
Таким образом, при равномерном вращении рамки в однородном
4
r
α⋅⋅πµµ
ℓ
ℓ
∧
∫
∫
В
n
∧
ℓ
магнитном поле в ней возникает изменяющаяся по гармоническому
закону ЭДС [1–5]. Этот процесс лежит в основе действия генераторов
переменного тока.
8.4. ИНДУКТИВНОСТЬ
Электрический ток I, текущий в любом контуре, создает магнитное поле. Согласно закону Био – Савара – Лапласа, магнитная индук-
ция этого поля в точке, находящейся на расстоянии r от элемента dℓ
контура тока I, равна
sin
dI
dB
=
0
2
,
где
∠=α
)(
dr
.
Согласно принципу суперпозиции
= dВB
.
Это поле создает магнитный поток, пронизывающий поверхность
S, ограниченную этим контуром. Согласно формуле (8.3), он равен
,
⋅β⋅=
dSB cosФ
S
где β – угол между векторами
и
(
∠=β
nB
).
Итак, магнитный поток Ф пропорционален магнитной индукции
В, которая пропорциональна силе тока I. Следовательно, магнитный
поток Ф пропорционален силе тока I. Обозначив коэффициент пропорциональности между этими величинами как L, получим
Ф = LI. (8.13)
Величина L называется [1–15] индуктивностью контура. Она
зависит от формы и геометрических размеров контура, а также от
магнитных свойств окружающей контур среды.
Найдем выражение для индуктивности соленоида. Магнитная
индукция поля тока бесконечно длинного соленоида согласно (6.24)
равна
В = µµ0nI,
N
где
n =
– число витков на единицу длины соленоида.
187
Магнитный поток, проходящий сквозь один виток соленоида, при
Ф ;
N nIS nNSI
µµ µµ
= =
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
µ
µ
условии, что индукция магнитного поля перпендикулярна площади S
этого витка, равен
Ф1 = BS,
а сквозь N витков
Ф = NBS.
Подставив в данное выражение вместо В выражение для индукции магнитного поля соленоида, получим
0 0
Ф µµ=
2
N
0
SI
.
Приравняем правую часть этого выражения для магнитного потока и правую часть выражения (8.13):
2
LI
N
µµ=
0
SI
.
Отсюда индуктивность соленоида
L
µµ=
2
N
0
.
S
Это выражение можно записать в другом виде:
2
L ℓ
N
µµ=
0
L =
n2V,
0
;
S
2
(8.14)
(8.15)
где Sℓ = V – объем.
Таким образом, индуктивность соленоида пропорциональна [1–5]
квадрату числа витков на единицу длины соленоида, объему соленоида и магнитной проницаемости вещества, из которого сделан сердечник соленоида.
8.5. ЯВЛЕНИЕ САМОИНДУКЦИИ. ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ ТОКА
ПРИ РАЗМЫКАНИИ И ЗАМЫКАНИИ ЦЕПИ
Если по контуру с индуктивностью L, величина которой постоянна, проходит меняющийся с течением времени электрический ток, то
магнитный поток Ф = LI не является постоянным, вследствие чего
в контуре наводится ЭДС индукции.
188
Возникновение электродвижущей силы индукции в результате
dt
(
)
dt
dt
R
dt
изменения тока в цепи получило название [1–15] явления самоиндукции.
Электродвижущая сила индукции в этом случае называется ЭДС
самоиндукции и обозначается εс. Найдем выражение для ЭДС само-
индукции. Согласно закону электромагнитной индукции (8.7)
dФ
−=ε
В силу выражения (8.13) магнитный поток равен
Ф = LI.
Тогда
.
LId
−=ε
Если индуктивность контура – величина постоянная, то
.
dI
Lс−=ε
.
Из формулы (8.16) следует, что ЭДС самоиндукции прямо про-
порциональна скорости изменения тока [1–15].
Изменение магнитного потока контура может происходить и при
замыкании и размыкании цепи постоянного тока.
1. Найдем характер изменения тока при размы-
кании цепи. Рассмотрим цепь, состоящую из источника тока с ЭДС ε и ничтожно малым внутренним
сопротивлением, сопротивления R и катушки с индуктивностью L (рис. 8.5).
Под действием этой ЭДС в цепи будет течь по-
Рис. 8.5
стоянный ток
Iε=
0
.
(8.16)
В момент времени t = 0 отключим источник тока, замкнув переключателем П накоротко цепь. Сила тока начнет убывать. Это приведет к изменению магнитного потока, пронизывающего контур. В цепи возникнет ЭДС самоиндукции, равная
dI
−=ε
с
L
189
.
Согласно закону Ома она равна
dt
I
L
dt
Таким образом,
или
εс = IR.
dI
LIR −=
,
R
dt
dI
=−
.
Проинтегрируем это уравнение, считая индуктивность и сопротивление величинами постоянными:
t
R
dt
L
0
I
dI
=−
.
∫∫
I
I
0
Получим
ln
I
I
0
R
.
t
−=
L
После потенцирования найдем закон изменения тока после отключения источника:
R
t
L
,
еII−=
0
(8.17)
где е − основание натурального логарифма.
Из выражения (8.17) следует, что после отключения источника
ЭДС сила тока в цепи не обращается мгновенно в
I
I0
нуль, а убывает по экспоненциальному закону [1–
5]. График зависимости силы тока от времени I =
f(t) имеет вид, изображенный на рис. 8.6.
2. Рассмотрим случай замыкания цепи. При за-
t
Рис. 8.6
мыкании цепи на источник тока сила тока не сразу
достигает своего максимального значения. Поэтому
в цепи кроме ЭДС источника будет действовать
ЭДС самоиндукции и закон Ома можно записать в виде
dI
,
LIR −ε=
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]