Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
Направление вектора
A
2
1
В
r
rkqrkqr
r
2
2
r
r
r
ℓ
r
E
совпадает с
направлением вектора дипольного момента.
Рассмотрим напряженность в точке В, лежащей на перпендикуляре ОВ к оси диполя,
восстановленном из середины плеча диполя
(рис. 1.7).
Напряженность поля в точке В есть геометрическая сумма напряженностей, создаваемых
Рис. 1.7
зарядами +q и –q:
EEE
+=
.
Так как расстояния r2 и r1 от обоих зарядов до точки В равны, то
kq
EE ==
21
.
2
Из рис. 1.7 видно, что модуль вектора напряженности поля диполя в точке В численно равен
kq
B
Поскольку
cosℓ=α
EEE
21
222
, то
E
2
kq
B
kp
=⋅=
ℓ
;
32
α=α+α=α+α= cos2coscoscoscos
.
pk
E
=
B
ℓ
.
3
Учитывая значение коэффициента k в системе СИ,
E
1
=
A
4
πε
p
ℓ
⋅
0
,
E
3
r
B
=
1
4
πε
p
ℓ
.
⋅
3
r
0
2
Примеры решения задач
Пример 1.1. С какой силой взаимодействуют два одинаковых
маленьких шарика в вакууме, если заряд первого шарика q1= 6 нКл,
второго шарика q2 = -3·10-9 Кл, расстояние между ними 5 см? С какой
силой будут взаимодействовать шарики, если привести их в соприкосновение, а затем удалить на прежнее расстояние?
11
Дано: СИ Решение:
-
9
21
12
r
м
Кл
⋅
1051
⋅
⋅
−
−
2
;
r
⋅
10251
⋅
⋅
−
q1 = 6 нКл
q2 = -3 нКл
r = 5 см
F1 = ?
F2 = ?
6 ·10
Кл
-3·10-9 Кл
5·10-2 м
1. По третьему закону Ньютона силы
взаимодействия между зарядами равны
по величине и противоположны по
направлению:
FF
−=
.
Обозначим |F12|=|F21|=F1. Это сила притяжения между двумя разноименными зарядами, которая определяется по закону Кулона (1.2):
qq
21
.
2
2
КлКлмН
⋅⋅⋅
22
=
Н.
Проверка размерности:
[ ]
1
kFε=
1
=F
С учетом того, что ε = 1 (для воздуха), после подстановки заданных в условии задачи величин и проведения расчетов получим
999
10106109
F
=
⋅⋅⋅⋅
1
42
−
5
−
=⋅=
мкН.66H106,6
2. При соприкосновении шариков заряд перераспределяется. Но
в силу закона сохранения заряда (1.1) их общий заряд не изменяется:
q1 + q2 = q1′ + q2′.
В силу равенства размеров шариков заряд на них распределяется
поровну, то есть
q1′ = q2′ = q = (q1 + q2)/2 = (6·10-9 - 3·10-9)/2 = 1,5·10
-9
Кл.
Сила притяжения между этими шариками после перераспределения заряда
2
q
F k
=
2
ε
1829
105,1109
F
=
⋅⋅⋅
2
4
−
6
−
мкН.81H101,8
=⋅=
Ответ: F1 = 66 мкН, F2 = 8,1 мкН.
Пример 1.2. Два шарика, расположенные друг от друга на рас-
стоянии r = 10 см, имеют одинаковые отрицательные заряды и взаи-
12
модействуют в вакууме силой F = 0,23 мН. Найти число избыточных
21
12
r
⋅
ε
ke
КлмН
электронов на каждом шарике.
Дано: СИ Решение:
r = 10 см
F = 0,23 мН
ε = 1
n = ?
0,1 м
2,3⋅10-4 Н
По третьему закону Ньютона силы взаимодействия между зарядами равны
по величине и противоположны по направлению:
FF
−=
.
Обозначим |F12| = |F21| = F1. Это сила отталкивания между двумя
одноименными зарядами, каждый из которых равен
q1 = q2 = q = n·e,
где е – заряд электрона, равный по модулю е = 1,6⋅10
-19
Кл, n – число
избыточных электронов на каждом шарике. Подставив в формулу закона Кулона это выражение, получим
22
en
⋅
=
kF
.
2
Отсюда число избыточных электронов на каждом шарике равно
2
Frnε
=
.
2
Проверка размерности:
22
КлмН
[ ]
=n
⋅⋅
1
=
22
⋅⋅
(безразмерная величина).
Подставим числовые значения и произведем расчет:
−
=
n
24
11,0103,2
⋅⋅⋅
3829
−
106,1109
⋅⋅⋅
=
11
.10
Ответ: n = 1011.
Пример 1.3. Небольшой грузик, имеющий массу m = 20 г и заряд
q = 6 мкКл, вращается на тонкой непроводящей нити длиной ℓ = 30
см. Нить отклоняется от вертикали на угол α = 30°. Определите пери-
од Т обращения грузика, если в центре окружности, описываемой
шариком, находится неподвижный точечный заряд Q = 6 мкКл.
13
Дано: СИ Решение:
к
н
g
m
н
к
T
ℓ
α=cos
cos
α
α
ε=ε
sin
ℓ
R
α
ε
sin
cos
ℓ
ℓ
T
m = 20 г
q = 6 мкКл
Q = 6 мкКл
ℓ = 30 см
α = 30°
0,02 кг
6⋅10-6 Кл
6⋅10-6 Кл
0,3 м
На грузик действуют (рис. 1.8): сила
кулоновского отталкивания
жения нити
F
и сила тяжести
F
, сила натя-
гласно второму закону Ньютона
gmFFam
++=
,
ε = 1
где а – центростремительное ускорение,
Т = ?
равное
2
4TR
2
Ra
π
=ω=
.
2
Здесь ω – угловая скорость, Т – период, R – радиус окружности,
по которой движется шарик, равный R = ℓ⋅sinα. Тогда
2
aαπ=
sin4
2
.
. Со-
В проекции на ось Ох получим
в проекции на ось Оу
Рис. 1.8
ma = Fнsinα – Fк,
Отсюда
Здесь α – угол отклонения нити
от вертикали.
Подставим данное выражение
в проекцию на ось Ох:
ma −α⋅
С учетом того, что
=
к
0 = Fнcosα – mg.
mg
F
н
.
mg
=
qQ
sin
kqQ
kF
F
222
.
к
,
и написанного выше выражения для центростремительного ускорения получим
m
2
απ
=
14
α
sinsin4
−
α
kqQmg
222
или
ααε
cos
sin
ℓ
ℓ
ℓ
T
ℓ
м
м
м/с
кг
ℓ
⋅τ⋅
⋅
Отсюда
T
Т
Проверка размерности:
Вычисления:
5,03,014,3
T
⋅⋅⋅=
2
m
=
[ ]
2
ℓ
sin
м
m
32
ℓℓ
kqQmg
kqQmg
22
cossinsin4
αααεπ
cossin
α−αε
απ
=
222
ℓ
32
α−αε
cossinsin4
.
;
2sin2
kqQmg
м
αε
.
cossin
α−αε
2
с
⋅⋅⋅⋅
с
=⋅=
2
.
866,03,002,012
66932
−−
⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
,
866,01061061095,03,018,902,0
m
απ=
⋅
⋅=T
ℓ
32
мкг
22
⋅⋅
3
−
104,10
T
471,0
⋅=
1028,0102,2
⋅−⋅
=
33
−−
⋅
.
c1,1
Ответ: T = 1,1 с.
Пример 1.4. Тонкий стержень длиной ℓ = 30 см (рис. 1.9) несет
равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью
τ = 1 мкКл/м. На расстоянии r0 = 20 см от стержня находится заряд
q1 = 10 нКл, равноудаленный от концов стержня. Определить силу F
взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем [13].
Дано: СИ Решение:
ℓ = 30 см
τ = 1 мкКл/м
r0 = 20 см
0,3 м
10-6 Кл/м
0,2 м
Выделим на стержне бесконечно ма-
лый элемент длины dℓ. На нем находится
заряд dq = τdℓ. Этот заряд можно рассмат-
q1 = 10 нКл
ε = 1
F = ?
1⋅10-8 Кл
ривать как точечный. По закону Кулона
сила взаимодействия между точечными зарядами q1 и dq равна
dF
=
4
1
πε
=
1
4
πε
0
dqq
1
2
r
0
15
dq
1
r
,
2
где r – расстояние от выделенного элемента до
α=cos
α
α
⋅
α
⋅
cos
cos
α⋅τ
⋅
F
d
1
2
α⋅α⋅τ
⋅
α⋅α⋅τ
⋅
sin sin ;
α α
τ τ β
= = ⋅ =
010
β
+β−β
+
β⋅τ
⋅
ℓℓℓ
ℓ
заряда q1.
r
Из рис. 1.9 следует, что
drdr
0
α
=
, где r0 – расстояние от за-
2
и
dℓ
=
r
0
ряда q1 до стержня. Подставив эти выражения в
записанный выше закон Кулона, получим
Рис. 1.9
dF
=
4
πε
0
Разложим вектор
Fd
, перпендикулярную стержню, и
1
dq
1
r
.
0
на составляющие:
Fd
лельную ему.
Из рис. 1.9 видно, что dF1 = dF⋅cosα, dF2 = dF⋅sinα. Подставляя
значения dF из предыдущего выражения, получим
dF
1
=
1
4
πε
0
cos
1
r
dq
,
dF
2
0
=
1
4
πε
0
sin
1
r
dq
.
0
Интегрируя эти выражения в пределах от -β до +β, получим
β β
+ +
F d
1
∫ ∫
4 4
πε πε
0 0 0 0
− −
β β
q q
⋅ ⋅ ⋅
= − − − =
4 2
1 1
r r
πε πε
0 0 0 0
cos1 1
q d q
τ α α τ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 1
r r
β β
( )
( )
( )
cos
sin1 1
, парал-
F
=
=
1
2
4
πε
β−
1
q
1
0
r
τ⋅
α⋅α⋅τ⋅
dq
( )( )( )
4
πε
r
=
1sin
4
πε
00
=β−−−β
τ⋅
q
1
r
sin
∫∫
0
=α⋅α
d
.0coscos
Таким образом, сила, действующая на заряд q1, равна
1
πε
q
0
FF
==
1
2
sin
1
r
0
.
Из рис. 1.9 видно, что
2/
+
.
22
sin
=β
+
0
=
22
44/
rr
0
Подставив это выражение для sinβ в формулу для расчета силы,
получим
16
ℓ
ℓ
τ
⋅
F
м
−
−
-
7
1
2
1
2
1
2
(
)
d
d
d
ε
+
ε+ε
=
1
2
πε
r
0
4
+
0
r
0
.
22
1
q
Проверка размерности:
[ ]
2
мН
⋅
=F
Кл
⋅
2
Кл/мКл
⋅
м
м
Н.
=
2
Вычисления:
286
F
=
1
⋅
12
−
1085,814,32
⋅⋅⋅
1010
⋅
⋅
2,0
3,0
22
3,02,04
+⋅
4
−
=⋅=
мН.0,54Н104,5
Ответ: F = 0,54 мН.
Пример 1.5. Определить напряженность поля в точке, лежащей
посередине между зарядами q1 = 2·10
-7
Кл и q2 =-4·10-7 Кл, находя-
щимися в скипидаре на расстоянии d = 10 см друг от друга (рис. 1.10).
Дано: СИ Решение:
q1 = 2·10
Кл
q2 = -4·10-7 Кл
d = 10 см
ε = 2,2
Е = ?
0,1 м
ля в точке А (рис. 1.10), создаваемой зарядом q, через
Расстояния от точки А до первого и второго
заряда одинаковые r1 = r2 = d/2 = 0,05 м.
Обозначим вектор напряженности по-
E
, а зарядом q2 – через
Зная формулу напряженности поля точечного заряда (1.4), можно
записать
1
Поскольку векторы
направлены в одну сторону, напря-
=
q
kE
r
ε
4dkq
1
=
2
1
,
2
ε
2
=
q
kE
r
ε
2
E
4dkq
ε
и
1
.
2
E
Рис. 1.10
=
2
женность поля в точке А согласно
принципу суперпозиции (1.6) равна сумме модулей этих векторов
E
.
Е = Е1 + Е2
и направлена в сторону отрицательного заряда. Подставив значения
Е
и Е2, получим
1
E
=
kq
=
444
k
q
1
2
2
k
2
17
qq
21
.
2
Проверка размерности:
Кл
м
Кл
⋅
(
)
−
−
1
2
Е
=
[ ]
2
КлмН
⋅⋅
=E
1,02,2
⋅
22
1041024109
⋅+⋅⋅⋅
2
=
Н
.
779
⋅=
Н
5
109,9
Кл
.
Ответ: Е = 9,9·105 Н/Кл.
Задачи для самостоятельного решения
1.1. Три одинаковых положительных заряда по 10-9 Кл каждый
расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?
q4 = 577 пКл
1.2. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды q = 0,3 нКл
каждый. Какой отрицательный заряд q1 нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была
уравновешена силой притяжения отрицательных зарядов [13]?
F = 4,5 мН
1.3. Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на
расстоянии r = 30 см. Сила притяжения шаров равна F1 = 90 мкН. После того как шары были приведены в соприкосновение и удалены
друг от друга на прежнее расстояние, они стали отталкиваться с силой F2 = 160 мкН. Определить заряды q1 и q2, которые были на шарах
до их соприкосновения. Диаметр шаров считать намного меньшим
расстояния между ними [13].
q1 = 0,09 мкКл, q2 = -0,01 мкКл.
1.4. Два положительных заряда q1 и q2 находятся в точках с радиус-векторами
r
точки, в которую его надо поместить, чтобы сила, действующая
3
r
и
r
. Найти отрицательный заряд q3 и радиус-вектор
на каждый из этих трех зарядов, была равна нулю [10].
qq
+
21
qq
21
q
−=
3
( )
18
,
r
3
2
=
+
+
qrqr
1221
qq
12
1.5. С какой силой взаимодействовали бы два медных шарика,
ℓ
dt
3
каждый массы 1 г, находясь на расстоянии 1 м друг от друга, если бы
суммарный заряд всех электронов в них отличался на 1 % от суммарного заряда всех ядер [10]?
F = 2⋅1015 Н
1.6. Два одинаковых заряженных шарика, подвешенных на нитях
одинаковой длины, опускают в керосин плотностью ρ = 0,8 г/см3. Какова должна быть плотность ρ0 материала шариков, чтобы угол рас-
хождения нитей не изменился?
ρ0 = 1,6 г/см3
1.7. Два шарика одинакового объема, обладающие массой по
0,6⋅10-3 г каждый, подвешены на шелковых нитях длиной 0,4 м так,
что их поверхности соприкасаются. Угол, на который разошлись нити
при сообщении шарикам одинаковых зарядов, равен 60°. Найти вели-
чину зарядов и силу электростатического отталкивания.
q = 7,8 нКл, Fк = 3,4 мкН
1.8. Два небольших одинаково заряженных шарика, каждый
массы m, подвешены к одной точке на шелковых нитях длины ℓ.
Расстояние между шариками x << ℓ. Найти скорость утечки зарядов
dq/dt с каждого шарика, если скорость их сближения меняется по
закону
xa/=v
, где а – постоянная [10].
dq
3 πε
a
=
0
mg
2
1.9. В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон вращается вокруг протона по окружности. Какова скорость вра-
щения электрона, если радиус орбиты r = 0,53⋅10
-10
м [12]?
v = 2,2⋅106 м/с
1.10. Тонкое полукольцо радиусом R = 10 см несет равномерно
распределенный заряд q = 0,1 мкКл. На перпендикуляре к плоскости
кольца, восстановленном из его середины, находится точечный заряд
= 10 нКл. Определите силу F [13], действующую на точечный заряд
q
1
19
q1 со стороны заряженного кольца, если он удален от центра кольца
0
на: а) ℓ1 = 20 см; б) ℓ2 = 2 м.
а) F = 0,16 мН; б) F = 2,25 мН
1.11. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной
плотностью τ = 10 мкКл/м. Какова сила F, действующая на точечный
заряд q = 10 нКл, находящийся на расстоянии а = 20 см от стержня,
вблизи его середины [13]?
F = 9 мН
1.12. Тонкий длинный стержень длиной ℓ = 10 см равномерно заряжен. Линейная плотность заряда τ равна 1 мкКл/м. На продолже-
нии оси стержня на расстоянии а = 20 см от ближайшего его конца
находится точечный заряд q = 100 нКл. Определить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда [13].
F = 1,5 мН
1.13. Тонкая бесконечная нить согнута под углом α = 90°. Нить
несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью
τ = 1 мкКл/м. Определить силу F [13], действующую на точечный заряд q = 0,1 мкКл, расположенный на продолжении одной из сторон
и удаленный от вершины угла на а = 50 см.
F = 4,03 мН
1.14. По тонкой нити длиной ℓ = 4 см, имеющей форму дуги ра-
диусом R = 12 см, равномерно распределен заряд q1 = 19 нКл. В цен-
тре кривизны расположен заряд q2, на который нить действует с силой F = 40 мкН. Определить заряд q2.
q2 = 3,53 нКл
1.15. Тонкое проволочное кольцо радиуса r имеет электрический
заряд q. Каково будет приращение силы [10], растягивающей проволоку, если в центр кольца поместить заряд q0?
qq
Tεπ=∆
8 r
20
0
2
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]