Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
Таким образом, разность потенциалов начальной и конечной то-
τ
2
2
(
)
τ
⋅
(
)
мКлКл
ВКлм
КлФм
Клмс
⋅
⋅
()(
)
чек равна
r
2
=ϕ−ϕ
12
2 r
πεε
ln
.
0
1
В поле бесконечной положительно заряженной нити α-частица
удаляется от нее по силовой линии. Работа поля (3.16), разгоняющего
α-частицу, идет на увеличение ее кинетической энергии:
2
2
2
mm vv
1
( )
.
ϕ−ϕ=− q
21
Подставив вместо разности потенциалов полученное выше выра-
жение, получим
2
2
2
=−vv
1
22
πεε
rqm
2
,ln
r
1
0
откуда
m πεε−
=τ
2
2
2
vv
1
r
2
ln
q
r
1
0
.
Проверка размерности:
[ ]
2
=τ
2
⋅⋅
Дж
Фмкг
=⋅=
ВКл
⋅
⋅
=
.
⋅
Вычисления:
2
=τ
627
⋅
⋅−⋅⋅⋅
19
−
2
5
12
−−
1085,8114,31021031064,6
⋅⋅⋅⋅
6
−
⋅=
.мКл106,3
04,0
ln102,3
01,0
Ответ: τ = 3,6⋅10-6 Кл/м.
Пример 3.5. Электрон с энергией Ек = 100 эВ (в бесконечности)
движется вдоль силовой линии по направлению к поверхности металлической заряженной сферы радиусом 5 см. Определить минимальное расстояние, на которое приблизится электрон к поверхности
сферы, если заряд ее q = -1 нКл (рис. 3.7).
61
Дано: СИ Решение:
-
19
(
)
2
1
ϕ−ϕ
=
v
min
е = -1,6·10
Е
= 100 эВ
к
Кл
R = 5 см
q = -1 нКл
ε = 1
ε0 = 8,85·10
r
= ?
min
-
-
-
R
-12Кл2
r
-
-
O
- -
-
-
Рис. 3.7
/Н⋅м2
160·10
-19
0,05 м
-1·10-9 Кл
A
е
В бесконечности электрон
Дж
обладал энергией Еκ в точке А,
на расстоянии r
от поверх-
min
ности сферы электрон остановился.
Работа, совершенная при
перемещении заряда в электрическом поле, равна
eА
,
где φ1 – потенциал поля в начальной точке, т. е. в бесконечности;
φ2 – потенциал поля в точке А.
Поле заряда q вне сферы подобно полю точечного заряда,
находящегося в центре сферы 0.
Поэтому
=ϕ
2
4 rRq+πεε
( )
min0
и
еА
−=ϕ−=
2
4
( )
rR
+πεε
min0
eq
.
Работа сил поля отрицательна. По закону сохранения энергии кинетическая энергия электрона Ек превратилась в потенциальную
энергию взаимодействия зарядов в точке А. Потенциальная энергия
зарядов Ер рассчитывается как энергия точечных зарядов, находящихся на расстоянии (R + r
W =
=
r
min
min
):
qe
4
( )
rR
+ππε
min0
qe
R
=
4
πεε
−
E
0
k
;
E
kp
;
62
()(
)
−
−
r
E
⋅⋅π⋅⋅
=
min
=
[ ]
min
22
мНКл
⋅⋅
=r
2
ДжКл
⋅
919
101106,1
⋅−⋅⋅−
1912
−−
101601085,8114,34
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
м;м
=−
2
−
=⋅−
.м04,0105
Ответ: r
= 0,04 м.
min
Пример 3.6. Бесконечно длинный цилиндр радиуса R = 10 см за-
ряжен с поверхностной плотностью σ = 10 мкКл/м2. Какую работу
необходимо совершить, чтобы перенести заряд q = 2 мкКл из точки 1
в точку 2? Расстояние ℓ1 = 3R, расстояние ℓ2 = 2R (рис. 3.8).
Дано: СИ Решение:
R = 10 см
σ = 10 мкКл/м
q = 2 мкКл
ℓ
= 3R
1
2
0,1 м
10·10-6 Кл/м
2·10-6 Кл/м
2
Работа по переносу заряда
в поле
А = q(φ1 – φ2).
Проведем через точки 1 и 2
эквипотенциальные поверхности.
ℓ
= 2R
2
Они представляют собой боковые
ε = 1
поверхности коаксиальных цилин-
ε0 = 8,85·10
-12
Ф/м
дров с радиусами оснований ℓ1 и ℓ2
А = ?
(рис. 3.8).
Потенциал φ1 – это потенциал поверхности радиуса ℓ1, потенциал
φ2 относится к поверхности радиуса ℓ2.
Для определения разности потенциалов
сначала найдем напряженность поля заряженного цилиндра. По определению поток вектора напряженности Е, пронизывающий боковую поверхность прямого коаксиального цилиндра с радиусом r > R, равен
,2 hrEN
где h – длина образующей цилиндра.
Рис. 3.8
63
По теореме Гаусса в вакууме
⋅π⋅
σ
Σ
⋅π⋅
σ
σ
dr
⋅
σ
ℓℓℓ
ℓ
ℓ
ℓ
σ
120
120
ℓℓℓ
ℓ
σ
σ
Кл
Ф
м
⋅
−
−
N
i
=
E
=
ε
2
hRq
.
ε
00
Отсюда
2
E
hrE
=
=⋅⋅π⋅⋅
R
.
r
ε
0
2
hR
;
ε
0
Так как φ1 и φ2 – потенциалы эквипотенциальных поверхностей,
то для нахождения разности потенциалов точек 1 и 2 воспользуемся
формулой (3.17):
d
Eϕ−=
Edrd
;
drR
−=−=ϕ
ε
.
r
0
Интегрирование в пределах от ℓ1 до ℓ2 дает приращение потенциала:
2
σ
−=ϕ−ϕ
12
ε
drR
r
1
σ
R
−=
ε
2
σ
r
−=
∫∫
1
ε
R
000
ℓ
2
.lnln
ℓ
1
Разность потенциалов начальной и конечной точек
( )
21
R
=ϕ−ϕ
ε
0
2
.ln
1
Работа по переносу заряда q из точки 1 в точку 2 согласно (3.15)
( )
qА
RqRq
=ϕ−ϕ=
21
ε
−=
ε
.lnln
Проверка размерности:
2
[ ]
ммКлКл
⋅⋅⋅
=A
2
=
ВКл
⋅
=⋅=
Дж.ВКл
Вычисления:
А
65
1021,0101
⋅⋅⋅⋅
−=
12
−
1085,8
⋅
ln
64
1,03
⋅
−=
1,02
⋅
.Дж09,0
Расчет дает величину А = -0,09 Дж. Работа отрицательна, по-
.
А qU
=
2
2
222
2
(
)
Кл
Кл
с
⋅
скольку положительный заряд перемещается из точки с меньшим потенциалом (точка 1) в точку с большим потенциалом (точка 2). Такую
работу поле совершить не может, это работа внешних сил.
Ответ: А = -0,09 Дж.
Пример 3.7. Определить ускоряющую разность потенциалов U,
которую должен пройти в электрическом поле протон, обладающий
скоростью v1 = 106 м/с, чтобы скорость его возросла в n = 2 раза.
Дано: СИ Решение:
v
= 106 м/с
1
n = v2/v1 = 2
-19
-27
кг
Кл
m = 1,67·10
q = 1,6·10
U = ?
Ускоряющую разность потенциалов
можно найти, вычислив работу А сил
электростатического поля. Эта работа
определяется согласно (3.15) произведением заряда протона q на разность потенциалов U:
Работа сил электростатического поля в данном случае равна из-
менению кинетической энергии электрона
2
υ
2
=−=
EEА
kk
12
−
2
υ
mm
1
,
где Ек1 и Ек2 – кинетическая энергия протона до и после прохождения
ускоряющего поля; m – масса протона; v1 и v2 – начальная и конечная
скорости протона;
2
qU
2
1
где n = v2/ v1 = 2.
Отсюда искомая разность потенциалов
U−υ=
Проверка размерности:
мкг
[ ]
=U
⋅
2
1
2
65
2
2122
−=−=
22
1
nm
.
2
υ
mυmnmυmυ
1
,
q
Дж
В.
==
Вычисления:
(
)
(
)
2
−
=
U
106,12
⋅⋅
Ответ: U = 1,56·104 В.
Задачи для самостоятельного решения
3.1. По тонкому кольцу радиусом R = 10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определить потенциал
φ в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии а = 5 см от центра.
3.2. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Вычислить потенциал, создаваемый этим зарядом в точке, расположенной на оси про-
627
101067,1
⋅⋅
19
−
( )
42
В.1056,112
⋅=−
φ = 505 В
водника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние,
равное длине этого отрезка.
φ = 62,4 В
3.3. Тонкий стержень длиной ℓ = 10 см несет равномерно распределенный заряд q = 1 нКл. Определить потенциал электрического поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии а = 20 см от ближайшего его конца.
φ = 36,5 В
3.4 Тонкий диск радиуса r равномерно заряжен
с поверхностной плотностью σ. Найти потенциал поля
в точке А, лежащей на оси диска на расстоянии а от него (рис. 3.9).
=ϕ
Рис. 3.9
22
2ε
0
−+σ
аrа
3.5. Заряд распределен равномерно по бесконечной плоскости
с поверхностной плотностью σ = 10 нКл/м2. Определить разность потенциалов ∆φ двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от плоскости на расстояние d = 10 см.
∆φ = 56,5 В
66
3.6. Определить потенциал φ, до которого можно зарядить уединенный металлический шар радиусом R = 10 см, если напряженность
Е поля, при которой происходит пробой воздуха, равна 3 мВ/м. Найти
также максимальную поверхностную плотность электрических зарядов перед пробоем.
φ = 300 кВ; σ = 55,6 мкКл/м2
3.7. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии d = 1 см друг от друга. Плоскости несут равномерно распределенные по поверхностям заряды с плотностями σ1 = 0,2 мкКл/м2 и
σ2= 0,5 мкКл/м2. Найти разность потенциалов пластин.
U = 170 В
3.8. Сплошной парафиновый шар радиусом R = 10 см равномерно
заряжен с объемной плотностью ρ = 1 мкКл/м2. Определить потенци-
ал электрического поля в центре шара и на его поверхности. Построить график зависимости φ =(r).
φ= 473 В, φ = 377 В
3.9. Эбонитовый толстостенный полый шар несет равномерно
распределенный по объему заряд с плотностью ρ = 2 мкКл/м3. Внут-
ренний радиус шара равен R1 = 3 см, наружный R2 = 6 см. Определить
потенциал на наружной поверхности шара.
φ = 238 В
3.10. Напряженность Е однородного электрического поля в некоторой точке равна 600 В/м. Вычислить разность потенциалов между
этой точкой и другой лежащей на прямой, составляющей угол α = 60°
с направлением вектора напряженности. Расстояние ∆r между точками равно 2 мм.
U = 0,6 В
3.11. Бесконечная тонкая прямая нить несет равномерно распределенный по длине нити заряд с плотностью τ = 1 нКл/м. Каков гра-
диент потенциала в точке, удаленной на расстояние r = 10 см от нити? Указать направление градиента потенциала.
|gradϕ| = 180 В/м
67
3.12. Тонкая круглая пластинка несет равномерно распределен-
ный по плоскости заряд q = 1 нКл. Радиус R пластины равен 5 см.
Определить потенциал электрического поля в двух точках: 1) в центре пластины; 2) в точке, лежащей на оси, перпендикулярной плоскости пластины и отстоящей от центра пластины на а = 5 см.
1) φ = 360 В; 2) φ = 149 В
3.13. Металлический шар радиусом R = 5 см несет заряд q = 1
нКл. Шар окружен слоем эбонита толщиной d = 2 см (ε = 3,0). Вычислить потенциал φ электрического поля на расстоянии: 1) r1 = 3 см;
2) r2 = 6 см; 3) r3 = 9 см от центра шара. Построить график зависимости.
1) φ = 146 В; 2) φ = 136 В; 3) φ = 100 В
3.14. Поле образовано бесконечной равномерно заряженной
плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ = 10 нКл/м2. Определить разность потенциалов двух точек поля, отстоящих от плоскости на r1 = 5 см и r2 = 10 см.
φ1 – φ2= 28,35 В
3.15. На расстоянии r1 = 4 см от бесконечно длинной заряженной
нити с линейной плотностью заряда τ = 6⋅10-7 Кл/м находится точечный
заряд q=(2/3)⋅10
-9
Кл. Под действием поля заряд перемещается до рас-
стояния r2 = 2 см от нити. Найти совершенную при этом работу.
А = 5 10-6 Дж
3.16. Какой скоростью сближения должны обладать протоны,
находясь на расстоянии r
с другом до расстояния r2 = 2 10
= 5 см, чтобы они могли сблизиться друг
-11
см?
v = 1,66 106 м/с
3.17. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом
R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ = 20
нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля,
находящихся на расстоянии r1 = 0,5 см и r2 = 2 см от поверхности цилиндра в средней его части.
- φ2 = 249 В
φ
1
68
3.18. Точечный заряд q = 0,15 мкКл находится в
В
Рис. 3.12
центре сферической проводящей оболочки, внешний и
внутренний радиусы которой соответственно равны R
= 25 см и r = 20 см. Определить напряженность Е поля
в точках 1 и 2, удаленных от заряда соответственно на
r1 = 50 см и r2 = 10 см, а также разность потенциалов
между этими точками (рис. 3.10).
Е
= 5,4 кВ/м; Е2 = 1,4⋅102 кВ/м; φ2 - φ1 = 9,4 кВ
1
3.19. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциалов ∆φ = 100 В. Определить работу, которую совершают силы поля при перемещении заряда (q = 0,52
мкКл из точки А в точку В) (рис. 3.11).
А = 52 мкДж
3.20. Электрическое поле образовано в вакууме
двумя точечными зарядами q1 = 4⋅10
8
Кл (рис. 3.12). Расстояние между зарядами L = 30
-8
Кл и q2 = 0,5⋅10
-
Рис. 3.10
А
Рис. 3.11
см. Какую работу совершает поле, перемещая заряд q3
= 5⋅10-9 Кл из точки А в точку В по дуге окружности
радиусом r = 0,4 м?
3.21. В вершинах квадрата находятся два положительных и два отрицательных заряда, абсолютные величины которых равны q (рис. 3.13). Какую работу
следует совершить, чтобы заряд q2 перенести из центра квадрата в точку М, находящуюся в середине любой из сторон?
А = 1,8 10-6 Дж
-q
+q
+q
2
M
+q
Рис. 3.13
-q
А = 0
69
3.22. При бомбардировке неподвижного ядра натрия α-частицей
сила отталкивания между ними достигла F = 1,4 Н. На какое
наименьшее расстояние приблизилась α-частица к ядру атома натрия?
Какую скорость имела α-частица вдали от ядра? Влиянием электронной оболочки атома натрия пренебречь.
r = 6,0⋅10
-14
м, υ = 5⋅106м/с
3.23. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной
пластины до другой, приобрел скорость υ=108 м/с. Расстояние между
пластинами d = 5,3 м. Найти: 1) разность потенциалов между пластинами; 2) поверхностную плотность заряда на пластинах.
σ = 47,5 мкКл/м2; (φ1 – φ2) = 28,4 кВ
3.24. Пылинка массой т = 10 мкг, несущая на себе заряд q = 10
нКл, влетела в электрическое поле в направлении силовых линий.
После прохождения разности потенциалов (φ1 – φ2) = 150 В пылинка
имела скорость υ0 = 20 м/с. Определить скорость пылинки до того,
как она влетела в поле.
υ = 27,4 м/с
1
3.25. Бесконечная прямая нить несет равномерно
а
распределенный заряд τ = 0,1 мкКл/м. Определить ра-
2а
боту А12 сил поля по перемещению заряда q = 50 нКл
из точки 1 в точку 2 (рис. 3.14).
А
= 62,4 мкДж
12
2
Рис. 3.14
3.26. Определить работу сил поля по
R
1
2
перемещению заряда q0 = 1 мкКл из точки
1 в точку 2 поля, созданного заряженным
проводящим шаром. Потенциал поля равен 1 кВ (рис. 3.15).
70
R
Рис. 3.15
= 250 мкДж
A
12
2R
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]