Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
Поскольку
εε
=
σ
−
+
+
0
σ
−
0
σ
Е,
х
−
+
E
E
−
−
ED
, то для напряженности поля равномерно за-
0
ряженной бесконечной плоскости получаем
=Е
2εε
.
0
(2.16)
Напряженность и индукция поля равномерно заряженной плоскости не зависят от
расстояния до этой плоскости [1–15], т. е. от
координаты х (рис. 2.5).
2.3.2. Поле двух бесконечных параллельных
разноименно заряженных плоскостей
Поле двух параллельных бесконечных
плоскостей, заряженных разноименно с одинаковой по величине поверхностной плотностью σ
(рис. 2.6), можно найти как суперпозицию полей,
создаваемых каждой из плоскостей
в отдельности:
D
Рис. 2.5
+σ - σ
E
E
E
E
.
+= EEE
Рис. 2.6
Здесь
E
– напряженность электрического по-
ля, созданного положительно заряженной плоскостью и равная по моду-
лю
Е
+
;
E
– напряженность электрического поля, созданного
=
2εε
=
отрицательно заряженной плоскостью и равная по модулю
Е
−
.
2εε
Вне объема, ограниченного плоскостями, складываемые поля
имеют противоположное направление, поэтому результирующая
напряженность равна нулю, как и связанная с ней индукция электростатического поля:
Е = 0, D = 0.
31
В области между плоскостями складываемые поля имеют оди-
0
σ
0
σ
2
σ
3
V
3
Е,
х
Рис.
Рис.
наковое направление, так что результирующая напряженность
2
EEE
−+
⋅=+=
2
=E
.
εε
Аналогично
2 σ=
DDD
−+
Таким образом, напряженность поля одинакова во всех точках
этой области и по величине, и по направлению; поле однородно. Линии напряженности представляют собой совокупность параллельных равноотстоящих
прямых. График зависимости E и D от
расстояния х от плоскостей показан на
⋅=+=
εε
,
(2.17)
.
D
0
d
2.7
рис. 2.7 (одна из плоскостей располагается в начале координат, d – ширина зазора между плоскостями).
Данный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями намного меньше их линейных размеров (плоский конденсатор).
2.3.3. Поле равномерно заряженного шара
Шар радиуса R (рис. 2.8) зарядим рав-
номерно по всему объему, равному
4
3
RV π=
. Объемная плотность заряда равна
q
=ρ
(Кл/м3) или
=ρ
4
.
3
Rqπ
2.8
Из условия симетрии следует, что
силовые линии электростатического поля
32
заряженного шара направлены радиально, т. е. cos (
D
n
n
D
D
3
3
0
ρ
^
) = 1, где
–
внешняя нормаль,
– электростатическое смещение.
Из определения потока вектора
венство (2.10), согласно которому
n
∫
S
или
∫
S
Так как cosα = 1, то
∫
S
По определению D = εε0E, поэтому
0
∫
S
и теоремы Гаусса следует ра-
n
=
=
∑
i
=εε
∑
=
i
=⋅α
n
=
1
1
qDdS
n
∑
=
i
qdSD
∑
=
i
i
1
i
n
qdSD1cos
.
i
.
qEdS
.
i
(2.18)
Если поверхность, через которую определяется поток индукции,
лежит внутри шара, т. е. r < R (рис. 2.8), то заключенный внутри нее
заряд равен
4
3
rq π⋅ρ=
и выражение (2.18) запишется в виде
4
3
;
π⋅ρ=⋅εε
4
rdSE
3
4
3
;
π⋅ρ=εε
rdSE
3
32
.
0
∫
S
0
∫
S
4 rr π⋅ρ=πεε
0
Отсюда напряженность поля внутри шара
E
=
r
3εε
33
или [1]
0
3
3
0
0
r
E
R
r
A
R
E
=
qr
4 R
πεε
.
3
(2.19)
Если поверхность, через которую определяется поток индукции,
лежит вне шара, т. е. r > R, то заключенный внутри нее заряд равен
заряду шара, т. е.
4
3
Rq π⋅ρ=
, и выражение
(2.18) запишется в виде
4
3
;
π⋅ρ=⋅εε
Рис. 2.9
0
∫
S
4 Rr π⋅ρ=πεε
0
4
RdSE
3
32
.
Отсюда напряженность поля вне шара, заряженного с объемной
плотностью ρ, равна [1]
3
R
=
3 r
=
4 r
πεε
kEε=
ρ
;
2
εε
q
;
2
q
.
2
Е
E
График зависимости E = f(r) изображен на рис. 2.9.
2.3.4. Поле сферы, равномерно заряженной
с поверхностной плотностью σσσσ
Проведем через точку А, в которой хотим опреде-
+
+ +
+ +
+ +
+ +
r
Рис. 2.10
лить напряженность поля, поверхность радиусом r:
r > R, где R – радиус поверхности заряженной сферы
(рис. 2.10). Суммарный заряд сферы
n
∑
=21
i
4 Rq
i
(2.20)
.
σπ=
34
n
0
r
σ
Согласно равенству (2.11),
∫
S
=
n
∑
=
i
qdSD
.
i
1
С учетом того, что D = εε0E, получаем
2
0
∫
S
0
∫
S
0
4cos RdSE
4 RdSE
44 RrE
σπ=⋅αεε
;
2
σπ=εε
;
22
,
σπ=πεε
откуда напряженность поля вблизи заряженной поверхности сферы
равна
E
=
σ
2
R
.
2
r
εε
С учетом выражения (2.1) для электрического смещения вблизи
поверхности заряженной сферы получим
Dσ=
R
2
.
2
При r = R
Е
=E
,
εε
0
т. е. напряженность поля на поверхности сферы
определяется поверхностной плотностью заряда
R
[1].
Рис. 2.11
График зависимости E = f(r) изображен на
(2.21)
(2.22)
рис. 2.11.
2.3.5. Поле равномерно заряженного
бесконечного цилиндра (нити)
Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхно-
стью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью τ
(рис. 2.12), равной τ = q/ℓ, Кл/м. Из соображений симметрии следует,
35
что вектор электрического
hrhDτ=π2
rDπ
τ
2
0
τ
D
R
смещения в любой точке
должен быть направлен
вдоль радиальной прямой,
h
перпендикулярной к оси ци-
r
линдра, с одинаковой густо-
Рис. 2.12
той во все стороны относительно оси цилиндра. А величина напряженности определяется только расстоянием r от оси цилиндра.
Представим себе мысленно коаксиальный с заряженной поверхностью цилиндр радиуса r и высоты h. Поток вектора индукции
сквозь цилиндрическую поверхность будет равен
где N
ND = N
– поток вектора индукции сквозь торцы этого цилиндра, ко-
D осн
D бок
+ 2N
D осн
,
торый равен нулю (т. к. торцы параллельны линиям напряженности);
N
– поток вектора индукции через боковую поверхность, равный
D бок
DS, где S = 2πrh – площадь поверхности цилиндра. Тогда
ND = N
= D2πrh.
D бок
Если r > R, то внутрь поверхности попадает заряд
n
.
hqq
∑
i
=1
i
τ==
По теореме Гаусса (2.11)
=
n
∑
=
i
.
qN
iD
1
С учетом полученных ранее выражений можно записать:
;
=
.
(2.23)
А для напряженности электрического поля с учетом равенства
(2.1) получим [1–5]
Е
=
2πεε
36
.
r
(2.24)
В формулах (2.23) и (2.24) r – расстояние от оси цилиндра.
-
2
r
ε
ммКл
⋅
⋅
Если r < R, то рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего
D = 0;
Е = 0.
Таким образом, внутри равномерно заряженного цилиндра (нити)
поверхности бесконечной длины поле отсутствует. Напряженность
поля вне поверхности зависит от линейной плотности заряда τ и расстояния от оси цилиндра.
Примеры решения задач
Пример 2.1. Проводящий шар радиусом R = 5 см заряжен поло-
жительным зарядом с поверхностной плотностью σ = 8,84·10-5 Кл/м2.
Определить напряженность поля на расстоянии d = 5 см от поверхности шара.
Дано: СИ Решение:
R = 5 см
σ = 8,84·10-5 Кл/м2
d = 5 см
ε = 1
Е = ?
5·10
м
5·10-2 м
Напряженность поля, создаваемого
заряженным шаром, равна (1.5)
q
=
kE
,
2
где r – расстояние от центра шара до
точки, в которой определяется напряженность поля.
Определив заряд шара по формуле q=σ·S, где S = 4πr2, и учитывая, что
r = R + d,
получим
2
4
R
σπ
=
kE
( )
+ε
.
2
dR
Проверка размерности:
[ ]
=E
37
22
КлммН
⋅⋅⋅
222
=
Н
Кл
.
Расчет:
(
)
-
12
-15
.
σ
ε ε
S
g
m
F
E
2
2
9
109
⋅⋅=
22
( )
−−
1051051
⋅+⋅⋅
5
−−
1084,810514,34
⋅⋅⋅⋅⋅
105,2
2
⋅=
6
Н
Кл
.
Ответ: Е = 2,5·106 Н/Кл.
Пример 2.2. Пылинка массой m = 2·10
-12
г взвешена в воздухе
между двумя горизонтально расположенными пластинами. Напряженность пластин направлена вертикально вверх. Заряд пылинки
q1 = 5e. Площадь пластин S =100 см2. Определить заряд пластин q2
(рис. 2.13).
Дано: СИ Решение:
m = 2·10
q1 = 5e
S =100 см2
ε = 1
г
2·10
кг
5·1,6·10
0,01 м
2
-19
Кл
Сила, действующая на заряд,
находящийся в электрическом поле,
равна согласно (1.4)
F = q1E.
q2 = ?
На пылинку действует сила тяжести
Р = mg.
По первому закону Ньютона пылинка находит-
ся в равновесии, если
0=+ gmF
.
Проектируя это уравнение на ось у, получим
mg – F = 0;
mg = F;
mg = q1E. (2.25)
Напряженность поля внутри пластин согласно
(2.17)
E
=
(2.26)
0
q
Рис. 2.13
у
Поверхностная плотность заряда
q
2
=σ
38
.
(2.27)
Подставляя (2.27) в (2.26), получим
.
q
S
ε ε
0
ε
ε
Кл.
Кл
мНс
⋅⋅⋅
−−−
-
7
=
2
(2.28)
0
E
Подставляя (2.28) в (2.25), найдем q2:
qq
mgεε=
21
S
Отсюда
Smg
0
q
1
22
мКлмкг
⋅⋅⋅
22
21215
Проверка размерности:
[ ]
=q
2
=q
2
19
−
106,15
⋅⋅
q
=
2
101085,88,9102
⋅⋅⋅⋅⋅
.
.
=
910
−−
⋅=⋅=
.Кл1017,2107,21
Ответ: q2 = 2,17·10-9 Кл.
Пример 2.3. Электрическое поле создано бесконечной плоско-
стью, заряженной с поверхностной плотность σ = 400 нКл/м2, и прямой бесконечной нитью, заряженной с линейной плотностью τ = 100
нКл/м. На расстоянии r = 10 см от нити находится точечный заряд
q = 10 нКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление,
если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной
плоскости.
Дано: СИ Решение:
σ = 400 нКл/м2
τ =100 нКл/м
r = 10 см
q = 10 нКл
4·10
Кл/м2
1·10-7 Кл/м
0,1 м
1·10-8 Кл
Сила, действующая на заряд q, по-
мещенный в поле, согласно (1.4)
F = Eq, (2.29)
где Е – напряженность поля в точке А,
ε = 1
F = ?
создаваемая бесконечной заряженной
плоскостью и бесконечно заряженной
нитью (рис. 2.14).
39
Поле, создаваемое бесконечно
0
.
σ
εε
.
r
τ
πεε
2
1
1
2
2 2
.
r r
σ τ τ
2 2
.
r
τ
Н;
= + = = = = =
(
)
заряженной плоскостью, однородно, и его напряженность в любой
точке равна
E
=
1
2
(2.30)
Поле, создаваемое бесконечно
Рис. 2.14
заряженной нитью, неоднородно.
Его напряженность зависит от рас-
стояния и определяется по формуле (2.24)
E
=
2
2
(2.31)
0
Напряженность поля в точке А согласно принципу суперпозиции
равна
EEE
Так как векторы
E
+=
E
и
взаимно перпендикулярны, то
2
1
.
2
.
EEE +=
2
Подставляя выражения (2.30) и (2.31) в это равенство, получим
2 2
E
= + = +
ε πε ε π
2 2 2
0 0 0
1
σ
2
2
(2.32)
.
Подставляя выражение (2.32) в формулу (2.29), получим
2
(2.33)
.
F Eq
q
= = +
ε π
2
0
σ
2
Убедимся в том, что правая часть равенства (2.33) дает единицу
силы:
2 2
2 2 2 2 2
⋅ ⋅ ⋅
7
−
( )
12
−
1085,82
⋅⋅
104
2
7
−
+⋅
40
2
7
−
101
⋅
( ) ( )
1,014,3
⋅
4
−
22
⋅=
F
[ ]
Кл м Кл Кл Кл В м Кл В Кл Дж Н м
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Ф м м м м Кл м м м м
101
⋅
=F
Н.1089,2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]