Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
1
6621
2
+
⋅
+
ε
ε
0
ℓ
()(
)
[
]
ε=−+ε
ε=−
ε+εε
ℓℓℓ
ℓℓℓℓℓ
ℓℓℓ
d
ε
ℓ
ℓ
2
ℓ
ℓ
0
' C
=
CC =
=⋅
0
n
1
C
C
C
0
'
==
.
7,1
;
7,1
0
Из выражения видно, что емкость конденсатора АВ увеличилась
в 1,7 раза.
б) Между обкладками конденсатора помещена пластина, длина
которой равна половине длины пластин конденсатора (рис. 4.9). В этом случае емкость конденсатора равна емкости параллельно соединенных конденсаторов, из которых один заполнен диэлектри-
Рис. 4.9
ком, а другой нет. С учетом (4.14) получим
С˃ = C1 + C2. Учитывая, что ширина пластин равна
C
=
S
d
Выражение
S
d
S
0
=
– это емкость конденсатора без диэлектрика,
C
0
S
d
S
d
тогда
2
.
Учитывая, что ε = 6 и
1
( )
−+=
161'' СCC =
2
( )
−ε+=
0
1
2
5,3
, найдем по формуле значение С'':
=
;
00
11' CC
S
, запишем
( )
−ε+⋅
202202020
11'
.
''
C
n
2
==
C
.
5,3
Из выражения видно, что в этом
случае емкость конденсатора возрастет в 3,5 раза.
Ответ: а) n1 = 1,7; б) n2 = 3,5.
91
Рис. 4.10
Пример 4.5. На схеме, изображенной на рис. 4.10, электрические
-
6
2
1
DE
+
=
3
333
+
+
=
емкости С1 = 2·10-6 Ф и С2 = 1·10-6 Ф. Вычислить общую емкость системы, включенной между клеммами А и В.
Дано: СИ Решение:
С
= 2·10
1
С
= 1·10-6 Ф
2
Ф
Участок DE состоит из двух соединен-
ных параллельно ветвей, в одной из которых
С
АВ
= ?
включены последовательно три одинаковые
емкости С1, а в другой – емкость С2.
По формуле (4.14) соединения емкостей СDE этого участка цепи
равна сумме емкостей обеих ветвей
' CCC
,
где Сʹ1 – емкость первой ветви, которую легко определить следующим уравнением:
=
3
,
CС
11
1
'
откуда
С
1
'
С =
1
.
Тогда
CCC
121
DE
CC
2
=+=
.
Заменим участок DE одной эквивалентной емкостью CDE (рис. 4.11). Тогда искомая
емкость САВ согласно (4.14) будет равна сумме емкостей двух параллельных ветвей, одна
из которых содержит емкости С1, CDE и С1,
Рис. 4.11
соединенные последовательно, а другая – емкость С2.
Обозначим общую емкость первой ветви через С3, тогда
,
ССС
АВ
23
причем
121
+=
13 DE
.
CCС
92
Заменив емкость CDE ее значением, получим
+
1
2
1
2
Ф
(
)
−
3
СС
+=
АВ
2
Проверка размерности:
Вычисления:
АВ
=
С
( )
+=
3
С
=
3
+
[ ]
С
АВ
+
3
56
321
=
ССCС
СС
+
ССС
⋅⋅+
2
112
Ф
104286
⋅+⋅+
10256
3
1213
2
ССС
+
112
56
СС
+
12
2
=
2
−
2
Ф.
==
12
6
56
СС
12
;
2
ССС
+
112
;
86
56
СС
+
2
СССС
++
112
.
6
−
⋅=
Ф.1062,1
Ответ: САВ = 1,62·10-6 Ф.
Пример 4.6. В вершинах квадрата со стороной 10 см находятся
равные по величине и одинаковые по знаку точечные заряды по
1 мкКл. Определить потенциальную энергию данной системы зарядов.
Дано: СИ Решение:
а = 10 см
q1 = q2 = q3 = q4 = 1 мкКл
W = ?
0,1 м
10-6 Кл
1
2
Потенциальная энергия системы точечных зарядов находится по формуле (4.24)
n
,
ϕ⋅=
qW
ii
0∑=
i
где φi – потенциал поля в точке, где находится заряд qi. Поле создано
всеми зарядами, кроме i-го. Так как имеется четыре заряда, то n = 4.
Вычислим потенциал в любой вершине квадрата. Так как в вершинах
квадрата расположены равные заряды, то
φА = φВ = φС = φD = const.
Из принципа суперпозиции полей (3.9) следует
= φ2 + φ3 + φ4,
φ
А
93
где φ2, φ3, φ4 – потенциалы полей, создаваемые зарядами q2, q3, q4
2
а
0
020
Кл
м
Ф
⋅
в точке А. Так как точки D и В равноудалены от точки А и в них находятся равные заряды, то согласно (3.8)
4
q
πεε
=ϕ=ϕ
42
.
a
0
Заряд q3 находится от точки А на расстоянии
πεε
q
a
0
=ϕ
3
.
24
Тогда
2
q
2
А
=ϕ+ϕ=ϕ
32
πεε
+
a
0
πεε
q
a
=
4244
Потенциальная энергия системы зарядов равна
q
W
=
1
4
∑
i
=
2
q
42
πεε
1
i
a
2
+
1
2
=
2
Проверка размерности:
, поэтому
q
πεε
a
0
1
2
+
2
a
πεε
1
2
.
2
+
.
22
[ ]
мКл
=W
=
ВКл
⋅
=⋅=
.ДжВКл
Вычисления:
1
41,1
12
−
=
1,01085,82
⋅⋅⋅π
Дж.488,0
W
=
12
−
210
+
Ответ: W = 0,488 Дж.
Пример 4.7. Два одинаковых воздушных конденсатора емкостью
С = 8/9 пФ каждый заряжены до напряжения U = 900 В. Один из конденсаторов погружается в заряженном состоянии в керосин, после чего конденсаторы соединяются параллельно. Определить работу происходящего при этом разряда.
94
9
9
2
Дано: СИ Решение:
8
пФ
=С
U = 900 В
ε = 2
А = ?
8
12
−
⋅
Ф
счет убыли энергии системы конденсаторов. Выразим эту энергию до соединения конденсаторов. Энергия воздушного конденсатора равна (4.28)
W =
Работа разряда совершается за
2
CU
1
.
При помещении заряженного конденсатора в керосин (отсоединенного предварительно от источника питания) заряд его остается
неизменным, а емкость возрастает в ε раз. Тогда его энергия равна
2
CUW
222
.
ε
W
2
q
2
C
2
2
q
==
ε
C
=
1
=
ε
При погружении в керосин энергия конденсатора уменьшилась
в ε раз. Общая энергия конденсаторов до соединения
222
CUCUCU
WWW
211
+=+=
ε
222
1
1
.
+=
ε
При погружении конденсатора в керосин уменьшилась не только
энергия, но и в ε раз уменьшилось напряжение на его обкладках. Поэтому при параллельном соединении конденсаторов заряд перетекает
от воздушного конденсатора к конденсатору в керосине до тех пор,
пока напряжения между обкладками не выровняются. Общий заряд
конденсаторов остается при этом неизменным.
Поскольку емкость образовавшейся батареи равна сумме емкостей конденсаторов, то батарея обладает запасом энергии
2
q
W⋅=
П
1
2
C
общ
,
где q1 = 2q = 2СU, С
= С + εС. Тогда
общ
4
=
W
П
( )
12
C
UС
95
CU
1
222
.
ε+
2
=
ε+
При разряде первоначальная энергия убывает, превращаясь в ра-
(
)
(
)
В
322
90
−
⋅⋅⋅
боту разряда:
WWА
III
2
=
2
CUА
Проверка размерности:
[ ]
Вычисления:
=А
Ответ: А = 6·10-5 Дж.
Задачи для самостоятельного решения
ВФ
1
+=−=
−
ε
2
41
( )
12
ε+ε
Кл
212
21
22
CUCU
=
CU
ε+
1
CU
⋅=
2
( )
=⋅=⋅=⋅=А
5
−
Дж.106
ε−+ε
=
22
1900108
⋅⋅⋅
+ε
1
2
ε
2
1
−ε
.
12
+εε
.
ДжВКлВ
−
1
2
;
ε+
4.1. Два металлических шара радиусами R1 = 2 см и R2 = 6 см соединены проводником, емкостью которого можно пренебречь. Шарам
сообщен заряд q = 1 нКл. Найти поверхностную плотность зарядов на
шарах.
σ1 = 49,8 нКл/м2; σ2 = 16,6 нКл/м2
4.2. Шар радиусом R1 = 6 см заряжен до потенциала φ1 = 300 В,
а шар радиусом R2 = 4 см – до потенциала φ2 = 500 В. Определить потенциал шаров после того, как их соединили металлическим проводником. Емкостью соединительного проводника пренебречь.
ϕ = 380 В
4.3. К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов U = 600 В и отключенному от источника напряжения, присоединили параллельно второй незаряженный конденсатор таких же
размеров и формы, но с диэлектриком (фарфор). Определить диэлектрическую проницаемость фарфора, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до U
96
= 100 В.
1
ε = 5
4.4. Конденсаторы емкостью С1 = 5 мкФ и С2 = 10 мкФ заряжены
до напряжения U1 = 60 В и U2 = 100 В соответственно. Определить
напряжение на обкладках конденсатора после их соединения обкладками, имеющими одноименные заряды.
U = 86,67 В
4.5. Конденсатор емкостью С1 = 10 мкФ заряжен до напряжения
U = 10 В. Определить заряд на обкладках этого конденсатора после
того, как параллельно ему был подключен другой незаряженный конденсатор С2 = 20 мкФ.
q = 33 10-6 Кл
4.6. Два одинаковых плоских конденсатора соединены параллельно и заряжены до разности потенциалов U = 150 В. Определить
разность потенциалов на конденсаторах U1, если после отключения
их от источника тока у одного конденсатора уменьшили расстояние
между пластинами в два раза.
U1 = 100 В
4.7. Даны три конденсатора с емкостями
С
= 1 мкФ, С2 = 2 мкФ и С3 =3 мкФ, соединен-
1
ных, как показано на рис. 4.12 и подключенных к источнику тока с ЭДС ε = 12 В. Опреде-
лить наряды на каждом из них.
q1=10-5 Кл; q2 = 4 10 -5 Кл; q3 = 6 10
Рис. 4.12
-5
Кл
4.8. Конденсатор, заряженный до напряжения 100 В, соединяется
с конденсатором такой же емкости, но заряженным до 200 В, один раз
одноименно заряженными обкладками, другой – разноименно заряженными обкладками. Какое напряжение установится между обкладками в обоих случаях?
U1 = 150 В; U2 = 50 В
4.9. Два одинаковых конденсатора соединены последовательно
и подключены к источнику ЭДС. Во сколько paз изменится разность
97
потенциалов на одном из конденсаторов, если другой погрузить
в жидкость с диэлектрической проницаемостью ε = 2?
U1/U2 =4/3
4.10. В плоский конденсатор вдвинули плитку парафина (ε = 2)
толщиной d = 1 см, которая вплотную прилегает к его пластинам. На
сколько нужно увеличить расстояние между пластинками, чтобы получить прежнюю емкость?
∆d = 0,5 см
4.11. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного
до разности потенциалов ∆φ = 600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекла толщиной d1 = 7 мм и эбонита толщиной d2 = 3 мм. Площадь каждой пластины конденсатора S = 200 см2. Определить: а) емкость конденсатора; б) индукцию поля, напряженность поля и падение потенциала в каждом слое (εcт = 7; ε
эб
= 3).
а) С = 88,5 пФ; б) D = 2,66 мкКл/м2; Е1= 42,8 кВ/м; Е2 = 105 В/м;
U1= 300 В; U2 = 300 В
4.12. К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов ∆φ = 600 В и отключенному от источника напряжения,
присоединили параллельно второй незаряженный конденсатор таких
же размеров и формы, но с диэлектриком (фарфор). Определить диэлектрическую проницаемость фарфора, если после присоединения
второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до 100 В.
ε = 5
4.13. Диэлектрик прессшпан пробивается при напряженности поля Е = 1800 В/мм. Два плоских конденсатора с емкостями C1 = 273 нФ
и С2=5/3 нФ с одинаковым изолирующим слоем из прессшпана толщиной d = 2 мм соединены последовательно. При каком напряжении
будет пробита эта система?
U = 5040 B
4.14. Между обкладками плоского конденсатора параллельно им
введена металлическая пластинка толщиной а = 8,0 мм. Определить
98
емкость конденсатора, если площадь каждой из обкладок S = 100 см2,
2
1
5
4
3
2
1
3
4
а расстояние между ними ℓ = 10,0 мм.
С = 44 пФ
С
С
4.15. На рис. 4.13 изображена батарея
конденсаторов. Определить ее емкость,
если С1 = С2 = С; С2 = С4 = С5 = 2С.
С
С
С
С
= (4/3)С
об
Рис. 4.13
4.16. Параллельно одному из пяти последовательно соединенных
одинаковых конденсаторов подключен статический вольтметр, емкость которого в два раза меньше емкости каждого из конденсаторов.
Вольтметр показывает 500 В. Найти напряжение на всей батарее.
U = 3500 В
4.17. В каких пределах может меняться емкость системы, состоящей из двух конденсаторов переменной емкости, если емкость каждого из них может меняться от 10 до 450 пФ?
От 20 пФ до 900 пФ – при параллельном соединении;
от 5 пФ до 225 пФ – при последовательном соединении
4.18. Конденсаторы с электроемкостями С1 = 2 мкФ, С2 = 2 мкФ,
С
= 3 мкФ, C4 = 1 мкФ соединены так,
з
как указано на рис. 4.14. Разность потен-
С
циалов на обкладках четвертого конденсатора U4 = 100 В. Найти заряды и разно-
С
С
сти потенциалов на обкладках каждого
Рис. 4.14
конденсатора, а также общий заряд
и разность потенциалов.
q1 = 2220 мкКл; q2 = 120 мкКл; q3 =120 мкКл; q4=100мкКл;
U1 = 110 В; U2 = 60 В; U3 = 40 B;
U = 210 В; q = 230 мкКл
С
99
4.19. Между пластинками плоского конденсатора, находящимися
на расстоянии d1 = 5 мм друг от друга, приложена разность потенциалов U = 150 В. К одной из пластин прилегает плоскопараллельная
пластинка фарфора (ε = 6) толщиной d2 = 3 мм. Найти напряженность
Е
и Е2 электрического поля в воздухе и фарфоре.
1
Е
= 60 кВ/м; Е2 = 10 кВ/м
1
4.20. Емкость плоского конденсатора C = 1/9 пФ. Диэлектриком
является фарфор (ε = 6). Конденсатор зарядили до разности потенциалов U = 600 В и отключили от источника напряжения. Какую работу
нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора? Трение
пренебрежимо мало.
A = 10 Дж
4.21. Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора
F = 0,05 Н. Диэлектрик – воздух (ε = 1). Площадь каждой пластины
S = 200 см2. Определить плотность энергии поля конденсатора.
w = 2,5 Дж/м3
4.22. Тысяча одинаковых и одинаково наэлектризованных дождевых капель сливаются в одну, причем заряды всех капель сохраняются. Как велика будет энергия заряда большой капли по сравнению
с энергией заряда маленьких капель?
2/3
n
= 100
4.23. В пространстве между пластинами плоского конденсатора,
присоединенного к полюсам батареи с напряжением U = 360 В, находится эбонит (ε = 2,7), расстояние между пластинами конденсатора
d = 5,4 см. Затем эбонитовая пластинка вынимается. Как нужно изменить расстояние между пластинами конденсатора, чтобы энергия
конденсатора осталась без изменений? Рассмотреть два случая: а) если пластины остаются присоединенными к батарее; б) если пластины
отключить от батареи.
Х
= Х2 = 3,4 см
1
4.24. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора площадью S = 100 см2 от d1 = 0,03 м до d = 0,1 м? Напряжение между
пластинами конденсатора постоянно и равно U = 220 В.
-8
А = 5 10
100
Дж
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]